第23-26届“希望杯”全国数学邀请赛高一试卷
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第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)111.计算+的值是()log2100log510011(A)1.(B).(C)-.(D)-2.222.下列函数中,既是偶函数,又是(0,+∞)上的增函数的是()(A)y=|x-1|.(B)y=-x2-|x|+1.(C)y=2.(D)y=log2|x|.3.如图1所示的几何体的俯视图是()4.把数列{2,4,6,…,2n}依次按一项、二项、三项、四项地循环排列:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);…,则第104个括号内的所有数之和为()(A)2036.(B)2052.(C)2068.(D)2084.225.方程x-y+x+y=12的整数解有()(A)4对.(B)6对.(C)8对.(D)12对.46.InrectangularcoordinatesystemxOy,liney=-x+4intersectswithx-axisand3y-axisatpointAandB,respectively.Rotate△AOBonpointB90degreesclockwiseto△A′O′B.ThenthecoordinateofthepointA′is()(A)(-3,1).(B)(-2,5).(C)(-4,1).(D)(-4,3).(英汉小词典:rotate旋转;clockwise顺时针方向地)27.函数f(x)=(x-2014x-2015)ln(x-2013)的零点的个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.28.当x∈(2,3)时,若不等式loga(x-1)-(x-2)>0恒成立,则实数a的取值范围是()11(A)(,10,2].(B)[2).(C)(1,2].(D)[2,+∞).2x+2x-3,x≥0,9.已知函数f(x)={2若|x1|<|x2|,则下列不等式中恒成立的是x-2x-3,x<0,()(A)f(x)+f(x)>0.(B)f(x)+f(x)<0.1212(C)f(x)-f(x)>0.(D)f(x)-f(x)<0.1212xy+yz=19,10.已知正整数x,y,z满足则xyz的值是(){222x+10y+z-6xy+2yz=169,(A)48.(B)60.(C)88.(D)60或88.,二、A组填空题(每小题4分,共40分.)0.811.计算:0.00032=.12.若函数f(x)=log2|ax-1|的图象关于直线x=2对称,则a=.13.1×1!+2×2!+3×3!+…+k×k!(k≥4)的末位数字是.14.在△ABC中,AB=8,AC=10,BC=12,若BD是AC边上的中线,则BD=.15.已知集合A={x|x2-2014x+2013<0},B={x|log∗),若A⊆B,2x<m}(m∈n则m的最小值是.22216.已知二次函数f(x)=ax+2x+c的值域是[0,+∞),则a+c+a+c的最小值是.17.asshowninthefig.2.given△abcwithbc=4andcircleawithradius2.bcistangenttocircleaatd.thecircleaintersectswithabandacatpointeandf,respectively.∠edf=140°.thentheareaoftheshadedfig.2portionis.(英汉小词典:tangent相切的)22218.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,且ax+2bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=.19.在平面直角坐标系中,过点p(a,b)(a≠0,b≠0)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是定值m,则这样的直线可能有条.20.若集合{1,2,3,…,2014}的某些子集满足条件:没有一个数是另一个数的2倍,则这样的子集中所含元素的个数最多是.三、b组填空题(每小题8分,共40分.)121.当x>3时,函数y=log1x+-12(x-3)的最大值是,此时x=.22.在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和是56,则a1=,a3+a6+a9+…+a99=.23.如图3,在四边形ABCD中,AB=1,BC=3+1,AD=6,∠ABC=120°,∠DAB=75°,则∠BAC=,CD=.224.设函数f1(x)=2-x,f2(x)=-x+6x-4,f(x)=f1(x),f1(x)≥f2(x),{则f(2015)=;若函数f(x)在[0,a]上f2(x),f2(x)>f1(x).图3的最大值为f(a),则a的取值范围是.25.设函数f(x)=|2x-m|+4x.(1)当m=2时,满足f(x)≤1的x的取值范围是;(2)若f(x)≤2的解集为{x|x≤-2},则m=.,高一第1试答案题号12345678910答案BDBCCCCCDD题号11121314151答案0.0016979112题号16171819208答案44π62，3或413439题号21222356答案-2；4;3245;39921题号24251答案2013;33,3,；-14或62,第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.)a(a≥b)11.定义运算:a■b=,则函数f(x)=1■的图象是(){b(a<b)2x2222.已知a,b是方程x+2000x+1=0的两个根,则(a+2014a+15)(b+2015b+16)的值为()(a)0.(b)1.(c)-419580.(d)-420000.3.若数列{an}为等差数列,且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24.则此数列前13项之和等于()(a)13.(b)26.(c)52.(d)156.4.定义集合ak={x|x是k个大于1的连续自然数之积}(k=1,2,…),那么集合a3∩a5中的最小元素是()(a)24.(b)60.(c)120.(d)720.25.对任意的实数x,若关于x的不等式(1-a)x-2(1-a)x+6>0恒成立,那么大于a的最小整数是()(A)2.(B)1.(C)0.(D)-5.x,g(x)=x26.已知函数f(x)=1-2-4x+3,若存在a,b使得f(a)=g(b),则b的取值范围是()(A)[2-2,2+2].(B)(2-2,2+2).(C)[1,3].(D)(1,3).2x+ax+14∗7.已知函数f(x)=(a∈R),若对任意的x∈N,f(x)≥3恒成立,则a的取x+2值范围是()8268(A)(,+∞,+∞-∞,-3].(B)[3).(C)[-3).(D)[-3,+∞).π5πxxxx,228.当x∈[-66]时,关于x的函数y=-a(sin2-23sin2cos2-cos2)的图象与|y|=2的图象恰有两个不同的交点,则实数a的取值范围是()(A)|a|<1.(B)|a|>1.(C)|a|<2.(D)|a|>2.9.如图1,在Rt△ABC的斜边AB上有点P,它到这个三角形两条直角边的距离分别为4和3,则当△ABC的面积最小时,PB的长是()3(A)5.(B)4.(C)3.(D).410.Givenm,n∈Z,definef(x)=log2(4-|x|)intheinterval[m,n].The|x-1|valuerangeoff(x)is[0,2].Ifthereexistsonlyonezeropointong(x)=2+图1m+1,thenm+n=(),(A)-1.(B)0.(C)1.(D)2.(英汉小词典:interval区间;valuerange值域)二、填空题(每小题4分,共40分.)11.如图2,ABCD-EFGH是一个正方体,M、N是所在棱的中点,用过M、N、H三点的平面切开此正方体,切下的三棱锥的表面积与原正方体表面积的比是.212.若函数f(x)为奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x-4x+5,则当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值为.13.平面上有点A(-3,0)和B(0,-3),点C在直线l:3x+y-2=0上运图2动,当CA+CB最小时,点C的坐标为.214.已知抛物线y=ax+bx过点A(4,0),若点B(x,y)为该抛物线在第一象限内的一个动点,且使得△AOB的面积取到最大值8,则a+b=.15.已知平面直角坐标系中,点B(2,0),点A在线段OB上,AB=2.将线段OB绕点O按逆时针方向旋转角α(0<α<π)到点B′,点A到点A′,对于y轴上的点P,若△B′PA′是以∠B′为顶角的等腰三角形,则α的取值范围是.2216.若关于x的不等式(k-1)x+2(k+1)|x|+1>0对于任意x∈R恒成立,则实数k的取值范围是.8ab22的最大值为.17.若a+4b=1,则a+2b18.AsshownintheFig.3,thesidelengthofsquareABCDis4.EisonBC.AEistangenttoahalfcirclecircleatpointF.ThehalfcircleisinsidetheFig.3squarewithCDasdiameter.Findtheareaoftheshadedportion.Answer:.(英汉小词典:diameter直径;tangent相切的)1,x≥03π2nπ19.定义符号函数sgnx={,令数列an=sgn(sin(+)),b431=1,b2=2,bn+2=-1,x<02015bn+1-bn(n≥3),则∑akbk=.k=1320.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边.若a=7,c=5,cosB=,则∠C=5.三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)已知a(n+3)(n∈N∗),定义:可使乘积a·a·…·a为整数的k(k∈N∗)为“最n=logn+212k佳数”,求在区间[1,2015]内的所有“最佳数”的和.22.(本题满分15分)如图4,四边形ABCD有外接圆,已知AB=2,BC=6,CD=DA=4.(1)求对角线BD的长;(2)作∠BPD=60°,试求PB22的取值范围.+PD23.(本题满分15分)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,当n≥1时,图4若数列{an+1-an}为等差数列,数列{bn-2}为等比数列.(1)求数列{a}与{b}的通项公式;nn(2)设f(n)=a,n∈N∗,当n≥4时,求f(n)的最小值.n-bn,高一第2试答案题号12345678910答案CCBDABCBAC题号11121314159113答案1:6-1,3,,884224题号1617181920答案k1或k12102π1421.1074.22.（1）BD27.22（2）PBPD的取值范围为28,56.23.（1）数列a，b的通项公式分别为nn2nn7n181a，b28.nn221（2）当n4时，f(n)的最小值是.2,第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)221.集合M={x|y=-x+6x+7,x,y∈R},N={y|y=-x+6x+7,x,y∈R},则集合M∩N=()(A)⌀.(B)[-1,4].(C)[-1,7].(D)[0,4].33是偶数;条件乙:m-n是偶数,则甲是乙的()2.设m,n是自然数,条件甲:m+n(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分且必要条件.(D)既不充分也不必要条件.3.已知直二面角βlγ,直线a⊂平面β,直线b⊂平面γ,且a和b都不垂直于l,那么,a与b()(A)可能垂直,但不可能平行.(B)不可能垂直,但可能平行.(C)可能垂直,也可能平行.(D)不可能垂直,也不可能平行.4.设Sn是等比数列{an}前n项的乘积,若a9=1,则下面的等式中正确的是()(A)S(B)S(C)S(D)S1=S19.3=S17.5=S12.8=S11.an-3(n∈N∗),则a…+a()5.已知数列{an}中,a1=0,an+1=1+a2+a3+2012=3an+1(A)-3.(B)0.(C)3.(D)10063.6.在△ABC中,∠B=60°,2AB=3BC,则tanA的值等于()2333(A)-.(B)-.(C).(D)±.22227.Suppose△ABCisatrianglewiththesidelengthof2,DandEaremovingpointsonthesidesBCandAC.AD⊥BEatpointM,thenthelengthofMs'trajectoryis()ππππ(A).(B).(C).(D).2346(英汉词典:trajectory轨迹)8.若f(1,1)=1234,f(x,y)=k,f(x,y+1)=k-3,则f(1,2012)=()(A)-6033.(B)-4799.(C)1235.(D)2012.9.下面判断正确的是()(A)b22-4ac≥0是方程ax+bx+c=0有解的充分且必要条件.(B)b22-4ac<0是方程ax+bx+c=0无解的充分且必要条件.(C)c≠0是方程ax2+bx+c=0无解的必要不充分条件.(D)b22-4ac>0是方程ax+bx+c=0有解的必要不充分条件.,10.已知函数f(x)=m|x-1|(m∈R,且m≠0).设向量a=(1,cosθ),b=(2,1π2sinθ),c=(4sinθ,1),d=(sinθ,1).当θ∈(0,)时,f(a·b)与f(c·d)的大小关系是()24(A)f(a·b)<f(c·d).(b)f(a·b)>f(c·d).(C)m>0时,f(a·b)<f(c·d);m<0时,f(a·b)>f(c·d).(D)m>0时,f(a·b)>f(c·d);m<0时,f(a·b)<f(c·d).二、a组填空题(每小题4分,共40分.)11.设α∈[0,2π),则在[0,2π)内,终边与α角的终边关于x轴对称的角是.-|logx|12.函数f(x)=32-4|x-1|的值域是.222213.若a,b,c是三个互不相等的实数,且满足关系式b+c=2a+16a+14,bc=a-4a-5,则a的取值范围是.1114.若a,b是正实数,且a+b=2,则+的最小值是.1+a1+b1515.y=asin(ax+b)+b,iftheminimumvalueofyis,themaximumvalueis,then22ab=.16.设点g是△abc的重心,ga=23,gb=22,gc=2.则△abc的面积=.xx,xx按从小到大的顺序排列,应当是.17.已知0.8<x<0.9,若将x,x18.已知等差数列{an}的前n项之和是sn,若s8≤5,s11≥23,则a10的最小值是.19.若a#b=a+b-ab,则下列等式中:①a#b=b#a.②a#0=a.③(a#b)#c=a#(b#c).正确的是.(填序号)20.☉o与☉d相交于a,b两点,bc是☉d的切线,点c在☉o上,且ab=bc.若△abc的面积为s,则☉d的半径的最小值是.三、b组填空题(每小题8分,共40分.)21.已知1≤x≤8,则函数f(x)=|x-3|+|x-5|+|x-7|的最大值是,最小值是.2222,则y=f(m)22.α,β是关于x的方程x+2(m-1)x+m-4=0的两个实根,设y=α+β的解析式是,值域是.2223.已知△abc三条边长分别为a=t+3,b=-t-2t+3,c=4t,t∈r,则△abc的最大内角是角,它的度数等于.122上恒成24.方程x+log16x=0的解是;使不等式x-logmx<0在(0,)2立的m的取值范围是.22)(a>0,且a≠1)在R上的最大值是2,则a=25.若函数f(x)=loga(x-2ax+1-2a,f(x)的单调递增区间是.,,第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.设A,B是同一个三角形的两个内角,则不是A<b成立的充要条件的是()∙∙(a)sina<sinb.(b)sin2a<sin2b.(c)cosa>cosB.(D)cos2A>cos2B.2.函数f(x)=|lg|2-x||的单调增区间是()(A)(-∞,1)∪(3,+∞).(B)(1,2)∪(3,+∞).(C)(-∞,1)∪(2,3).(D)(1,2)∪(2,3).3.图1中的图形所表示的是将棱长为a的立方体用一个平面切割后剩下的几何体,则它的体积不等于原立方体体积一半的有()个.图1(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.4.{an}是公比不为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和.给出下面3个命题:(1)若{a}中既有正数,又有负数,那么{S}中也既有正数,又有负数;nn(2){a}不可能同时具有最大值和最小值;n(3)S,S,S,S,…构成等比数列.1020-S1030-S2040-S30其中,真命题的个数是()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.115.在正数数列{an}中,a1=,an+1=an+an+,则a2012=()44(A)1012025.(B)1012036.(C)1013025.(D)1013036.x6.若存在x∈[1,2],使得|a·2-1|-2>0,则a的取值范围是()1313(A)(-,).(B)(-∞,-)∪(,+∞).22221313(C)(-,).(D)(-∞,-)∪(,+∞).4444227.已知O是坐标原点,动点M在圆C:(x-4)+y=4上,对该坐标平面内的点N和P,若→→→→→2ON+OM=MC+MP=0,则|NP|的取值范围是()(A)[0,12].(B)[1,11].(C)[2,11].(D)[1,12].328.已知关于x的方程ax+bx+cx+d=0有三个不同的实根,其中一个是0,则它的系数中不能是0的仅有()(A)a,c.(B)b,c.(C)a,d.(D)b,d.,2x+a9.已知集合A={a关于x的方程2=1有唯一实数解},则集合A的真子集的个数是4x-9()(A)0.(B)3.(C)7.(D)8.10.如图2所示,已知圆锥的底面半径为7,母线长为14,FC是轴截面ABC底角∠ACB的平分线,BD是底面的一条弦,且∠DBC=30°,则直线FC与BD的距离是()7(A)14.(B)27.(C)37.(D).2图2二、填空题(每小题4分,共40分.)11.直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=2,BC=4,I为BD→→的中点,直线MN过I点,且与线段AB、CD分别交于点M、N,则AN·CM的最小值是.212.已知y=x+x+18且y≤10|x+1|,则x的取值范围是.213.当a≥1,0≤x≤1时,函数f(x)=x-ax+8的最大值是.14.若实数a,b满足0<a<b<1,则11f(x)=|x-logab|+x-loga+x-logbbb的最小值是.15.已知三角形三个内角的度数成首项、公比均是整数的等比数列,则公比的值等于.→→16.supposemisinteger,ifa=(4,m),b=(-2m,4),oa=a+2b,ob=2a-→→b,|oa|=|ob|,thentheareaofthe△oabis.17.四面体abcd的三组对棱分别相等,长度分别为3,4,x,那么x的取值范围是.+,andx+y=2,thenthevaluerangeforx322318.supposex,y∈r+2xy+yis.19.设等比数列{an}的公比q≠0,1,sn表示{an}的前n项的和,tn表示{an}的前n项的乘积,tn(n,k∈n∗,k≤n),tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后所剩余的n-1项的乘积,即tn(k)=aksntn则数列{}的前n项的和是.(用a1和q表示)tn(1)+tn(2)+…+tn(n)3243的约数中,平方数有个.20.在∑kk=1三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)求数列1,3+7,13+21+31,43+57+73+91,…的第21项中的第12个数.22.(本题满分15分)在ab=6,ad=4的矩形纸片abcd中剪去圆m与圆m′,其中圆m与ab、ad相切,圆m′与bc、cd相切,且圆m与圆m′外切,则剩余部分的面积是否有最大值与最小值?若有,求出最值;若没有,请说明理由.23.(本题满分15分)已知函数f:r→r满足:图3①f(m+n)=f(m)+f(n)-1;②当x>0时,f(x)>1.解答以下问题:(1)求证:f(x)是增函数;(2)若f(2012)=6037,解不等式f(a2-8a+13)<4.,,第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.给出以下五个函数:31;④y=x2;⑤y=3x①y=|x|;②y=log2|x|;③y=.|x|其中,值域是一切实数的是()(A)②,④.(B)①,②.(C)③.(D)②.22.已知p,q,a,b,c∈R,并且2a=p+q,bc=pq≠0,则关于x的方程bx-2ax+c=0的根的情况是()(A)无实根.(B)有两个相等实根.(C)有两个不等实根.(D)有两个实根.323.Ifpolynomial2x-5x+1wasdividedbyx-2,theremainderwillbe()(A)3.(B)-3.(C)5.(D)-5.4.在平面直角坐标系xOy中,半径为2的圆的圆心从原点O连续地向右平移到点A(1,0),在这过程中,圆面内(含边界)包含的整点(横、纵坐标都是整数的点)的个数不可能是()(A)6.(B)7.(C)8.(D)9.5.当0<a<1时,不等式loga(4-3x)>-log1(2+x)的解是()a14(A)x>.(B)-2<x<.23141(c)<x<.(d)-2<x<.232ππ6.要想得到函数y=3sin(2x-)的图象,只需将函数y=3cos(2x+)的图象()36ππ(a)向左平移个单位.(b)向右平移个单位.32ππ(c)向左平移个单位.(d)向右平移个单位.443tana7.inthetriangleabc,iftheinterioranglessatisfysin(a-b)=sinc,then=5tanb()(a)2.(b)4.(c)1.(d)5.328.函数y=x-3x+3x+1的图象关于()(a)点(1,2)成中心对称.(b)点(-1,2)成中心对称.(c)直线x=1成轴对称.(d)直线x=-1成轴对称.9.在锐角△abc中,下列结论中一定成立的是()sinasina(a)logsinc>0.(B)logsinC>0.cosBsinBcosAcosA(C)logcosC>0.(D)logcosC>0.cosBsinB,10.如图1,ABCDGHEF是棱长为a的正方体,点M和N分别是△BEH和△HEG的内心,则线段MN的长是()12(A)a.(B)a.(C)(2-1)a.(D)(2-2)a.25二、A组填空题(每小题4分,共40分.)1511.设a=,b=log9,c=log83,用“>”连结a,b,c,则是.图143x-1与y=21-x的图象关于直线对称.12.函数y=213.若M、N、P、Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱D1C1、BC、A1D1、DC的中点,则MN与PQ所成角的正弦值是.11111114.若函数f()=2,则f()+f()+f()+…+f()+f(1)+f(2)xx+12013201220112+…+f(2011)+f(2012)+f(2013)的值是.2m+1π15.已知sinθ=,则cos(θ+)的取值范围是.4|m|6316.已知f(x)=,则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(lg2)+f(lg5)=.x3+3222x+2x+317.GivensetA={x|x+2x+3+a=0,x∈R},setB={x|2≥a,x∈R}.IfA∪B=R,thenthevaluerangeoftherealnumberais.18.已知点C(3,1),点A在直线y=x上,点B在x轴上,则△ABC的周长的最小值是.19.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若a+c=2b,B=30°,并且△ABC的面积3为,则△ABC的外接圆半径的长是.2x-1x20.若不等式4-m·2+m>0对一切x∈[2,4]都成立,则实数m的取值范围是.三、B组填空题(每小题8分,共40分.)21.如图2所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆O的图2切线l,从A作l的垂线AD,垂足为D,交圆O于E,则AE=,CD=.222.函数f(x)=(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)的最小值是,最大值是.|x-1|1,g(x)=x223.已知函数f(x)=-()-6x+7,则这两个函数的值域的交集是2.若在集合A中,对任意a∈A,总存在b使得g(a)=f(b)成立,则A=.24.已知xOy坐标平面内的点A(1,1)、B、C、D、E,若B在曲线y=x上,C、D、E在正x轴上,并且OC<od<oe,△adc和△bed都是正三角形,则直线db的方程是,点b的横坐标是.25.侧棱长都是6的三棱锥pabc中,pa⊥pb,pa⊥pc,∠bpc=60°,m、n分别是pa、bc的中点,则mn=,三棱锥abmn的体积是.附加题(每小题10分,共20分.)1.若点p(-3,1),q(3,4)是某正方形的两个顶点,点r(x,y)是这个正方形的另一个顶点并且在直线pq的下方,则点r的坐标是.+,且x+y+z=1,若x2222.设x,y,z∈r+y+z+λxyz≤1恒成立,则实数λ的最大值为.,高一第1试答案题号12345678910答案ddbccbbadc题号111213141551答案cabx12012.51,32题号16171819204答案3a42531,3题号2122233答案3;31;222[1,0);32,24,322题号242542393答案y3x31;6;32题号附加题1附加题231答案6,2或0,5或,2322,第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.下列四个选项中,能表示图1中的阴影部分的是()(a)(a∪c)∩(b∪c).(b)(a∪b)∩(a∪c).(c)(a∪b)∩(b∪c).(d)(a∪b)∩c.2.一款触摸屏手机,在设计键盘锁时采用了新的方案:将0~9这10个数字按由小到大的顺序等距排成一个圆,并顺时针不停地旋转.小明发现爸爸只按动了3次便打开了键盘锁.那么,小明为了保证打开手机的键盘锁,至少要尝试()次.图1(a)3.(b)40.(c)240.(d)1000.3.在△abc中,若tana=2,tanb=3,则内角c的值为()πππ3π(a).(b).(c).(d).64342-x+x+214.函数y=()的单调递增区间是()21111(a)[-1,].(b)(-∞,-].(c)[,+∞).(d)[,2].2222720∗,x∈n∗5.从集合m={x∈n}中取出3个元素,从小到大排成一列,使其成等比数列,x则所有不同的公比之和是()(a)15.(b)21.(c)23.(d)27.6.若cosα≠0,sinα+3cosα+1=0,则tanα=()3434(a).(b).(c)-.(d)-.43437.如图2,在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中,点e是棱ab的中点,点f在棱cd上,且df∶fc=2∶1,则a1e与c1f的距离等于()43(a).(b)3.(c)2.(d)5.38.givenprovisionfn(x)=f…f(f(x)),nisapositiveinteger.■——■——■n个f图22(1-x),0≤x≤1,4iff(x)={thenthevalueoff2013()is()x-1,1<x≤2,52618(a).(b).(c).(d).555539.已知f(x)=x+3x+q,并且a+b>0,b+c>0,c+a>0.若设p=f(a)+f(b)+f(c),则()(A)p>q.(B)p<q.(c)p>3q.(D)p<3q.10.已知等比数列{an}满足a1+a2+a3=1,并且公比q<0,若令t=a1a2a3,则t的取值范围是()(A)(-∞,-1].(B)(0,1].(C)[-1,+∞).(D)[-1,0).,二、填空题(每小题4分,共40分.)1+x111111.已知函数f(x)=,则f()·f()·f()·…·f()=.1-x2462014212.已知幂函数f(x)=xm-2m-3(m∈Z)的图象与x轴,y轴都没有交点,但是关于y轴对称,那么f(x)=.2+,那么a的取值范围是.13.若y=log2013(x-ax+65)的值域为R2214.自点P(-5,5)发出的光线l经过x轴反射,其反射光线所在直线正好与圆x+y=1相切,那么入射光线l所在直线的方程是.2-ax15.命题p:已知函数f(x)=(a是不等于0的常数),若f(x)在区间(0,1]上单调递减,a-1则a的取值范围是(-∞,0)∪(1,2].命题q:由于偶函数满足对于定义域内的任何一个x都有f(x)=f(-x),所以它不是一一对应关系,故偶函数一定不存在反函数.则(■p)∨(■q)是命题.(填“真”或“假”)+,and3xyz16.Givenx,y,z∈R=4=6.Thenwrite3x,4y,and6zinorderfromleasttogreatestas.17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,且Sn2na8=,则=.Tn3n+7b6图318.如图3,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AA1上一点,且AE=2A1E,设过点B、D1、E的平面为α,则α与底面ABCD所成角的正切值是.2aman19.若等差数列{an}的公差为d,且a9-a4=2a3,am+an=2a5,则的最3a1d大值是.20.已知{xn}是等比数列,把数列{xn}中的所有项按图4所示的规律排成一个三角形数表.则当x3=4,x6=32时,图中第m行第1个数是.图4三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)过圆C:x22+y-4x-4y+7=0外一点P(a,b)作圆C的切线PT,T为切点,使|PT|=|PO|.当|PT|取得最小值时,求点P的坐标及|PT|的值.22.(本题满分15分)|x-1|2若关于x的方程=k(x-1)有4个不同的实数根,其和为S.求:x(1)实数k的取值范围;(2)实数S的取值范围.23.(本题满分15分)log2(1+x),x≥0,已知函数f(x)={log1(1-x),x<0.2(1)判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)对任意两个实数x1,x2,求证:当x1+x2>0时,f(x1)+f(x2)>0;(3)对任何实数x,f(e2xx)≥0恒成立,求实数a的取值范围.-a)+f(3-2e,高一第2试答案题号12345678910答案ADBDDDCCCD题号11121314153x4y50或04答案2015x或x16a16真4x3y50题号161718192035m2m答案3x4y6z272432777221.当|PT|取得最小值时，点P的坐标是,，|PT|.88822.（1）k的取值范围是（4，+∞）.52（2）S3,.223.（1）y=f(x)是奇函数.（2）略.（3）a的取值范围是（-∞，2].,第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)b1.已知a>0且a≠1,如果a=c,c>0,则()(A)b∈R.(B)b∈[0,+∞).(C)b∈[1,+∞).(D)b∈(-∞,-1].222.若x=1,y=0是关于x和y的方程(2m-m+1)x+(m+1)y=-4m+3的一组解,则实数m的值是()111(A)-2.(B).(C)-2或.(D)2或-.2223.若lg3=0.4771,则以下四个结论中错误的是()13(A)lg=-0.4771.(B)lg=-0.5229.310(C)lg300=2.5229.(D)lg99<1.2-x+x+64.Thedomainofthefunctiony=is()lgx(A){x|0<x<3}.(b){x|0<x<3andx≠1}.(c){x|0<x≤3andx≠1}.(d){x|0<x≤3}.(英汉小词典:domain定义域)0,n,n2,…,nn分别除以17所得余数至少有两个相同,则n的最小5.当正整数n>1时,若n值是()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.6.若周期为6的函数f(x)在区间(-3,3]内单调递减,那么在以下的数中,最大的是()(A)f(8).(B)f(-4.4).(C)f(-7).(D)f(-52).7.给出以下四个方程:1(1)lgx=1-x;(2)2x;(3)2-x2==lg|x|;(4)sinx=|x|.x其中,有唯一解的是()(A)(1),(2),(3).(B)(1),(2),(4).(C)(1),(3),(4).(D)(2),(3),(4).8.如图1,ABCDEFMN是一个长方体,△BFN中,∠BFN=90°,∠BNF=30°,BF=m,则该长方体体积的最大值是()3(A)m3333.(B)3m.(C)m.(D)3m.2129.如果关于x的方程(x-2)(x-mx+)=0的三个根是某三角形的图12三条边的长,那么,实数m的取值范围是()(A)m>2.(B)2≤m≤6.(C)2<m≤6.(d)2<m<6.1x,则f[log(log)]+f[log(log)]=()10.已知f(x)=2-x2542452(a)0.(b)1.(c)2.(d)2.,二、a组填空题(每小题4分,共40分.)11.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.12.已知☉o和☉p的半径分别是2和3,若☉o、☉p、☉m两两相外切,且∠omp=90°,则☉m的半径是.13.若u={n|n是小于37的正偶数},v={n|n∈u且n有奇数个约数},w={n|n∈u且n是3的倍数},则v∩w=.2lg(x-2x+3)有最大值,则不等式log(x214.设a>0,且a≠1,若函数f(x)=aa-5x+7)>0的解集是.15.在△ABC中,AC=43,∠B=60°,则BC长度的取值范围是.2216.已知集合M={x|x-4>0},集合N={x|x-6x+a-4<0,x∈Z},若M∩N有4个子集,则实数a的取值范围是.22217.已知x1,x2是方程x-mx+n=0的两个实数根,y1,y2是方程y-3my+6=0的两个实数根,其中m,n是常数,且x1+y1=2,x2+y2=2,则8m+n=.18.已知一列数:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,它的各项若不是1就是2,并且在第k个1和第(k+1)个1之间有(2k-1)个2,那么,前2014个数的和为.ì1x-(1≤x<2),x19.已知y=í则y的值域是.16x+(2≤x≤6).îx20.TheradiusofthecircleOis2.ThechordABisequaltothechordCD.Bothofthedistancefromthe2chordstopointOare1.ThearearangeofthequadrilateralABCDis.(英汉小词典:radius半径;chord弦;quadrilateral四边形)三、B组填空题(每小题8分,共40分.)221.若关于x的一元二次方程x-6x+n=0有两个不同的正整数解,则自然数n=或.222.已知关于x的不等式mx+mx-2≤0.(1)若其解集为[-2,1],则实数m=;(2)若不等式mx2+mx-2≤0在[-3,2]上成立,则实数m∈.x2-2(x≤0),23.已知f(x)={则f(f(-2))=;若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]3x-2(x>0).上恒成立,则实数a的取值范围是.24.已知O是坐标原点,过点A(2,1)的直线与x轴正半轴交于点C,与y轴正半轴交于点D,则△OCD的面积的最小值是,此时△OCD的外接圆的面积是.25.12345…n357911…(2n-1)8121620…(4n-4)202836…(8n-12)…图2观察图2呈现的规律,可知(1)当n=5时,数表中最下面一行的数是;(2)数表的最下面一行用n表示是.,高一第1试答案题号12345678910答案ACCCCDBCDA题号1112131415答案,11362,30,8题号16171819203答案9,12239830,8,1033,432题号21222324251n2答案5；81;8,4;1,04；5π48；(n1)23,第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.如果一个几何体的主视图和左视图均为矩形,而俯视图为一个圆,则这个几何体是()(A)棱锥.(B)直棱柱.(C)圆锥.(D)圆柱.432322.已知f(x)=x-4x+10x-27,g(x)=x-2x-5x+6,A={x|f(x)>0},B={x|g(x)=0且x∈A},则B中元素的个数是()(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多.1x有正根,则实数a的取值范围是()3.关于x的方程2=1-lna(A)(0,1).(B)(1,e).(C)(1,+∞).(D)(e,+∞).2224.Ify=2xwherexandyarerealnumbers,thentheminimumvalueofz=y+x+4is()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.5.设f(x)是R上的偶函数,并且f(x+6)=f(x)+f(3),若f(2)=2014,则f(2014)等于()(A)2012.(B)2013.(C)2014.(D)2015.x6.若关于x的方程|2-3|-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()(A)[0,3).(B)(0,3).(C)[0,+∞).(D)(-∞,3).7.已知x,y是实数,且y=2x+8-x,则y的最大值是()2597129(A)6.(B).(C).(D).4888.若对于任意的实数x,不等式|x-1|-|x-a|≤10恒成立,则a的取值范围是()(A)[-3,4].(B)[-4,3].(C)[-9,11].(D)[-11,9].22222222,N=a+b,则M与N的9.已知a,b,m,n∈R,且mn>am+bn.令M=m+n大小关系是()(A)M>N.(B)M≥N.(C)M<n.(d)m≤n.210.若函数f(x)=x-2a|x-a|-2ax+1有且仅有3个零点,则实数a的值是()(a)-1.(b)0.(c)1.(d)2.二、填空题(每小题4分,共40分.)log91(x+)11.函数f(x)=24x的定义域是.12.如图1,三棱锥a-bcd的顶点b、c、d在平面α内,ca=ab=bc=cd=db=2,ad=6.若将该三棱锥以bc为轴转动,到点a落到平面α内为止,则图1a、d两点所经过的路程之和是.,2k3-+k+213.已知函数f(x)=x22(k∈z)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,则k的值是.-x+1,x<0,14.若函数f(x)={则不等式x+(x+1)f(x+1)≤3的x-1,x≥0,解集是.15.如图2所示,已知ab切☉o于点b,直线ac交☉o于点c和d,若ad图2=dc,bc=2,则bd=.16.设f(x)是r上的减函数,且f(0)=3,f(3)=-1.已知p={x||f(x+t)-1|<2},q={x|f(x)<-1},若p是q的真子集,则实数t的取值范围是.217.若函数f(x)=(a+2)x-ax+(2a-1)的两个零点分别在区间(-2,-1)和区间(0,1)内,则a的取值范围是.22恰有4个整数解,则实数k的取值范围是.18.若关于x的不等式2kx>(x-2)ìy≥x,19.设m>1,若x,y满足íy≤mx,时,函数z=x+my的最大值是4,则m的值是îx+y≤1.20.AsshowninFig.3,AB=6,BC=8,CA=10.PointPisinsideofthetriangleABC.DE,FG,andIHallpasspointPandareparalleltoAB,BC,andCA,respectively.ThelengthsofDE,FGandIHareallequaltod,thend=.(英汉小词典:parallel平行)三、解答题Fig.3每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)记f(x)=lg(3-|x-1|)的定义域为A,集合B={x|x2-(a+1)x+a<0}.若A∩B=B,求实数a的取值范围.22.(本题满分15分)在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,已知8(sin22A-sinC)=(a-b)sinB,且△ABC的外接圆半径是4.(1)求角C;(2)求△ABC的面积的最大值.23.(本题满分15分)a已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).x(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)当x∈[2,+∞)时,若f(x)是增函数,求实数a的取值范围.,高一第2试答案题号12345678910答案DBBBCBDCAC题号1112131415答案0,31或2,11题号16171819201192240答案,3，k27245094721.2,4.π22.（1）C.3（2）面积最大值是123.2fxx23．（1）当a0时，为偶函数；fx当a0时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）实数a的取值范围是,16.</n.(d)m≤n.210.若函数f(x)=x-2a|x-a|-2ax+1有且仅有3个零点,则实数a的值是()(a)-1.(b)0.(c)1.(d)2.二、填空题(每小题4分,共40分.)log91(x+)11.函数f(x)=24x的定义域是.12.如图1,三棱锥a-bcd的顶点b、c、d在平面α内,ca=ab=bc=cd=db=2,ad=6.若将该三棱锥以bc为轴转动,到点a落到平面α内为止,则图1a、d两点所经过的路程之和是.,2k3-+k+213.已知函数f(x)=x22(k∈z)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,则k的值是.-x+1,x<0,14.若函数f(x)={则不等式x+(x+1)f(x+1)≤3的x-1,x≥0,解集是.15.如图2所示,已知ab切☉o于点b,直线ac交☉o于点c和d,若ad图2=dc,bc=2,则bd=.16.设f(x)是r上的减函数,且f(0)=3,f(3)=-1.已知p={x||f(x+t)-1|<2},q={x|f(x)<-1},若p是q的真子集,则实数t的取值范围是.217.若函数f(x)=(a+2)x-ax+(2a-1)的两个零点分别在区间(-2,-1)和区间(0,1)内,则a的取值范围是.22恰有4个整数解,则实数k的取值范围是.18.若关于x的不等式2kx></m≤6.(d)2<m<6.1x,则f[log(log)]+f[log(log)]=()10.已知f(x)=2-x2542452(a)0.(b)1.(c)2.(d)2.,二、a组填空题(每小题4分,共40分.)11.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.12.已知☉o和☉p的半径分别是2和3,若☉o、☉p、☉m两两相外切,且∠omp=90°,则☉m的半径是.13.若u={n|n是小于37的正偶数},v={n|n∈u且n有奇数个约数},w={n|n∈u且n是3的倍数},则v∩w=.2lg(x-2x+3)有最大值,则不等式log(x214.设a></x<3}.(b){x|0<x<3andx≠1}.(c){x|0<x≤3andx≠1}.(d){x|0<x≤3}.(英汉小词典:domain定义域)0,n,n2,…,nn分别除以17所得余数至少有两个相同,则n的最小5.当正整数n></q.(c)p></od<oe,△adc和△bed都是正三角形,则直线db的方程是,点b的横坐标是.25.侧棱长都是6的三棱锥pabc中,pa⊥pb,pa⊥pc,∠bpc=60°,m、n分别是pa、bc的中点,则mn=,三棱锥abmn的体积是.附加题(每小题10分,共20分.)1.若点p(-3,1),q(3,4)是某正方形的两个顶点,点r(x,y)是这个正方形的另一个顶点并且在直线pq的下方,则点r的坐标是.+,且x+y+z=1,若x2222.设x,y,z∈r+y+z+λxyz≤1恒成立,则实数λ的最大值为.,高一第1试答案题号12345678910答案ddbccbbadc题号111213141551答案cabx12012.51,32题号16171819204答案3a42531,3题号2122233答案3;31;222[1,0);32,24,322题号242542393答案y3x31;6;32题号附加题1附加题231答案6,2或0,5或,2322,第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.下列四个选项中,能表示图1中的阴影部分的是()(a)(a∪c)∩(b∪c).(b)(a∪b)∩(a∪c).(c)(a∪b)∩(b∪c).(d)(a∪b)∩c.2.一款触摸屏手机,在设计键盘锁时采用了新的方案:将0~9这10个数字按由小到大的顺序等距排成一个圆,并顺时针不停地旋转.小明发现爸爸只按动了3次便打开了键盘锁.那么,小明为了保证打开手机的键盘锁,至少要尝试()次.图1(a)3.(b)40.(c)240.(d)1000.3.在△abc中,若tana=2,tanb=3,则内角c的值为()πππ3π(a).(b).(c).(d).64342-x+x+214.函数y=()的单调递增区间是()21111(a)[-1,].(b)(-∞,-].(c)[,+∞).(d)[,2].2222720∗,x∈n∗5.从集合m={x∈n}中取出3个元素,从小到大排成一列,使其成等比数列,x则所有不同的公比之和是()(a)15.(b)21.(c)23.(d)27.6.若cosα≠0,sinα+3cosα+1=0,则tanα=()3434(a).(b).(c)-.(d)-.43437.如图2,在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中,点e是棱ab的中点,点f在棱cd上,且df∶fc=2∶1,则a1e与c1f的距离等于()43(a).(b)3.(c)2.(d)5.38.givenprovisionfn(x)=f…f(f(x)),nisapositiveinteger.■——■——■n个f图22(1-x),0≤x≤1,4iff(x)={thenthevalueoff2013()is()x-1,1<x≤2,52618(a).(b).(c).(d).555539.已知f(x)=x+3x+q,并且a+b></x<.23141(c)<x<.(d)-2<x<.232ππ6.要想得到函数y=3sin(2x-)的图象,只需将函数y=3cos(2x+)的图象()36ππ(a)向左平移个单位.(b)向右平移个单位.32ππ(c)向左平移个单位.(d)向右平移个单位.443tana7.inthetriangleabc,iftheinterioranglessatisfysin(a-b)=sinc,then=5tanb()(a)2.(b)4.(c)1.(d)5.328.函数y=x-3x+3x+1的图象关于()(a)点(1,2)成中心对称.(b)点(-1,2)成中心对称.(c)直线x=1成轴对称.(d)直线x=-1成轴对称.9.在锐角△abc中,下列结论中一定成立的是()sinasina(a)logsinc></a<1时,不等式loga(4-3x)></a<b<1,则11f(x)=|x-logab|+x-loga+x-logbbb的最小值是.15.已知三角形三个内角的度数成首项、公比均是整数的等比数列,则公比的值等于.→→16.supposemisinteger,ifa=(4,m),b=(-2m,4),oa=a+2b,ob=2a-→→b,|oa|=|ob|,thentheareaofthe△oabis.17.四面体abcd的三组对棱分别相等,长度分别为3,4,x,那么x的取值范围是.+,andx+y=2,thenthevaluerangeforx322318.supposex,y∈r+2xy+yis.19.设等比数列{an}的公比q≠0,1,sn表示{an}的前n项的和,tn表示{an}的前n项的乘积,tn(n,k∈n∗,k≤n),tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后所剩余的n-1项的乘积,即tn(k)=aksntn则数列{}的前n项的和是.(用a1和q表示)tn(1)+tn(2)+…+tn(n)3243的约数中,平方数有个.20.在∑kk=1三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)求数列1,3+7,13+21+31,43+57+73+91,…的第21项中的第12个数.22.(本题满分15分)在ab=6,ad=4的矩形纸片abcd中剪去圆m与圆m′,其中圆m与ab、ad相切,圆m′与bc、cd相切,且圆m与圆m′外切,则剩余部分的面积是否有最大值与最小值?若有,求出最值;若没有,请说明理由.23.(本题满分15分)已知函数f:r→r满足:图3①f(m+n)=f(m)+f(n)-1;②当x></b成立的充要条件的是()∙∙(a)sina<sinb.(b)sin2a<sin2b.(c)cosa></f(c·d).二、a组填空题(每小题4分,共40分.)11.设α∈[0,2π),则在[0,2π)内,终边与α角的终边关于x轴对称的角是.-|logx|12.函数f(x)=32-4|x-1|的值域是.222213.若a,b,c是三个互不相等的实数,且满足关系式b+c=2a+16a+14,bc=a-4a-5,则a的取值范围是.1114.若a,b是正实数,且a+b=2,则+的最小值是.1+a1+b1515.y=asin(ax+b)+b,iftheminimumvalueofyis,themaximumvalueis,then22ab=.16.设点g是△abc的重心,ga=23,gb=22,gc=2.则△abc的面积=.xx,xx按从小到大的顺序排列,应当是.17.已知0.8<x<0.9,若将x,x18.已知等差数列{an}的前n项之和是sn,若s8≤5,s11≥23,则a10的最小值是.19.若a#b=a+b-ab,则下列等式中:①a#b=b#a.②a#0=a.③(a#b)#c=a#(b#c).正确的是.(填序号)20.☉o与☉d相交于a,b两点,bc是☉d的切线,点c在☉o上,且ab=bc.若△abc的面积为s,则☉d的半径的最小值是.三、b组填空题(每小题8分,共40分.)21.已知1≤x≤8,则函数f(x)=|x-3|+|x-5|+|x-7|的最大值是,最小值是.2222,则y=f(m)22.α,β是关于x的方程x+2(m-1)x+m-4=0的两个实根,设y=α+β的解析式是,值域是.2223.已知△abc三条边长分别为a=t+3,b=-t-2t+3,c=4t,t∈r,则△abc的最大内角是角,它的度数等于.122上恒成24.方程x+log16x=0的解是;使不等式x-logmx<0在(0,)2立的m的取值范围是.22)(a></f(c·d);m<0时,f(a·b)></f(c·d).(b)f(a·b)></b)2x2222.已知a,b是方程x+2000x+1=0的两个根,则(a+2014a+15)(b+2015b+16)的值为()(a)0.(b)1.(c)-419580.(d)-420000.3.若数列{an}为等差数列,且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24.则此数列前13项之和等于()(a)13.(b)26.(c)52.(d)156.4.定义集合ak={x|x是k个大于1的连续自然数之积}(k=1,2,…),那么集合a3∩a5中的最小元素是()(a)24.(b)60.(c)120.(d)720.25.对任意的实数x,若关于x的不等式(1-a)x-2(1-a)x+6></m}(m∈n则m的最小值是.22216.已知二次函数f(x)=ax+2x+c的值域是[0,+∞),则a+c+a+c的最小值是.17.asshowninthefig.2.given△abcwithbc=4andcircleawithradius2.bcistangenttocircleaatd.thecircleaintersectswithabandacatpointeandf,respectively.∠edf=140°.thentheareaoftheshadedfig.2portionis.(英汉小词典:tangent相切的)22218.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,且ax+2bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=.19.在平面直角坐标系中,过点p(a,b)(a≠0,b≠0)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是定值m,则这样的直线可能有条.20.若集合{1,2,3,…,2014}的某些子集满足条件:没有一个数是另一个数的2倍,则这样的子集中所含元素的个数最多是.三、b组填空题(每小题8分,共40分.)121.当x>
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