第23-26届“希望杯”全国数学邀请赛初二试卷

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)22的值是()1.若a+b=10,ab=24,则a+b(A)48.(B)76.(C)58.(D)52.2.若一次函数y=x+5的图象经过点P(a,b)和Q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是()(A)9.(B)16.(C)25.(D)-25.2为x42的平方根,则满足此关系的x的值的个数是()3.已知-(1-2x)+1-2x(A)4.(B)3.(C)2.(D)1.4.Supposeaisaninteger,solutionstotheequationax+5=4x+1arepositiveintegers.Thenthenumberofais()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.(英汉小词典:positive正的)5.在菱形ABCD中,若∠DAB=60°,AC=12,则菱形对角线交点到各边的距离之和是()(A)3.(B)4.(C)43.(D)12.6.如图1所示,点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点,则阴影部分的面积是()1111(A).(B).(C).(D).23457.如图2所示,字母A到G分别代表1到7中的一个自然数,若A+G+D,图1B+G+E,C+G+F分别被3除,都余1,则G是()(A)1或4.(B)1或7.(C)4或7.(D)1或4或7.8.下列说法:①平行四边形包含矩形、菱形和正方形;②平行四边形是中心对称图形;③平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形;图2④平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形.其中正确说法的序号是()(A)①②④.(B)①③④.(C)①②③.(D)①②③④.9.有一列数:10,2,5,2,4,2,x,(x是正整数),若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列,恰好中间的数是左、右两个数的平均数,则x可能取的值的和是()(A)3.(B)9.(C)17.(D)20.10.对于自然数m,如果m能整除1×2×…×(m-1),那么称m为“公除数”,则4到20(包括4和20)的自然数中,“公除数”的个数是()(A)9.(B)10.(C)11.(D)12. 二、A组填空题(每小题4分,共40分.)11.若102.01≈10.1,10.201≈3.1939,则1.0201≈.12.已知a,b都是有理数,且a+3ab+1=3b-23a,则a+b=.abc11113.已知a+b+c=1,++=3.则++=.b+cc+aa+bb+cc+aa+bmn5x+2恒成立,则m2214.已知m,n是实数,且当x>2015时,+=2-n=x-2x+2x-4.c-bc-a15.设a,b,c都是正整数,且1<a<b<c,abc=2015,那么-=.b-ab3x+2y=84x+2y=1016.若关于x,y的方程组{与{的解相同,则a+b=.ax+by=10bx+ay=1417.AsshownintheFig.3,BandCarepointsonADin△AED.AB=CD,EB=EC=10,BC=12.Theperimeterof△AEDistwicetheS△AEDperimeterof△EBC.Then=.(S△AEDrespresentstheareaofS△EBCFig.3△AED,S△EBCrespresentsthearea△EBC)(英汉小词典:perimeter周长;area面积)18.若5-3的小数部分是a,5+3的小数部分是b,则(a-1)(b+2)的值是.19.如图4所示,四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,且AB=21,AD=9,BC=DC=10,则AC=.111120.已知a1=,a2=,a3=,a4=,…,则a2015=.2-1a1a2a3图4三、B组填空题(每小题8分,共40分.)21.若xy>0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第象限或第象限.22.已知2-|x|+1-|y|=0,且|x-y|=y-x,则x+y的值等于或.23.如图5所示,C在线段AB上,在AB的同侧作等边△ACM和△BCN,连接AN,BM.若∠MBN=38°,则∠AMB=度,∠ANC=图5度.24.下面是一个按某种规律排列的数阵:1第1行232第2行567223第3行1011231314154第4行……根据数阵排列的规律,第5行从左向右第5个数为,第n(n≥3,且n是整数)行从左向右第5个数是(用含n的代数式表示).25.长为n,1+n+2,n+n(n+2)的三条线段可以构成三角形,则自然数n=或. 初二第1试答案题号12345678910答案DDCBDDDADB题号11121314151答案1.012652题号16171819205答案8217212题号212223答案一；三–1；–398；22题号2425答案21;2n-2n+61；2 第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.)221.若代数式x-6x+b可化为(x-a)-1,则b-a的值是()(A)5.(B)4.(C)3.(D)2.a+22.已知a是实数,b是有理数,若=2,则2a+b是()b-2(A)有理数.(B)无理数.(C)2015.(D)0.abc3.已知a,b,c都是非负整数,且2×3×7=1176,则2a+3b+7c的值是()(A)21.(B)23.(C)25.(D)28.a24的值是()4.如果a=b≠0,则2b(A)1.(B)0.(C)-1.(D)1或-1.115.y=(k-)x+(0<k<1)是关于x的一次函数,当1≤x≤2时,y的最大值是()kk1(A)1.(B)2.(C)k.(D)2k-.k6.在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O是原点.现将正方形OABC绕点O顺时针旋转,当点A第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图1).在正方形OABC旋转的过程中,△MBN的周长()(A)逐渐变大.(B)逐渐变小.(C)始终是6.(D)始终是4.图17.IntherectangularcoordinatesxOy,ifxandyareintegers,wecall(x,y)isalattice.Thenthenumberoflatticesonthecurveofy=2015-xis()(A)43.(B)44.(C)45.(D)2015.(英汉小词典:lattice格点)8.如图2,矩形ABCD的周长是16,DE=2,△FEC是等腰直角三角形,∠FEC=90°,则AE的长是()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.9.红色和黄色弹球每个的售价是3角,蓝色和白色弹球每个的售价是4角.若用2元5角购买这4种球(钱必须用完),并且每种至少1个,购买方案的种数是图2()(A)5.(B)6.(C)7.(D)8.10.将n个球放在100个箱子中(箱子里可以不放球),若无论怎样放都有4个箱子里的球的个数相同,则n的最大值是()(A)1616.(B)1689.(C)2689.(D)2616. 二、填空题(每小题4分,共40分.)11.所有大于-11且小于17的非零整数的乘积是.a-b-cabc,则12.已知2=8=64=.a+b+c13.如图3,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积与原矩形的面积之比为.(结果保留根号)ìx-4≤8-2x14.不等式组í2的所有整数解的和是.x>-图3î31,则x6543215.若x=-22x-x+x-23x+2x-2的值是.3-216.若正整数n使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中,各个数位上均不产生进位现象,则称n为“本位数”,例如2,30都是“本位数”,而6,71都不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为.17.AsshownintheFig.4,△ABCisarighttrianglewithBC=2AB=2.EisthemidpointofBC.FormBFfromBperpendiculartoAE.BFintersectswithAEFig.4andACatPandFrespectively.ThenCF=.(英汉小字典:perpendicular垂直;intersect相交)18.点A的坐标为(x0,y0),点A关于直线x=a的对称点是B,点B关于直线y=b的对称点是C,点C关于原点的对称点是点D,那么点D的坐标是.19.如图5所示,ABCD是矩形,边长AB=2,点E、F在分别在AD、BC上,且BF=DE=1,CF=AE=3,则小矩形EGFH的面积等于.20.从1~100这100个数中选出一个数n,使得余下的99个数之和除以98所得的余数与n除以98所得的余数相同,那么,n=.图5三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)有若干盒卡片,每盒中的卡片数相同,把这些卡片分给小朋友.如果只分一盒,若每人分8张,则缺少5张.现将所有盒中的卡片都拿出来分,每人都分得56张,还剩8张.问:有多少小朋友?每盒中有卡片多少张?22.(本题满分15分)1图6如图6所示,以反比例函数y=(x>0)图象上的点P和点A(-1,0),xB(0,-1)为顶点构成直角三角形,求点P的坐标.23.(本题满分15分)如图7,△ABC和△ADE都是等边三角形,E是AC边的中点,M,N分别是EB,CD的中点.(1)判断:△AMN是否为等边三角形;(要有推理过程)(2)求△ADE、△AMN、△ABC的面积的比.图7 初二第2试答案题号12345678910答案ABBDCDCABA题号11121314151233答案–14410333题号161718192072320答案(xo2a,yo2b)26或71131321.有6位小朋友，每盒有卡片43张卡片．5151515122.点P的坐标,或,．222223.（1）△AMN是等边三角形.（2）S△ADE∶S△AMN∶S△ABC4:7:16． 第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.如果0<m<1,那么m一定小于它的()(A)相反数.(B)倒数.(C)绝对值.(D)平方.77,355,544,633这四个数中,最大的数是()2.在2(A)277554433.(B)3.(C)5.(D)6.22a-b+2b-13.若a+b=2012,b≠a+1,则的值等于()22a-b+a+b20122011(A)2012.(B)2011.(C).(D).201120121214.方程-2=()x-1x-13(A)只有一个根x=1.(B)只有一个根x=2.(C)有两个根x,x(D)无解.1=12=2.ìx+y+z=10,5.方程组í3x+y-z=50,()î2x+y=40(A)无解.(B)有1组解.(C)有2组解.(D)有无穷多组解.6.Asinthefigure1,therearefourcircleswithradiusof2.Thefourcirclesareapartfromeachother.Linktheircenterstoformaquadrilateral,thenthetotalareaoftheshadedpartsinthefigureis()(A)2π.(B)4π.(C)6π.(D)8π.7.在平面直角坐标系中,先将直线y=3x-2关于x轴作轴对称变换,再将Fig.1所得直线关于y轴作轴对称变换,则经两次变换后所得直线的表达式是()(A)y=2x-3.(B)y=3x-2.(C)y=2x+3.(D)y=3x+2.228.一次函数y=(m-4)x+(1-m)和y=(m+2)x+(m-3)的图象分别与y轴交于点P和Q,这两点关于x轴对称,则m的值是()(A)2.(B)2或-1.(C)1或-1.(D)-1.9.如图2,在周长是10cm的▱ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,点E在AD边上,且OE⊥BD,则△ABE的周长是()(A)2cm.(B)3cm.(C)4cm.(D)5cm.图210.x1,x2,…,x100是自然数,且x1<x2<…<x100,若x1+x2+…+x100=7001,那么,x1+x2+…+x50的最大值是()(A)2225.(B)2226.(C)2227.(D)2228. 二、A组填空题(每小题4分,共40分.)11.有下列命题:①矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形;②平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形;③等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;④有一个锐角是30°的直角三角形不是中心对称图形,也不是轴对称图形.其中正确命题的序号是.(把所有正确的命题的序号都填上)2n3n)22n)=.12.若n是正整数,且x=5,则(2x÷(4x13.已知整数a,b满足6ab=9a-10b+16,则a+b的值是.14.TheoriginalrailwayfromAtoBis310km,andnowa280kmlonghighspeedrailwayisbuilt.Thetrainspeedonthehighspeedrailwayistwicetheoriginalspeed,sothetravelingtimefromAtoBis2hoursshorter.Thentheoriginaltrainspeedontheoriginalrailwayiskm/hour.15.如图3,已知△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=20°,AB+BD=AC,则∠B的度数是.16.若△ABC的三个内角满足3∠A>5∠B,3∠C<2∠B,则△ABC必是图3三角形.(填“锐角”、“直角”或“钝角”)mx-1117.若关于x的分式方程+=2有整数解,整数m的值是.x-22-x22218.已知a+x=2011,b+x=2012,c+x=2013,且abc=24,则acb111++---=.bcabacabc19.若x是自然数,x+13和x-76都是完全平方数,那么x=.20.如图4,在▱ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,点P在线段GF上,则△PHE与▱ABCD的面积的比值是.三、B组填空题(每小题8分,共40分.)21.直线y=3x+k+2与直线y=-x+2k的交点在第二象限,且k是图4正整数,则k的值是;交点的坐标是.22.一个三角形的三条边的长分别是5,7,10,另一个三角形的三条边的长分别是5,3x-2,2y+1,若这两个三角形全等,则x+y的值是或.323.点A和B在直线y=-x+6上,点A的横坐标是2,且AB=5.当线段AB绕点A顺时4针旋转90°后,点B的坐标是或.24.等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D和E在AB边上,AD=3,BE=4,∠DCE=45°,则DE=或.25.袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个,黄色球上标有数字5,黑色球上标有数字6,红色球上标的数字看不清.现从袋中拿出8个球,其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数.已知8个球上的数字和是39,那么红色球上标的数字是;拿出黑色球的个数是. 第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.实数a,b,c,d满足:①a+b=c+d;②a+d<b+c;③c<d.则a,b,c,d的大小关系是()(A)a<c<d<b.(B)b<c<d<a.(C)c<d<a<b.(D)c<d<b<a.2.下列等式中不恒成立的是()a+ba+ba+ba+babab(A)+=·.(B)-=·.ababa+1b+1a+1b+133a2aa+ba+b(C)a+2=a·2.(D)33=.a-1a-1a+(a-b)a+(a-b)3.一组数据由五个正整数组成,中位数是4,且唯一的众数是7,则这五个正整数的平均数等于()(A)4.2或4.4.(B)4.4或4.6.(C)4.2或4.6.(D)4.2或4.4或4.6.4.化简:4+7-4-7=()(A)1.(B)2.(C)3.(D)2.5.Put8identicalballsinto3differentboxes,eachboxhasatleast2balls.Howmanydifferentwaystoputtheballs?()(A)6.(B)12.(C)18.(D)36.(英汉词典:identical完全相同的)6.如图1,在平面直角坐标系内,A、B、C三点的坐标分别是(0,0),(4,0),图1(3,-2),以A、B、C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在()(A)第一象限.(B)第二象限.(C)第三象限.(D)第四象限.k7.如图2,设点A、B是反比例函数y=图象上的两点,AC、BD都垂直于y轴,x垂足分别是C、D.连接OA、OB,若OA交BD于点E,且△OBE的面积是2011,则梯形AEDC的面积是()(A)2009.(B)2010.(C)2011.(D)2012.8.如图3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,图2PF⊥BD于F,则PE+PF的值是()(A)4.6.(B)4.8.(C)5.(D)7.1111+b1+a9.设a,b是实数,且-=,则+的值是()1+a1+bb-a1+a1+b(A)3.(B)-3.(C)3(b-a).(D)无法确定的.图310.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后,分母是三位数,这样的循环小数有()(A)798个.(B)898个.(C)900个.(D)998个.二、填空题(每小题4分,共40分.) 2012201111.若a≠0,计算:a÷a÷a=.2x+a12.若以x为未知数的方程=-1的根是负数,则实数a的取值范围是.x+2213.若n(n≠0)是以x为未知数的方程x-mx-5n=0的根,则m-n的值是.13ab14.正整数a,b满足等式=+,那么a=,b=.15351115.已知x+=6(0<x<1),则x-的值是.xx816.已知点A(4,m),B(-1,n)在反比例函数y=的图象上,直线AB与xx轴交于点C.如果点D在y轴上,且DA=DC,则点D的坐标是.图417.如图4,等腰直角△ABC中,∠A=90°,底边BC的长为10,点D在BC上,从D作BC的垂线交AC于点E,交BA的延长线于点F,则DE+DF的值是.18.如图5,在边长为6的菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,并且点E是AB的中点,点F在线段AC上运动,则EF+FB的最小值是,最大值是.abbccaabc19.若实数a,b,c满足=3,=4,=5,则的值是a+bb+cc+aab+bc+ca图5.20.SupposeM=abc321isa6digitnumber.a,b,andcarethreedifferent1digitnumbers,andnotlessthan4.IfMisamultipleof7,thentheminimumvalueofMis.(英汉词典:multiple倍数)三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)2如图6,直线y=x+b(b≠0)交坐标轴于A、B两点,交双曲线y=于点D,x从点D分别作两坐标轴的垂线DC、DE,垂足分别为C、E,连接BC、OD.(1)求证:AD平分∠CDE.(2)对任意的实数b(b≠0),求证:AD·BD为定值.图6(3)是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.22.(本题满分15分)如图7,在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁,一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去.(1)若汽车的行驶速度是30m/s,在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声,则经过多长时间后司机听到回声?(2)某一时刻,汽车第一次鸣笛,经过4.5s再次鸣笛.若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s,求汽车的行驶速度.图7(已知声音在空气中的传播速度是340m/s.)23.(本题满分15分)生产某产品要经过三道工序,同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同.甲、乙二人同时开始生产,一段时间后,甲恰好完成第k个产品的生产,此时,乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作.若甲、乙的生产效率比是6∶5,问此时乙至少生产了多少产品? 第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.有下列五个等式:22①y=3x+1;②y=x-1;③y=x;④y=|x|;⑤|y|=x.其中,表示“y是x的函数”的有()(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.2.点(-7,m)和点(-8,n)都在直线y=-2x-6上,则m和n的大小关系是()(A)m>n.(B)m<n.(C)m=n.(D)不能确定的.3.下列命题中,正确的是()1(A)若a>0,则a>2,则a>1..(B)若a>aa(C)若0<a<1,则a>a2.(D)若|a|=a,则a>0.1a,如3☉2=23等于()4.若定义运算“☉”:a☉b=b=8,则3☉2113(A).(B)8.(C).(D).8625.以下关于平行四边形的判定中,不正确的是()(A)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(B)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(C)对角线相等的四边形是平行四边形.(D)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.6.用一根长为a,并且没有伸缩性的线围成面积为S的等边三角形.在这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三条边的距离之和为()2S4S6S8S(A).(B).(C).(D).aaaa7.若-199<x<199,且m=||x|-100|的值为整数,则m的值有()(A)100个.(B)101个.(C)201个.(D)203个.84(6y+8),则y的值是()8.已知x=2+3,且x+1=x(A)10.(B)15.(C)20.(D)30.9.Ifarighttrianglehasedgelengthsa-b,a,anda+b(aandbarebothpositiveintegers),thentheperimeterofthetrianglemightbe()(A)60.(B)70.(C)80.(D)90.(英汉词典:righttriangle直角三角形;positiveinteger正整数;perimeter周长)10.小王与小李约定下午3点在学校门口见面,为此,他们在早上8点将自己的手表对准.小王于下午3点到达学校门口,可是小李还没到,原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.如果小李按他自己的手表在3点到达,则小王还需要等()(正确时间)(A)26分钟.(B)28分钟.(C)30分钟.(D)32分钟.二、A组填空题(每小题4分,共40分.)2x+12012+x11.若5=125,则(x-2)=.201320122011212.计算:2-2-2-…-2-2-1=. 13.用边长为1cm的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形,则第n次所摆图形的周长是cm.(用关于n的代数式表示)14.有两个函数y=ax+b和y=cx+5,学生甲求出它们图象的交点的正确坐标(3,-2),学31生乙因抄错c而得出交点坐标(,)44,则函数y=ax+b的解析式是.图1图2图315.如图2,三个正比例函数的图象分别对应解析式:①y=ax,②y=bx,③y=cx,若将a,b,c从小到大排列,则应当是.16.如图3,在正方形ABCD中,E、G、F分别是AB、AD、BC边上的点,若BE=2AE,AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长是.17.一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2,2x-1.若这两个三角形全等,则x的值是.18.有甲、乙、丙三种商品,购甲3件,乙7件,丙1件,需3.15元;购甲4件,乙10件,丙1件,需4.20元.若购甲、乙、丙各1件,则需元.1111+b1+a19.设a,b是实数,且-=,则+的值是.1+a1+bb-a1+a1+b20.将不大于20的正偶数分成两组,使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除.则商的最小值是.三、B组填空题(每小题8分,共40分.)21.数学老师用10道题作为一次课堂练习,课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图,如图4.观察此图可知,每位同学答对的题的个数组成的样本众数是,中位数是.图422.方程|x-|2x+1||=3的解是或.2mx323.若关于x的方程+2=有增根,则m=或.x-2x-4x+2124.Letx(y+x)=2013,xandyarebothpositiveintegers,thenthelargestvalueofx+yis,thesmallestvalueofx+yis.(英汉词典:value值)c25.已知a+b+c=0,a≥b≥c,a≠0,则的最大值是,最小值是.a附加题(每小题10分,共20分.)1.A商品的单价是50元,B商品的单价是60元,几所学校各付款1220元购买了这两种商品,任意2所学校购买的A商品的数量都不同.则参加这次采购的学校最多有所.2.十进制数中,右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数,如134,258.那么三位数中的上升数有个;在三位上升数中,3的倍数有个. 初二第1试答案题号12345678910答案CBCACCBBAC题号1112131415答案－114ny=－x+1c<a<b题号1617181920答案1031.0537题号212223242541答案8；92；－－4；62013；507－；－232题号附加题1附加题2答案484；30 第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)8+126+11.在无理数5,6,7,8中,介于与之间的数有()22(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.112.已知x+=6(0<x<1),则x-的值是()xx(A)-5.(B)-2.(C)5.(D)2.3.有3个正整数a,b,c,并且a>b>c.从中任取2个,有3种不同的取法.将每一种取法取出的2个数分别作和及作差,得到如下6个数:42,45,64,87,109,151.则a222的值是()+b+c(A)12532.(B)12533.(C)12534.(D)12535.22)(x22)的值是()4.已知有理数a,b,x,y满足ax+by=3,ay-bx=5,那么(a+b+y(A)225.(B)75.(C)54.(D)34.25.Amongallthefollowingpoints,whichoneisonthegraphoffunctiony=x-2x-3?()(A)(1,-3).(B)(0,3).(C)(-1,0).(D)(-2,1).(英汉词典:graph图象;function函数)6.下列命题中,正确的是()(A)如果三角形三个内角的度数比是3∶4∶5,那么这个三角形是直角三角形.(B)如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b,那么斜边的长是a22+b.(C)如果三角形三条边长的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形.ab(D)如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b,斜边长是c,那么斜边上的高的长是.c7.甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v1,v2,v3,v4,且v1>v2>v3>v4>0,他们沿直跑道进行追逐赛的规则如下:①4人在同一起跑线上,同时同向出发;②经过一段时间后,甲、乙、丙同时反向,谁先遇到丁,谁就是冠军.则()(A)冠军是甲.(B)冠军是乙.(C)冠军是丙.(D)甲、乙、丙同时遇到丁.8.已知直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点在x轴的正半轴上,则()(A)k>0,b>0.(B)k<0,b<0.(C)kb>0.(D)kb<0.9.如图1,函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象交于点(-1,-2),则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集是()(A)x>-1.(B)x<-1.(C)x<-2.(D)x>-2.图110.设q=mn,p=q+n+q-m,其中m,n是两个连续的自然数(m<n).则p()(A)总是奇数.(B)总是偶数.(C)有时是奇数,有时是偶数.(D)有时是有理数,有时是无理数. 二、填空题(每小题4分,共40分.)2211.已知a=5+2,b=5-2,则a+b+7的平方根的值是.12.60名学生参加英语测试,若优秀的学生占45%,则在扇形统计图中,表示优秀的扇形的圆心角是度;若表示良好的扇形的圆心角是120°,则良好的学生有人.13.若x1,x2都满足|2x-1|+|2x+3|=4,且x1<x2,则x1-x2的取值范围是.14.若直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4,则b=.115.已知a,b都是有理数,若不等式(2a-b)x+3a-b<0的解集是x>,4则不等式(a+3b)x+a-2b>0的解集是.16.如图2,点P在正方形ABCD内,△PBC是正三角形,若△BPD的面积是3-1,则正方形ABCD的边长是.图217.直线y=x-1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC是等腰三角形,则满足条件的点C有个.32x+x+118.已知x-x-1=0,则4=.x19.如图3,矩形纸片ABCO平放在xOy坐标系中,将纸片沿对角线CA向左翻折,点B落在点D处,CD交x轴于点E.若CE=5,直线AC的解析式为y=-1x+m,则点D的坐标是.25y320.已知正整数x,y满足<<,则x-y的最小值是.9x5图3三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)已知m2233的值.=n+2,n=m+2(m≠n),求m-2mn+n22.(本题满分15分)AsinFigure4,both∠D=∠E=90°intrapezoidADEB.△ABCisanequilateraltrianglewithConDE.IfAD=7andBE=11,findtheareaof△ABC.(英汉词典:trapezoid梯形;equilateraltriangle等边三角形;area面积)Fig.423.(本题满分15分)有n(n≥2)个整数a1<a2<a3<…<an,它们满足下列条件:①如果对于其中的任意一个整数am,都有-am不在这n个整数中,则称这n个整数满足性质P;②若在这n个整数中选两个不同的整数ai,aj,使它们成为一个有序整数对(ai,aj),并恰好ai+aj也在这n个整数中,则这样的整数对为“和整数对”;③若在这n个整数中选两个不同的整数ai,aj,使它们成为一个有序整数对(ai,aj),并恰好ai-aj也在这n个整数中,则这样的整数对为“差整数对”.回答下列问题:(1)3个整数-1,2,3是否满足性质P?如果满足性质P,请写出其中所有的“和整数对”和“差整数对”;(2)若n(n≥2)个整数a1<a2<a3<…<an满足性质P,其中“差整数对”有k个,试证n(n-1)明k≤;2(3)若n(n≥2)个整数a1<a2<a3<…<an满足性质P,其中“和整数对”有l个,“差整数对”有k个,试证明l=k. 初二第2试答案题号12345678910答案DBCDCDCDBA题号111213141523答案5162°；20-2£x1-x2<04x47题号16171819202412答案271,35521.-2.22.313.23.（1）和整数对：（-1，3）和（3，-1）.差整数对：（2，3）和（2，-1）.（2）略. 第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)1.化简[(-1)n+1p3]n(n是自然数),得()(A)p3n3nn+3n+3.(B)-p.(C)-p.(D)p.2b-12.若分式的值是0,则b的值是()2b-2b-3(A)1.(B)-1.(C)±1.(D)2.13.已知x=5,y是不大于x的最大整数,则的值是()x-y(A)5-2.(B)5+2.(C)5-1.(D)5+1.64.反比例函数y=的图象上有三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),其中x1<x2<0<x3,x则y1,y2,y3的大小关系是()(A)y(B)y(C)y(D)y1<y2<y3.2<y1<y3.3<y1<y2.3<y2<y1.5.有以下5个命题:(1)两组邻角互补的四边形是平行四边形;(2)有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;(3)一边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(4)对角线相等的四边形是矩形;(5)菱形的面积等于两条对角线的乘积.其中,正确的命题有()(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.2-3x≥06.若关于x的不等式组{没有实数解,则实数m的取值范围是()2x+m>04444(A)m<-.(B)m≤-.(C)m>-.(D)m≥-.33337.图1由4个相同的小正方形组成,△ABC的顶点都落在小正方形的顶点上.则与△ABC成轴对称,并且顶点都落在小正方形的顶点上的三角形有()(A)5个.(B)4个.(C)3个.(D)2个.8.在平面直角坐标系xOy中,y轴上有一点P,它到点A(4,3),B(3,-1)的距离之和最小,则点P的坐标是()454图1(A)(0,0).(B)(0,).(C)(0,).(D)(0,).7759.在平面直角坐标系xOy中,函数xy+|x-y+1|=0的图象是()(A)直线x=0,y=0和x-y+1=0.(B)直线x=0和x-y+1=0.(C)点(0,0)和直线x-y+1=0.(D)点(0,1)和(-1,0).10.将1,2,3,4,5,6,7,8这8个数排成一行,使8的两边各数的和相等,则不同的排列方法有()(A)1152种.(B)576种.(C)288种.(D)144种. 二、A组填空题(每小题4分,共40分.)22211.已知|m-9|+(n-2)=0,分解因式mx-ny=.2的值是.12.若x>2x+1,则|x+2|-(x+2+1)13.已知点P(a+1,2a-1)关于x轴对称的点在第一象限内,则|a+2|+|1-a|的值是.222x+y14.已知x(x-1)-(x-y)=-2,则-xy的值是.2222215.若两个不等实数m,n满足m-2m=a,n-2n=a,m+n=5,则实数a的值是.316.如图2,直线y=ax(a>0)与曲线y=交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),则4x1y2-3x2y1x的值是.2x-xm-117.若关于x的方程=的两个根互为相反数,则m=.2x-5m+118.AsshownintheFig.3,∠XOY=60°,Misapointintheangle∠XOY.ThedistancefromMtoOXisMA,whichis1.ThedistancefromMtoOYisMB,whichis4.ThelengthofOMis.图2Fig.3图4图519.如图4,矩形ABCD中,E是AB的中点,将△ADE沿DE折叠后得到△GDE,且点G在矩形ABCD内部.AB延长DG交BC于点F,若F恰是BC的中点,则的值是.AD20.如图5,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,以正方形的边BC为斜边在正方形内作直角三角形BCE,∠BEC=90°.若CE=3,BE=5,则△OBE的面积是.三、B组填空题(每小题8分,共40分.)21.Given△ABCisanisoscelestriangle,AB=AC.IfalinethroughpointCdivides△ABCintotwosmallisoscelestriangles,thenthedegreeof∠Ais,or.(英汉词典:isoscelestriangle等腰三角形;divide…into…将……分成……;degree度数)322.已知x-1是多项式x-3x+k的一个因式,那么k=;将这个多项式分解因式,得.23.设一次函数y=kx+b的图象经过点P(1,2),它与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,坐标原点为O,若OA+OB=6,则此函数的解析式是或.24.如图6,若正方形OCBA的顶点B和正方形AFED的顶点E都在函数y=图61(x>0)的图象上,则点E到x轴的距离是,到y轴的距离是.x25.如图7,Rt△ABC中,∠C=90°,CB=3,AC=4,且CB在直线l上,将△ABC绕点B顺时针旋转到位置①,可得到点P1,此时CP1=;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,…,按此规律继续旋转,直到点图7P2014为止,则CP2014=. 初二第1试答案题号12345678910答案AABBABACDA题号11121314151答案(3x2y)(3x2y)1322题号16171819201答案－32722.53题号212252答案25;362;(x1)(x2)7题号2324255151答案yx3;y2x4;8；806022 第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题(每小题4分,共40分.)221.不是()5(A)分数.(B)实数.(C)无理数.(D)无限不循环小数.332.若当x=1时,代数式ax+bx+1的值是5,则当x=-1时,ax+bx+1的值是()(A)0.(B)-3.(C)-4.(D)-5.(x-2)322-(x-1)+13.Ifx-5x-2010=0,thenthevalueofis()x-2(A)2012.(B)2013.(C)2014.(D)2015.x-4≤8-2x4.不等式组{2的最小整数解是()x>-3(A)-1.(B)0.(C)1.(D)4.5.无论m为何实数,直线y=x-m与直线y=-2x+3的交点都不可能在()(A)第一象限.(B)第二象限.(C)第三象限.(D)第四象限.6.如图1,在▱ABCD中,添加下列条件之一能使它成为菱形的是()①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.(A)①或③.(B)②或③.(C)③或④.(D)①或②或③.图17.如图2,已知△ABC的面积是24,将△ABC沿BC平移到△A′B′C′,使点B′和点C重合,连接AC′交A′C于点D,则△DCC′的面积是()(A)4.(B)6.(C)8.(D)12.8.中国古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”从五种属性互不相同的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率是()(注:概率等于事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比.)图23213(A).(B).(C).(D).10525|x|+y=109.方程组{的解有()x+|y|=4(A)1组.(B)2组.(C)3组.(D)4组.10.从1,2,3,…,2014中选出不能表示成两个整数的平方差的数,这些数的和是()(A)507024.(B)508032.(C)1014049.(D)1015056.二、填空题(每小题4分,共40分.)11.Thetwosquarerootsofapositivenumberare3x+3and5x+13,thenthisnumberis.(英汉小词典:squareroot平方根;positivenumber正数)12.已知a是无理数,并且ab-a-b+1=0,则实数b的值是. 13.如图3,桌面上有边长为2cm,有一边重合的两张正方形纸片,将纸片ABCD依次绕点D、P、Q、C逆时针转动180°,当纸片ABCD回到原来的位置时,A点走过的轨迹长是cm.(用π表示)图3图4图5214.若|1-(x-1)|=x,则实数x的取值范围是.15.如图4,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°,D是AB边上的一点,AD=BC,连接CD,则∠BDC=.2(4-x2)4(x+2)16.若分式的值是正整数,则整数x=.(x-2)2(x+2)3217.若n(n≠0)是关于x的方程x+mx+3n=0的根,则m+n的值是.x218.若x-y-2=0,2y+y-4=0,则-y=.y19.如图5,将两个长为8,宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放,重叠部分是菱形ABCD,当两个塑料片垂直时,菱形ABCD的周长有最小值8;当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时,菱形ABCD的周长最大,这个最大值是.341820.黑板上写有两个分数:,,进行如下操作:用两数之差的绝对值替换较大的数,得20143021到新的两个数.再进行同样的操作,直到黑板上出现两个相同的数,则这个相同的数是.三、解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)m如图6,一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象在第一象限x的交点为P.PA垂直x轴于点A,PB垂直y轴于点B,函数y=kx+2的图象分别交x轴,y轴于点C,D,已知DB=2OD,△PBD的面积S△PBD=4.(1)求点D的坐标;(2)求k,m的值;图6m(3)写出当x>0时,使一次函数y=kx+2的值大于反比例函数y=的x值的x的取值范围.22.(本题满分15分)如图7,四边形ABCD是正方形,∠1=∠2=∠3.(1)若∠1=30°,DG=3,求正方形ABCD的边长;(2)求证:AG-GF=GE.23.(本题满分15分)将一个三角形分成两个等腰三角形,若原三角形的一个内角是36°,则原三角图7形的另两个内角有多少种可能的情况?写出各种可能的情况. 初二第2试答案题号12345678910答案ABCBCADCAB题号1112131415答案914220x130题号161718192031答案1或0-3172100721.（1）点的坐标是（0，2）.（2）k=2，m=12.（3）x>2.22.（1）正方形的边长是3.（2）略.23.原三角形的另外两个内角有5种情况：①108°，36°；②126°，18°；③90°，54°；④72°，72°；⑤132°，12°.