2023年中国西部数学邀请赛第一、二天试题

2023年中国西部数学邀请赛中国重庆金华一中数学竞赛组整理第一天8月6日8：00—12：00每题15分1．是否存在6个两两不同的整数a,b,c,d,e,f，使得它们恰为关于x的方程232(xa)(xbxc)(xdxexf)0的6个根？2．某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？3．如图，已知DABC内两点P,Q满足PBCQBA且PCBQCA，线段BC上一点D满足PDBQDC．设点A关于直线BP,CQ的对称点分别为X,Y．证明：DXDY．4．设p为质数，整数a,b,c均与p互质．证明：存在绝对值均小于p的整数x,x,x,x，满足1234axxbxxc(modp)．1234{#{QQABQQwUogAIABJAABhCAQnQCkKQkACCCIgGhAAMoAAACQFABAA=}#},2023年中国西部数学邀请赛中国重庆金华一中数学竞赛组整理第二天8月7日8：00—12：00每题15分5．设非负实数a,a,,a满足对任意2i99，有12100maxaa,aai．i1iii1求aaa的最小值．121006．如图，设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为E，DABE的外心为K，点B关于直线CD的对称点为X，点Y满足四边形DKEY是平行四边形．证明：点D,E,X,Y共圆．7．对于正整数x,y，用r(y)表示满足ry(modx)的最小正整数r．对任意xnn(ab)正整数a,b,n，证明：rb(ai)．i128．一个100100方格表的左下角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪．老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）．现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板．称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪．求最小的正整数n，使得对任意一种“仁蒸的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过n次移动吃到奶酪．{#{QQABQQwUogAIABJAABhCAQnQCkKQkACCCIgGhAAMoAAACQFABAA=}#}