第23-26届“希望杯”全国数学邀请赛高二试卷

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)21-n1.已知集合M={m|m-m-6≤0},N={n|3<9},则M∩N=()(A)[-2,-1).(B)(-1,3].(C)[-1,3].(D)[-2,3].4的最小正周期是()2.函数y=(sinx)ππ(A)2π.(B)π.(C).(D).2422的最大值是()3.当x≥0,y≥0时,函数f(x,y)=x2-y+y3-x(A)2.(B)3.(C)6.(D)23.→1→→1→→1→4.已知点A,B,C,P在同一平面内,且PQ=PA,QR=QB,RP=RC,则△ABC与333△PBC的面积之比是()(A)14∶3.(B)19∶4.(C)24∶5.(D)29∶6.5.Suppose[x]representsthegreatestintegernolargerthanrealnumberx.Thenthe2numberoftheintegersolutionstotheequation[3x+5x]=2is()(A)0.(B)1.(C)2.(D)4.ìx≥0,y≥0,6.设不等式组í表示的区域为D.已知对于a≥0,b≥0,当点P(x,y)∈D时,xy+≤1,î34ax+by≤5恒成立,则点(a,b)所形成的平面区域的面积等于()252525(A).(B).(C).(D)6.91216|lg(-x)|,x<0,若关于x的函数y=f2(x)-bf(x)+1有8个7.已知函数f(x)={2x-6x+4,x>0.不同的零点,则实数b的取值范围是()1717(A)(2,+∞).(B)[2,+∞).(C)(2,4).(D)(2,4].8.如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′,P、Q、R分别是所在棱的三等分点,平面PQR将长方体分成两部分,则这两部分体积的比是()(A)1∶1.(B)2∶3.(C)1∶2.(D)2∶5. 229.已知t是常数,若方程x+y-2x+1=t|3x-4y|所表示的图形是椭圆,则t的取值范围是()1111(A)(0,5).(B)[0,5].(C)(0,5].(D)[0,5).10.已知△ABC,如果适当排列sinA,cosA和tanA的顺序,可使它们成为一个等比数列,那么角A的大小属于区间()ππππ3π3π(A)(0,).(B)(,).(C)(,).(D)(,π).442244二、A组填空题(每小题4分,共40分.)xx11.不等式4>2+2的解集是.x2-2,x≤0,12.已知函数f(x)={则f(2015)=.f(x-1)-f(x-2),x>0.2和2e的大小,结果是e2e13.比较e2.(填“>”,“<”,或“=”.其中e是自然对数的底)14.长方体的所有棱与平面α所成的角均为θ,则cosθ=.15.若正实数a与它的整数部分及小数部分构成等差数列,则a=.16.已知|a|≤1,|b|≤1,|c|≤1,则ab+bc+ca的取值范围是.∗,且1≤m,n≤100,则数列{4m+1}与{6n-3}的所有相同项的和为17.已知m,n∈N.24-x-518.函数y=的值域是.3x+3ab19.若正数a,b满足2a+b=1,则+的最小值是.2-2a2-b220.GivenaparabolaC:y=4x.PointsA(4,4),P,andQareontheparabola.Ifthesum4oftheslopesofAPandAQis,thenPQissupposedtopassthroughafixedpointD.The3coordinateofDis.(英汉小词典:parabola抛物线;slope斜率;coordinate坐标)三、B组填空题(每小题8分,共40分.)221.函数y=sinx+sinx的最大值是,最小值是.22的定义域是,值域是.22.函数y=x-6x+8+8+6x-x23.长方体ABCD-A′B′C′D′的各面的中点P,Q,R,X,Y,Z组成一个面体,它的体积与长方体的体积的比值是.2224.已知{an}是单调递增数列,且有a1=4,an+1+an+81=18(an+1+an)+2an+1an.则a2=,an=.22x2x0225.已知椭圆C:+y=1的两焦点是F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+y0<1,22x0x则|PF1|+|PF2|的取值范围是,直线+y0y=1与椭圆C的交点的个数是.2 高二第1试答案题号12345678910答案BBCBBBCCAA题号11121314151636答案(1,)1.5[-1,3]23题号171819205222522212答案6633,,22,19923题号21221答案2；-317，24，3+17；[4，42]4题号23242512答案八；25；(3n1)[2,22)；06 第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.)201520151.已知sinx+cosx=-1,则sinx+cosx的值是()2015(A)-1.(B)0.(C)1.(D)-22.xyyx+,x+y=1,M=,N=,则M与N的大2.已知x,y∈R2+22+2x+yx+yx+yx+y小关系是()(A)M>N.(B)M<N.(C)M=N.(D)不确定的.2n3.若S=ln2+(ln2)+…+(ln2)+…,则()(A)0<S<1.(B)1<S<2.(C)2<S<3.(D)S>3.→→→→4.已知点P是边长为1的正五边形ABCDE内(含边界)一点,则|PA+PB+PC+PD→+PE|的最大值是()1155(A).(B).(C).(D).2cos36°2sin36°2cos36°2sin36°1+,在区间[-a,a]上随机取数x,使得|x+1|-|x-2|≥0成立的概率是,5.已知a∈R4那么,a的值是()1(A).(B)1.(C)2.(D)3.226.设[x]表示不超过实数x的最大整数,如果不等式2x+3[x]+1>k对于所有实数x都成立,那么,k的最大值是()5(A).(B)1-3.(C)23-1.(D)1+3.82y227.如果二次函数y=f(x)=ax+x+a的顶点坐标满足x+≤1,则a的最小值是4()17111(A)-.(B)-.(C).(D).2224328.f(x)=x+(3-2a)x+ax(x∈R)isamonotonicfunction,aisaparameter.Thenthevaluerangeofais()2333(A)[,],3,334.(B)(4).(C)[4].(D)[4,6].229.已知椭圆C:3x+4y=12和直线l:y=4x+m,若C上存在关于l对称的两个不同的点,则实数m的取值范围是()213213213(A)(,-∞,-13).(B)(-1313). 213213213213(C)[,,+∞-1313].(D)(-∞,-13)∪(13).10.过正方体ABCD-A1B1C1D1外一点,与直线AC1和BC的夹角都是80°的直线的条数是()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.二、填空题(每小题4分,共40分.)x11.已知f(2-1)=2x-1,则f(x)的定义域是.12.满足2015-2014<a-2001的最小正整数a的值是.22xy13.已知点A(2,0),B(0,2),直线y=kx+b与椭圆+=1有两个交点P、Q.当四边形42ABPQ的面积最大时,b=.π5tantanπ8814.计算:=.π5tan+tanπ+188ab15.已知函数f(x)=2x-k,若存在两个不同的实数a,b,使f(a)=,f(b)=,则实数33k的取值范围是.16.IntetrahedronABCD,AB=CD=34,AC=BD=41,AD=BC=5.Thenthevolumeofthespherecircumscribingofthetetrahedronis.217.若实数x,y满足max{2-x,x-4}≤y≤x+2,则5x-y的取值范围是.Snn+1a201518.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若=,则=.Tn4n+5b4+b12319.函数y=cosx-cos2x+cosx的值域是.22220.已知f(x)=x+2a1-x+a-4a+5,若f(x)的最大值是g(a),则关于a的不等式log1g(a)+3<0的解集是.2三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)y22Non-zerorealnumberx,ysatisfy(x+x+12)(y+y+3)=6.Find.x22.(本题满分15分)已知圆锥的母线长为l,底面半径为r,求此圆锥的内接正n(n≥3)棱柱的体积的最大值,及对应的n棱柱的底面多边形的边长.(注:圆锥的内接正n棱柱是指顶点在圆锥的侧面上或圆锥的底面内的正n棱柱.)23.(本题满分15分)22xy已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的斜率之积为-3,左、右两支上分别有动点abA和B.→→(1)若经过点D(0,5a)的直线AB的斜率为1,且AD=λDB,求实数λ的值;(2)设点A关于x轴的对称点为点M.若直线AB、MB分别与x轴交于点P、Q,O为坐标原点.证明:|OP|·|OQ|=a2. 高二第2试答案题号12345678910答案ACCDBBACBD题号1112131415答案[21,)2002210k9题号161718192012524131答案2,313,a26或a33427y121..x222222p22.体积最大值是nrl-rgsin(n³3).27n4p正n边形的边长是a=rsin.3n223.（1）.7（2）略. 第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.集合P={x||x|≤1,x∈R},Q={x||x-1|≤1,x∈Z},则P∩Q=()(A)(0,1).(B){0,1}.(C)[0,1].(D)[-1,1].2.已知x>0,A=log3(1+x),B=log4x,则A与B的大小关系是()(A)A>B.(B)A=B.(C)A<B.(D)随x的值而定.3.有若干同心圆,其半径是公比为q(q>1)的等比数列,相邻的两个圆组成一个圆环,则这些圆环的面积()(A)不是等比数列.(B)是等比数列,公比为q.(C)是等比数列,公比为q22.(D)是等比数列,公比为q-1.24.设a,b是两个非零向量,则“a和b同向”是“(a·b)=(a·a)(b·b)”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分且必要条件.(D)既不充分也不必要条件.x-yy-x,则下列关系式中成立的是()5.已知x,y∈R,且3+5≤3+5(A)ex-yy-x≥1.(B)e≥1.(C)ln(x-y)≥0.(D)ln(y-x+1)≥1.26.Therangeofvaluesforthefunctiony=x+1-xis()(A)[-2,2].(B)(-2,2).(C)[-1,2].(D)(-1,2).227.方程x+y-2+xx+2+(y-2)y-4y+6=0的正整数解的个数是()(A)1.(B)2.(C)5.(D)无穷多.8.已知正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=a,AB=2a,M、N、E分别是AB、AC、A1B1的中点,那么平面BCE与平面MNE所成二面角的余弦值是()37727(A).(B).(C).(D).22772y29.椭圆x+=1的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比图14等于()3457(A).(B).(C).(D).456810.定义:过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点,则线段AB称为该双曲线的焦点弦.已知22xy双曲线-=1,那么过该双曲线左焦点,长度为整数且不超过2012的焦点弦的条数是()259(A)4005.(B)4018.(C)8023.(D)8036. 二、A组填空题(每小题4分,共40分.)211.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足:f(x)+g(x)=x+x+1,则g(2)=.12.函数y=e2x+1-ex(x∈R)的单调递减区间是.13.平面直角坐标系中,已知点A(2,1),动点B在x轴上,动点C在直线y=x上,那么△ABC的周长的最小值是.π14.已知sinθ+cosθ=2,则tan(θ-)=.3nn2011+2013+,n∈Z+,将A中的元素从小到大地排列为:a,a,15.设A={n∈Z}122012…,则a…+a1+a2+2012=.2xn+116.已知数列{xn}中,x1=3,xn+1=,则数列{xn}的通项公式xn=.2xn17.设A是半径为5的☉O上的一个定点,单位向量b在A点处与☉O相切,点P是☉O上→的一个动点,且点P与点A不重合,则AP·b的取值范围是.2218.Supposetheequationx-2kx+k-1=0hastwounequalrealrootsx1,x2,whichsatisfy|xi-1|<3(i=1,2).Thentherangeofvaluesfortherealnumberkis.19.如图2,在正四面体ABCD中,P1,P2是BC的3等分点,过这两个分点分别作CD的平行线P1Q1,P2Q2,其中Q1,Q2在BD上,则点B到平面AP1Q1,AP2Q2的距离之比是.22xy20.已知双曲线C:2-2=1的左、右焦点分别是F1,F2,正三角形AF1F2ab→→的一边AF1与双曲线左支交于点B,且AF1=4BF1,则双曲线C的离心率的值是.图2三、B组填空题(每小题8分,共40分.)21.一个正数的小数部分、整数部分及它自身构成等比数列,则该数的整数部分是,小数部分是.22.已知正三棱锥的侧面积与底面积之比等于λ,则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等于,侧棱与底面所成角的正弦值等于.23.设曲线y=xn+1(n∈N∗)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x,则nxn=,log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011=.ππ3π24.已知函数f(x)=3sin(x+)cos(x+)+cosxcos(x+),则f(x)的最小正周期442是.若函数f(x)的图象按向量b=(m,n)平移后,所得的图象与函数g(x)=sin2x+π1的图象重合,且|m|<,则b=.2|lnx|,e0<x≤5,25.已知f(x)={若方程f(x)=k(k是常数)有三个不同的实数-x+10,x>5.根a,b,c,且a<b<c,则ab=,c的取值范围是. 第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)21.已知集合P={x|0≤x≤5,x∈Z},Q={y|y=|x-1|,x∈P},则P∩Q中元素的个数是()(A)3.(B)6.(C)8.(D)9.π12.方程log13|x|=sin(-x)的实根的个数是()22(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.3.命题p:不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数.2命题q:函数y=x+的单调递增区间是[-2,0)∪[2,+∞),x则下列命题中,真命题是()(A)p∧q.(B)(■p)∨q.(C)(■p)∧(■q).(D)p∧(■q).24.设a,c是正实数,则对于每个实数t,抛物线y=ax+tx+c的顶点在xOy平面内组成的图形是()(A)一条直线.(B)一条抛物线.(C)一条抛物线的一部分而不是全部.(D)双曲线的一支.225.Theminimumvalueofthefunctiony=x-2x+5+x+4is()(A)4.(B)32.(C)25.(D)17.26.若对于任意实数x,都有t+5t≤|2x-4|-|x+2|恒成立,则t的取值范围是()(A)[1,4].(B)[-4,-1].(C)(-∞,1]∪[4,+∞).(D)(-∞,-4]∪[-1,+∞).n-1n-142(n∈N∗),则数列{a}()7.已知数列{an}的通项公式为an=()-()n93(A)有最大项,没有最小项.(B)有最小项,没有最大项.(C)既有最大项又有最小项.(D)既没有最大项也没有最小项.221-tanx8.已知函数f(x)=(2),则f(x)的最小正周期是()1+tanx3π(A)2π.(B)π.(C)π.(D).222y29.双曲线x-=1在点(-2,2)处的切线的方程是()2(A)y=-x+2.(B)y=-x+32.(C)y=-2x-2.(D)y=-2x+32.→→→→10.已知向量OA=(-2,0),OB=(2,2),BC=(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π),则向量OA→与OC的夹角的取值范围是()7π11π7π11π2π5π5π7π(A)[,].(B)[,].(C)[,].(D)[,].6612123344 二、填空题(每小题4分,共40分.)x11.函数f(x)=ln的定义域是.x-112.三角式6tan10°+42cos80°的值等于.1+an13.已知数列{an}中,a1=2,an+1=.记数列{an}的前n项的乘积为∏,1-ann则∏=.2012201211201214.Howmanypositiverootsdoestheequation(x+)-x+2x+=0have?22.15.不等式cos2θ+22cosθ>1的解集是.16.已知向量a,b,c是三个具有公共起点的非零向量,且|a|=2|b|=2,又a·b=-1,π〈a-c,b-c〉=,则当|a-c|=7时,向量a与c的夹角是.32xn+117.若数列{xn}满足条件x1=3,xn+1=,则该数列的通项公式xn=.2xn22218.已知点M是△ABC所在平面内的一点,且满足MA+MB+MC=4,那么△ABC三条边长之积AB·BC·CA的最大值是.19.如图1,正方体ABCDA′B′C′D′中,EE′∥FF′∥BB′,平面AEE′A′与平面ABB′A′成15°角,平面AFF′A′与平面ADD′A′成30°角.如果正方体的棱长为1,那么几何体AEFA′E′F′的体积等于.220.已知A,B是抛物线y=4x上的两个动点,且|AB|=3,则当AB的中点M到y轴的距离最短时,点M的横坐标是.三、解答题图1每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)解不等式log(x22a+1+x)+loga(x-2x+10+x-1)≥loga3(a>0且a≠1).22.(本题满分15分)已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4,求此正三棱锥的体积的最大值.23.(本题满分15分)2y椭圆C:x2+=1(0≤x≤1,0≤y≤2)在第一象限内的一段弧记为AB,点P(x,4y)在弧AB上,如图2.(1)用t(P)表示椭圆C在P点处的切线的单位向量,方向是依椭圆的逆时针走向.求向量t(P)的解析式;→(2)令函数f(P)=t(P)·OP,写出函数f(P)≡f(x)的解析式;(3)求函数f(P)的最大值及取得最大值时的点P的坐标,并确定函数f(P)≡图2f(x)的值域. 第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.将函数y=x+2的图象沿向量(2,1)平移,得到的图象所对应的函数的解析式是()(A)y=x+3.(B)y=x+1.(C)y=2x+2.(D)y=-x-2.2.设x,y,z>0,xyz+y+z=12,则log4x+log2y+log2z的最大值是()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.2223.已知集合A={x∈R|x-2ax+2a+2=0},B={x∈R|log2(x-2x+5)≥a},若A∩∁RB不是A∪∁RB的真子集,则实数a的取值范围是()(A)(-2,2).(B)(-2,2].(C)(-∞,2).(D)(-∞,2].4.若不等式|ax+b|<3的解集是-1<x<2,则ab=()(A)-2.(B)-1.(C)1.(D)2.5.当a,b,c均为正实数时,给出以下三个不等式:(1)a222222;-ab+b<b-bc+c+c-ca+a(2)a222222;-ab+b<b-bc+c+c+a(3)a222222-ab+b<b+c+c+a.其中,一定成立的不等式的个数是()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.226.若sin2θ和cos4θ是函数f(x)=x-2a-4a-3的两个零点,则θ的值是()1π3π(A)kπ+(k∈Z).(B)2kπ+(k∈Z).24413ππ(C)kπ+(k∈Z).(D)kπ+(k∈Z).4847.Giventhesequence{an}satisfiesan+am=an+m(nandmarepositiveintegers),anda1=1,thenthesumofthefirst2013termsis()20131(A).(B)1.(C)1007.(D)2013.2013→→8.已知平面直角坐标系内的点A(1,2)和B(-2,4),及坐标原点O,若点P满足OP=mOA→,其中m,n∈R,并且m22+nOB-4n=1,则点P的轨迹方程是()(A)x-2y=1.(B)2x-y=0.(C)x22-4y=1.(D)xy=2.229.方程x+2x+2y=2的整数解(x,y)的个数是()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.10.三棱锥SABC的底面ABC是正三角形,侧棱长都是1,则此棱锥的体积的最大值是()1111(A).(B).(C).(D).3456二、A组填空题(每小题4分,共40分.)22的值域是.11.函数y=x+24-x2212.若2≤2x+y≤4,则函数f(x,y)=x-y+xy-2y的最大值是. 13.非零向量a和b满足条件|a|=|b|=|a+b|,则向量a和b的夹角等于度.ìx≥014.已知不等式组íx+3y≥3所表示的平面区域被直线y=kx+2分成面积比是1∶3的两î3x+2y≤6部分,则k的值是.12时,f(x)>0恒成立,则函15.已知函数f(x)=loga(2x+x)(a>0,a≠1),且x∈(0,)2数f(x)的单调递增区间是.2216.Ifthestraightlinel:mx+ny-2=0tangentstocircleC:x+y-4x-4y-8=0,thentheminimumvalueofm+n+mnis.n+117.记数列{an}的前n项和为Sn,若4Sn=an+1-3-3,a1=0,则用n表示数列通项an,是.3π18.方程8sinx-6sinx+1=0(0<x<2)的解是.19.如图,四棱锥VABCD中,底面ABCD是正方形,VD⊥面ABCD,如果AD=DV=2,那么面VAC与面VCD的夹角的正弦值等于.22→→xy20.已知椭圆:+=1的左焦点为F1,右焦点为F2,点P在椭圆周上,则PF1·PF2的取94值范围是.三、B组填空题(每小题8分,共40分.)121.函数y=的定义域是,值域是.2x-1+2x-xπ22的最大值是,22.当-≤θ≤0,t∈R时,函数f(t,θ)=(t-cosθ)+(t-sinθ)2最小值是.23.若将数列1,1+3,3+5+7,5+7+9+11,7+9+11+13+15,…,记为{an},则数列{a}的通项公式a,数列{a}的前n项的和Snn=nn=.24.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使D点变到D′点,得到三棱锥D′ABC.若D′A=D′B,则三棱锥D′ABC的体积是,侧面ABD′与BCD′的夹角的余弦值是.22xy25.双曲线2-2=1(a,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线交双曲线的右支于点ab9M和N.又点A、B分别是△MF1F2、△NF1F2的内心.当离心率e=2,|AB|=,直线MN倾28斜角的正弦值为时,a=,双曲线的方程是.9附加题(每小题10分,共20分.)1.已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E点在AB上,AE=a(0<a<1).小明从E点出发在矩形内行进,依次经过矩形三边AD,DC,CB上的一点(不含顶点)后,回到E点,则小明行进的路程最短是.2(|y|-1)2x2.曲线C:+=1所围成的图形的面积是.94 高二第1试答案题号12345678910答案BADADDCDDD题号111213141524131答案[4,5]120°或,5322题号1617181920756答案3´5n-1-3n或[-1,4]618183题号2113答案12x12且x;(,1][21,)．2题号222311,n1n(n1)(2n3)答案1;2;223n4n,n22题号24252221xy答案;2;1123412题号附加题1附加题2答案25833 第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.已知函数y=f(x)是偶函数,且f(4+x)=f(4-x),则函数f(x)()(A)是周期为2的函数.(B)是周期为4的函数.(C)是周期为8的函数.(D)不是周期函数.2.两个非零向量a和b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量a和b的夹角等于()(A)60°.(B)90°.(C)120°.(D)150°.5223.若函数y=x+ax+a+a-2有4个单调区间,则实数a的取值范围是()2222(A)(-∞,-4).(B)(-4,).(C)(,+∞).(D)[-4,].333π4.当0<x<时,下列命题中正确的是()2(A)sin(cosx)>cos(sinx).(B)sin(cosx)<cos(sinx).(C)sin(cosx)=cos(sinx).(D)sin(cosx),cos(sinx)的大小不确定.225.直线3ax-2by-3=0(a>0,b>0)与曲线x+y-2x+6y+1=0相交于A、B两点,11若AB=6,则+的最小值是()ab(A)22.(B)3.(C)32.(D)3+22.2cosx-3a6.若关于x的不等式1<<2有解,则参数a的取值范围是()2a-cosx4443(A)(-,0)∪(0,).(B)(-,0)∪(0,).77753334(C)(-,0)∪(0,).(D)(-,0)∪(0,).55572},B={(x,y)|(x-5)227.已知集合A={(x,y)|y=-x+(y-1)=4},M∈A,N∈B,则|MN|min=()(A)25-2.(B)2.(C)23-2.(D)23+1.8.已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-1,0)和F2(1,0),且C与直线x+y-3=0有公共点,则C的离心率的最大值是()6565(A).(B).(C).(D).1256109.LetABCDbeatetrahedronwithedgelength7,13,18,27,36,and41.IfAB=41,thenCD=()(A)7.(B)13.(C)18.(D)27.10.在平面直角坐标系中,过点A(2,3)且与单位圆O相切的圆的圆心轨迹是()(A)圆.(B)椭圆.(C)双曲线.(D)抛物线. 二、填空题(每小题4分,共40分.)211.已知关于x的函数y=lg[x+2(a+1)x+1]的定义域是R,则a的取值范围是.212.已知f(x)=x+,则函数y=f(f(x))的单调递增区间是.x222π,k∈Z,则实13.若关于θ的不等式cos2θ-2cosθ+4-m<0的解集为{θθ≠kπ+}2数m的值是.11-x114.Supposef(x)=+lg,thenthesolutionsetfortheinequalityf[x(x-)]2x+51+x21<willbe.5→2215.已知直线l:y=kx-1与圆C:x+y-8x-6y+21=0交于A、B两点(C为圆心),若CA→·CB=0,则k=.16.已知三棱锥ABCD的侧棱长都是6,且AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAD=60°,点E、F分CEAF别在AC、AD上,==2,则VFBDE=.EAFD2k17.若关于x的方程3cos2x-=25有解,则参数k的取值范围是.cosx218.已知抛物线C:x=4y的焦点是F,直线l与C交于A、B两点,若AF=2,BF=5,则满足条件的直线l的条数是.19.有一个正四棱锥VABCD,侧面都是边长为1的正三角形,设点P在侧面VAB的边AB的高线上,且点P到点V与到边AB的距离比为1∶3,M是边BC的中点,则在棱锥表面上从点P到点M的最短距离是.20.以棱长为1的正方体的一个顶点,以及与它不共面的三个面的中心组成一个三棱锥,则这个三棱锥的体积是.三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)1已知函数y=f(x)=2-,数列{an}满足:a1=2,an+1=f(an).xbn(1)证明:存在一个等差数列{bn},使得当n>1时,an=成立;bn-1(2)求{a}的通项公式.n22.(本题满分15分)已知四棱锥PABCD的底面是正方形,PD=AD=4,PD与底面成60°角,点H在AD上,且PH⊥底面ABCD,点M是PC的中点.求:(1)DM与BC所成角的余弦值;(2)直线PC与HB间的距离.23.(本题满分15分)2(|y|-1)2x在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程是+=1,内接于曲线C的矩形D的94边都平行于坐标轴.(注:矩形D的顶点在曲线C上,且矩形D的边上的任意一点(x0,y0)在曲线C内,即2(|y)2x00|-1+≤1.)94(1)求矩形D的周长L和面积S关于x的函数表达式;(2)求周长L的最大值. 高二第2试答案题号12345678910答案CCBBDCABBC题号111213答案2a02,,25题号1415161-1711+17815答案(,0)U(,)234247题号1718192011答案11,00,1143981221.（1）略.n1（2）数列{an}的通项公式是an.n222.（1）.4893（2）.31 23.（1）（2）4134. 第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1<x+y<7,0<x<5,1.命题P:x和y满足{命题Q:x和y满足{那么,P是Q的0<xy<10.1<y<2.()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.2.若定义在R上的函数f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),则函数f(x)一定是()(A)奇函数.(B)偶函数.(C)减函数.(D)增函数.3.函数f(x)=|sin2x|+|cos2x|的最小正周期是()πππ(A).(B).(C).(D)π.84214.已知A是△ABC的一个内角,且满足cosA+sinA=,那么,△ABC是()2(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)等边三角形.5.从1,2,3,…,100中任取3个数,使这3个数恰好成等差数列的不同取法有()(A)2440种.(B)2450种.(C)2500种.(D)2550种.26.已知数列{an}满足anan+1+2an+1-an=0(an>0),a1=1,那么,该数列的通项公式是()ππ(A)an-1n+12n=2.(B)an=log42.(C)an=tann+1.(D)an=2sinn+1.22+,a…+a,anda22…+a21,then7.Ifa1,a2,…,a2014∈R1+a2+2014=11+a2+2014=2013thevaluerangeofa2014is()1111(A)(0,].(B)(0,].(C)(0,].(D)(0,].100610072013201428.在平面直角坐标系内,已知点A(1,3),点B(3,1),若点C在抛物线y=-2x上,则△ABC的面积的最小值是()77475217(A).(B).(C).(D).421689.若λ<5x+3y对一切满足log3(3x-y-6)<log3(8y-3x+24)的x,y都成立,则ππ实数λ的最大值是()(A)-2.(B)-1.(C)2.(D)5.10.如图1,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1、A2、B1、B2,焦点分别是F1、F2,延长B2F2交A2B1于点P.若∠B2PA2是钝角,则此椭圆的离心率的取值范围是()5+15+1(A)(0,).(B)(,1).445-15-1(C)(0,).(D)(,1).22图1 二、A组填空题(每小题4分,共40分.)111111.+++…+=.1+22+33+415+162212.在平面直角坐标系xOy中,直线l:ax+by+c=0被圆C:x+y=16截得的弦的中点为M.若a+3b-c=0,则OM2的最大值是.213.当x≥1时,f(x)=ax-2x+3≥0恒成立,则a的最小值是.→2→→→14.过△ABC的重心的直线PQ交AC于点P,交BC于点Q.若PC=AC,QC=nBC,则3n的值是.15.如图2,☉O是等腰梯形ABCD的内切圆,M是切点,AM、BM分别与AMBM☉O交于点P、T,则+的值等于.APBT图216.如图3,正三棱柱ABCA′B′C′的底面边长是1,点D、E分别是棱3A′C′、B′C′的中点,四边形ADEB的面积是,则AA′=.417.正方体的中心、顶点以及各面的中心,共15个点,可以组成个三角形.2的交点的个数是18.在平面直角坐标系内,曲线logxy=logyx与抛物线y=x.π19.当0<θ≤时,不等式cos2θ+2asinθ-2≤0恒成立,则参数a的取值2图3范围是.2y220.若直线l与椭圆x+=1相切,则l与坐标轴所围成的三角形的面积的最小值是4.三、B组填空题(每小题8分,共40分.)1132,上的最大值是,最小值是21.函数f(x)=x-x-x+1在[-]22.22.已知f(1,1)=1,f(2,1)=2,f(2,2)=4,f(3,1)=7,f(3,2)=11,f(3,3)=16,f(4,1)=22,f(4,2)=29,…,如此继续下去,则f(5,5)=,f(100,1)=.A+B223.△ABC的外接圆半径为2,三个内角满足2sin-cos2C=1,则C=°,2△ABC的面积的最大值是.24.AsshownintheFig.4.SupposethebaseofrectangularboxABCDA′B′C′D′isasquarewithlength1.LetMbethemidpointofBB′.IftheplaneAMCisperpendiculartoplaneA′MC′,thentheheightoftherectangularboxABCDA′B′C′D′is,anditssurfaceareais.(英汉词典:base底;rectangularbox长方体;beperpendicularto垂直于)25.若数列{an}满足(3+an+1)(2-an)=6(an≠0),a1=1,则Fig.4111a2=,++…+=.a1a2an 高二第1试答案题号12345678910答案BABCBCBBAD题号111213141512答案3101033题号161718192013答案4360a224题号2122323答案;106；12253726278题号2324252n答案120;32;2423;66()n3 第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.)1.“x>y>1”是“logxy<logyx成立”的()(A)充分但不必要条件.(B)必要但不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.222.当函数y=x+2x+5+x-4x+5取最小值时,x的值是()(A)-1.(B)1.(C)2.(D)32.11,则函数y=tx3.已知正实数a,b满足a+b=1,t=+-1的图象一定经过的象限是ab()(A)Ⅰ、Ⅱ.(B)Ⅰ、Ⅲ.(C)Ⅱ、Ⅳ.(D)Ⅲ、Ⅳ.4.若λ<4x+y对一切满足log1(3x-6)<log1(x-y-1)的x,y都成立,则实数λ的最22大值是()(A)0.(B)4.(C)9.(D)13.5.由一个正方体的顶点所确定的不同平面的个数是()(A)8.(B)12.(C)20.(D)48.6.Givenfunctionf(x)satisfiesf(x+1)=-f(x)withRasitsdomain,andwhenx∈[0,1),f(x)=x.Sothenumberofsolutionsforequationf(x)=log()3|x|is(A)6.(B)4.(C)3.(D)2.(英汉小词典:domain定义域)π7.令θ=,则下面四个数中最大的是()6(A)sin(sinθ).(B)sin(cosθ).(C)cos(sinθ).(D)cos(cosθ).8.已知{an}是等比数列,且an>0,a4+a3-a2-a1=5,则a5+a6的最小值是()(A)10.(B)14.(C)16.(D)20.29.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的两个顶点是A(3,0),B(0,4),若顶点C在抛物线y=-2x上,则△ABC的面积的最小值是()87178217435(A).(B).(C).(D).1616161622xy10.如图1,F1、F2分别是双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦ab点,过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点,若|AB|∶|BF2|∶|F2A|=3∶4∶5,则C的离心率是()(A)13.(B)15.(C)2.(D)3.图1二、填空题(每小题4分,共40分.)2222的取值范围是11.若方程x+(2m-2)x+m+3=0有两个不相等的实根x1,x2,那么,x1+x2. 312.已知实数x,y满足x2+y2=3,代数式x2+mxy+y2(m为常数)的最小值是-,则m=2.2x,-3<x≤0,13.若f(x)是定义在R上的周期为6的函数,并且f(x)={2则f(f(100))=x,0<x≤3,.→→14.设点M在△ABC内,且AB·AC=23,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面114积分别是,x,y,则+的最小值是.2xya3n15.在等差数列{an}中,若a1=2,为常数k,则{an}的前10项的和S10=.a2n|x-y|≤1,16.在平面直角坐标系xOy中,由不等式组{的解集所围成的区域的面积等于|2x+y|≤2.17.已知Rt△ABC中,∠A=30°,S△ABC=1.用与∠A两边都相交的直线m将△ABC的面积二等分,则直线m在△ABC内的线段的长度的最小值是.218.若抛物线y=x-tx+1与直线y=-1有两个不同的交点,则t的取值范围是.19.如图2,已知棱长为10的正四面体ABCD,点E在AD上,且AD=图23AE,F是AC的中点,则点A到平面BEF的距离是.220.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y=2px(p是大于0的常数),过点A(-2,-4)且斜率为1的直线与C相交于点P1和P2,若|AP1|、|P1P2|、|AP2|成等比数列,则C的方程是.三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)πTheinequalitycos2θ+asinθ+2a+2<0alwaysholdswhile0≤θ≤.Findthevalue2rangeofa.22.(本题满分15分)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长都是1,∠A1AD=60°.(1)求此四棱柱体积的最大值;(2)若AB⊥AD,∠A1AB=60°,求BD1与A1D所成角的余弦值.23.(本题满分15分)已知椭圆C的中心在平面直角坐标系xOy的原点,一个焦点是F(0,2),且长轴与短轴的长度比是2∶1.C上在第一象限的点P的横坐标为1,过点P作两条倾斜角互补的直线,分别交C于另外两点A、B.求:(1)C的方程;(2)直线AB的斜率;(3)△PAB面积的最大值. 高二第2试答案题号12345678910答案ABBCCBCDAA题号1112131415答案(8,)341820或110题号161718192082答案31(,22)(22,)1y2x3321.a<-．2322.（1）四棱柱的最大体积是．23（2）BD与AD所成角的余弦值为．11622yx23.（1）椭圆C的方程为1.42yyAB（2）k2．ABxxAB（3）(S)2．PABmax