广东省深圳市龙岗区外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（北师版）

龙岗区外国语学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.方程经过配方后的结果是（）A.B.C.D.2.如果，那么下列四个选项中一定正确的是（）．A.B.C.D.3.如图所示，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则等于（）A.6B.C.4D.4.若一元二次方程有实数解，则m取值范围是（）A.B.C.且D.且5.下列说法中正确的是（　　）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），邀请个球队参加比赛，共比赛了15场，则下列方程中符合题意的是（　　）A.B.C.D.7.掷一枚质地均匀的正方体骰子，想上一面的点数大于2且小于5的概率为，抛两枚质地均匀的硬币，正面均朝上的概率为，则下列正确的是（）A.B.C.D.不能确定8.如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点E是的黄金分割点，，若，则长为（　　） A.B.C.D.9.如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（）A.B.C.D.410.如图，在正方形的对角线上取一点E．使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列结论错误的是（　　）A.B.C.D.二．填空题（每题3分，共15分）11.若，则的值为______．12.某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________． 13.菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为__________．14.如图，已知是斜边上高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于________．15.如图，在菱形中，对角线，长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为________．三．解答题（共55分）16解方程：（1）；（2）．17.已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．（1）画出向左平移4个单位长度得到的；（画出图形）（2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是．（画出图形）．18.2022年9 月在新冠疫情的背景下，成都各大中小学纷纷开设网络课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，我校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”，“重视”，“比较重视”，“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图；根据图中信息，解答下列问题；（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角度数为，并补全条形统计图；（2）我校共有学生2200人，请你估计我校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性学生的概率．19.如图，在四边形中，，对角线平分，过点C作，分别交于点F、E，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）若，求的长．20.某樱桃种植基地2020年种植樱桃64亩，到2022年樱桃的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率；（2）某超市调查发现，当樱桃的售价为8元/斤时，每周能售出400斤，每斤的售价每上涨1元．每周销售量减少20斤，已知该超市樱桃的进价为6元/斤，为了维护消费者利益，物价部门规定，该樱桃售价每斤不能超过15元．若使销售樱桃每周获利2240元，则每斤的售价应上涨多少元？21.在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点P关于y轴的对称点；若，作点P关于x轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．（1）点作“变换”后的坐标为；点作“变换”后的坐标为；（2）已知点，，，其中，且点A，B作“ 变换”后对应的点分别为M，N两点，，求m的值．（3）已知点，，在所在直线上方作等腰直角三角形，若点，，作“变换”后对应的点分别为，，其中，若点在线段上，求a的取值范围．22.如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．（1）当点E落在上时，则线段的长度等于；（2）如图2，当点E落在上时，求的面积；（3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由；（4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 龙岗区外国语学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.方程经过配方后的结果是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先移项，然后利用完全平方公式配方即可．详解】解：移项，得：，两边同时加4，得：，配方，得：，故选：B．【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．2.如果，那么下列四个选项中一定正确的是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据比例的性质作答即可．【详解】∵，∴，A项不正确；只有当，时，B项才正确，故B项不符合题意；∵，∴，∴，∴当时，正确，故C项不符合题意；∵，∴， ∴，∴，∴，即有：，故D项一定正确，故选：D．【点睛】本题主要考查了比例性质及运算，掌握比例的性质是解答本题的关键．3.如图所示，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则等于（）A.6B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出．【详解】是菱形，E为AD的中点，，．是直角三角形，．，，，．，即，，．故选：B．【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得 ．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．4.若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（）AB.C.且D.且【答案】D【解析】【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，且，解得，，且.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．5.下列说法中正确的是（　　）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分【答案】D【解析】【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确； 故选D．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），邀请个球队参加比赛，共比赛了15场，则下列方程中符合题意的是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设应邀请了x支球队参加联赛，根据“共比赛了15场，”列出方程，即可求解．【详解】解：设应邀请了x支球队参加联赛，根据题意得：．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．7.掷一枚质地均匀的正方体骰子，想上一面的点数大于2且小于5的概率为，抛两枚质地均匀的硬币，正面均朝上的概率为，则下列正确的是（）A.B.C.D.不能确定【答案】B【解析】【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．【详解】大于2小于5的数有2个数，∴p1=；投掷一次正面朝上的概率为，两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，∴p1＞p2．故选B．【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．两个独立事件的概率=两个事件概率的积．8.如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点E是 的黄金分割点，，若，则长为（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查黄金分割点，一元二次方程的应用，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关键．【详解】解：∵点E是的黄金分割点，.，∴，解得：或（舍去）∵四边形为矩形，∴．故选：B．9.如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（）A.B.C.D.4【答案】A【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，矩形中，，，．由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，又，，在和中，，，，，设，则，在中，由勾股定理得， 即，解得，．．，．，，，，即，解得．故选A．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．10.如图，在正方形的对角线上取一点E．使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列结论错误的是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由正方形的性质可以得出，，通过证明 ，可以得出，即可判断A；在上取一点G，使，连接，利用全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质，可利用证明，进而可得，利用等量代换可判断B；过D作交于M，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据勾股定理及三角形的面积公式即可求得，进而可判断C；解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，根据相似三角形的判定得，进而可得，进而可判断D．【详解】解：∵四边形是正方形，，，．在和中，，，，故A正确；在上取一点G，使，连接，，．，，，．，， ．，是等边三角形．，，，．，，．和中，，，．，，故B正确；过D作交于M，在中，根据勾股定理求出，由面积公式得：，∴，，，中，，在中，，在中，，中，， ∴，．∴．∴，故C正确；在中，，是等边三角形，∴，，，．∴，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理、含角的直角三角形的性质以及三角形相似性质，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝3b，进而得出的值．【详解】解：∵，∴2a＝3b，∴a＝1.5b，∴＝＝， 故答案为．【点睛】本题主要考查比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．12.某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________．【答案】【解析】【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解．【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，∴捞到鲤鱼的概率为；故答案为．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解数量的问题是解题的关键．13.菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意画出菱形，根据菱形的对角线性质得，继而解出，由含30°角的直角三角形性质解得，在中，利用勾股定理解得，进一步得到，最后由菱形的面积公式解题即可．【详解】解：如图， 菱形中，，，，，，在中，设，则，，，解得，，，菱形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14.如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于________．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，设，先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解：∵，设，，∵，， ∴，∴，，∴，∴，∴，∴∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选：．15.如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，由平移性质知，，则，，当点、、三点共线时，的值最小，勾股定理即可求解．【详解】解：连接与交于点，延长到，使得，连接， 四边形是菱形，，，，，由平移性质知，，，，，，当点、、三点共线时，的值最小，的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．三．解答题（共55分）16.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可． 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【小问1详解】解：∵，∴，∴，即，∴，∴，；【小问2详解】，，，或，∴，．17.已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．（1）画出向左平移4个单位长度得到的；（画出图形）（2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是．（画出图形）．【答案】（1）见解析（2）作图见解析，【解析】【分析】 此题主要考查了位似变换以及平移变换和三角形面积求法等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键．（1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；【小问1详解】）如图，即为所求，【小问2详解】如图所示，即为所求，点C2的坐标是，故答案为：．18.2022年9月在新冠疫情的背景下，成都各大中小学纷纷开设网络课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，我校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”，“重视”，“比较重视”，“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图；根据图中信息，解答下列问题；（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角度数为，并补全条形统计图；（2）我校共有学生2200人，请你估计我校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性学生的概率．【答案】（1），图见详解（2）110人（3） 【解析】【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以“比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．【小问1详解】调查的学生人数为（人），“比较重视”所占的圆心角的度数为，“重视”的人数为（人），补全条形统计图如图：故答案为：；【小问2详解】由题意得：（人），即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为110人；【小问3详解】画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，所以恰好抽到同性别学生的概率是．【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．19.如图，在四边形中，，对角线平分，过点C作，分别交于点F、E，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质推出得到，证明得到，则，由此结合即可证明结论；（2）先利用勾股定理求出，再根据菱形的性质得到，，，得到，由勾股定理得到，可得．【小问1详解】证明：∵对角线平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：在中，，∴，∵四边形是菱形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，角平分线的定义等等，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．20.某樱桃种植基地2020年种植樱桃64亩，到2022年樱桃的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率；（2）某超市调查发现，当樱桃的售价为8元/斤时，每周能售出400斤，每斤的售价每上涨1元．每周销售量减少20斤，已知该超市樱桃的进价为6元/斤，为了维护消费者利益，物价部门规定，该樱桃售价每斤不能超过15元．若使销售樱桃每周获利2240元，则每斤的售价应上涨多少元？【答案】（1）该基地这两年樱桃种植．积的年平均增长率为25%（2）每斤的售价应上涨6元 【解析】【分析】（1）该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年种植面积=该基地2020年种植面积×（1+该基地这两年樱桃种植面积的平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设售价应上涨y元，则每天可售出千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【小问1详解】解：设该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率为x，依题意，得，解得（不合题意，舍去）．答：该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率为25%．【小问2详解】设每斤的售价应上涨y元，则每天可售出斤，依题意，得，整理，得，解得．∵该樱桃售价每斤不能超过15元，∴，答：每斤的售价应上涨6元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点P关于y轴的对称点；若，作点P关于x轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．（1）点作“变换”后的坐标为；点作“变换”后的坐标为；（2）已知点，，，其中，且点A，B作“变换”后对应的点分别为M，N两点，，求m的值．（3）已知点，，在所在直线上方作等腰直角三角形，若点，， 作“变换”后对应的点分别为，，其中，若点在线段上，求a的取值范围．【答案】（1），（2）（3）不存在a的值，理由见解析【解析】【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握点关于轴、轴的对称点的坐标求法，等腰直角三角形的性质等知识．（1）根据定义直接求解即可；（2）根据定义分别求出，，再由可得，，则，求出；（3）分别求出符合条件的点坐标，再求出，，根据点的坐标，分三种情况求出符合条件的的取值范围即可．【小问1详解】解：点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，【小问2详解】解：，，点关于轴对称的点，，点关于轴对称的点，，,∴，∵，，， 解得；【小问3详解】解：，，，当时，；当时，；当时，；，，，，，当在线段上时，，，，解得，（舍；当在线段上时，，，，解得，（舍；当在线段上时，，，，，(舍；综上所述：不存在的值．22.如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．（1）当点E落在上时，则线段的长度等于；（2）如图2，当点E落在上时，求的面积；（3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值．【答案】（1）2（2）（3），理由见解析（4）的最大为12【解析】【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可；（2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积；（3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；（4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，，，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值．【小问1详解】解：当落在上时，如图所示：∵四边形是矩形，∴每个内角都等于，∵，由勾股定理得：，由旋转的性质可知：， ∴，故答案为：2；【小问2详解】解：当点E落在上时，过点B作于点M，在中，由勾股定理得：,∵是直角三角形，，∴,∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，∴；【小问3详解】解：，理由如下：证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P， 由旋转的性质知：，，∴在等腰和等腰中得到：，，∴，∵，∴，即；【小问4详解】解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，∴，，∵∴，∴当最大时，最大，在旋转过程中，， ∴，∴当点三点共线时，，此时最大，∴的最大值为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口．