广东省深圳市南山区前海学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（北师版）

南山区前海学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A.B.C.D.2.若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（）A第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限3.如图所示是一个钢块零件，它左视图是（）A.B.C.D.4.矩形ABCD中,AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（）A.6B.3C.D.5.一元二次方程的根的情况是（　　）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根6. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　）A.B.C.D.7.如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（）A.6B.9C.18D.278.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（）米A.4B.5C.6D.79.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.A.（32﹣2x）（20﹣x）=570B.32x+2×20x=32×20﹣570C.（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D.32x+2×20x﹣2x2=570 10.如图，四边形的对角线和相交于点E．若，且，，，则的长为（）A.7B.8C.9D.10二．填空题（每题3分，共15分）11.已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为_______．12.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是__．13.一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：实验次数100200300400摸出红球78161238321则袋中原有红色小球的个数约为__________个．14.如图，点B在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点A在x轴上，过点A作交轴负半轴于点，若，，则k的值为________．15.如图，矩形的对角线和交于点，，．将沿着折叠，使点 落在点处，连接交于点，交于点，则____________________．三．解答题（共55分）16.解下列方程：（1）；（2）；17.“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习．（1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________；（2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．18.如图，在网格图中（小正方形边长为1），的三个顶点都在格点上．（1）把沿着轴向右平移6个单位得到，请你画出；（2）请你以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的位似比为1：2；（3）请你直接写出三个顶点的坐标． 19.昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．（1）用含有的代数式表示月销售量；（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？20.如图，在矩形中，，相交于点，，．（1）求证：四边形菱形；（2）若，，求的长及四边形的面积．21.为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　　，自变量x的取值范围为　　；药物燃烧后，y 关于x的函数关系式为　　．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过　　分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？22.在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作，连接．（1）特例探究：如图1，当，时，线段与的数量关系为___________；（2）问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；②当，时，若，求的长度；（3）拓展提升：若正方形改为矩形，且，其它条件不变，在旋转的过程中，当、、三点共线时，如图3所示，若，，直接写出的长度．（用含的式子表示） 南山区前海学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．【详解】A.影子方向不同，故错误；B.影子未与树相连，故错误；C.满足影子的要求，故正确；D.影子方向不同，故错误．故选：C【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可． 2.若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限【答案】B【解析】【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．【详解】解：∵的图象过点（3，-5），∴把（3，-5）代入得：k=xy=3×（-5）=-15＜0，∴函数的图象应在第二，四象限．故选：B．【点睛】本题考查是反比例函数（k≠0）的性质：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在二、四象限．3.如图所示是一个钢块零件，它的左视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图是从物体的左侧观察所得到的图形求解即可．【详解】解：这个几何体的左视图如下：故选：B．【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图的概念是解题的关键．4.矩形ABCD中,AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（） A.6B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质推出AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，求出OA=OB，求出等边三角形AOB，推出OB=AB=3，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=3，∵OB=BD，∴BD=6．故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．5.一元二次方程的根的情况是（　　）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根【答案】C【解析】【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况．熟记“一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程，∴，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C．6.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），故选：B．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．7.如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（） A.6B.9C.18D.27【答案】C【解析】【分析】先由可得,再利用位似的性质得到、，然后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵与是位似图形，点O为位似中心，∴、，∴，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行（或共线）是解答本题的关键．8.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（）米A.4B.5C.6D.7【答案】A 【解析】【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，，，，又，，，米，米，米，米．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．9.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.A.（32﹣2x）（20﹣x）=570B.32x+2×20x=32×20﹣570C（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D.32x+2×20x﹣2x2=570【答案】A 【解析】【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.【详解】解：设道路宽为xm，根据题意得：(32−2x)(20−x)=570，故选：A【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键.10.如图，四边形的对角线和相交于点E．若，且，，，则的长为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】过点D作交的延长线于点F，证明，得到，令，则，运用勾股定理可求得，代入求出x即可．【详解】解：过点D作交的延长线于点F，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴， ∵，∴，在中，，令，则，∴解得：（舍去），∴，故选：C．【点睛】此题是一道几何综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“关于的一元二次方程根与系数的关系：”是解题的关键．【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，，∴．故答案为：．12.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是__． 【答案】【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出的长，计算即可．熟练运用“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键．【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，则，即，解得：，∴．故答案为：．13.一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：实验次数100200300400摸出红球78161238321则袋中原有红色小球的个数约为__________个．【答案】40【解析】【分析】先根据表格中的数据求出摸出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为x，根据求概率公式列出方程求解即可．【详解】解：由表可知，摸出红球的概率约为，设袋中原有红色小球的个数为x， 根据题意，得：，解得：x=40，经检验，x=40是所列分式方程的解，故设袋中原有红色小球的个数为40，故答案为40．【点睛】本题考查用频率估计概率、简单的概率计算、解分式方程，求得摸出红球的概率是解答的概率．14.如图，点B在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点A在x轴上，过点A作交轴负半轴于点，若，，则k的值为________．【答案】【解析】【分析】过点作垂足为，交于点，证明是菱形，得到，推出，算出面积就可算出值．【详解】解：过点作垂足为，交于点，，，（三线合一），，，，四边形是菱形，．，，，， ，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，求出是突破本题的关键．15.如图，矩形的对角线和交于点，，．将沿着折叠，使点落在点处，连接交于点，交于点，则____________________．【答案】【解析】【分析】连接，，设交于点，勾股定理得出，等面积法求得，勾股定理求出，然后求得，根据中位线的性质得出，证明，根据相似三角形的性质得出，结合即可求解．【详解】解：如图，连接，，设交于点， ∵矩形中，，，∴，∵矩形的对角线和交于点，将沿着折叠，使点落在点处，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴是的中位线，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，即， ∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，结合勾股定理、中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三．解答题（共55分）16.解下列方程：（1）；（2）；【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可．【小问1详解】解：，移项得，配方得，即，开方得，，；【小问2详解】，移项得：，分解因式得：，所以或，解得：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17.“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习．（1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________；（2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率，（1）根据题意所有模块数是个，选择的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可；（2）根据题意画树状图或列表的方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可；熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．【小问1详解】解：∵从、、三个模块中随机选择一个，∴小明同学选择：“探秘太空”模块的概率．故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：共有种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有种，∴小明和小亮选择相同模块的概率．18.如图，在网格图中（小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上． （1）把沿着轴向右平移6个单位得到，请你画出；（2）请你以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的位似比为1：2；（3）请你直接写出三个顶点的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3），，．【解析】【分析】（1）根据坐标系，确定A，B，C的坐标，按照左减右加的原则计算平移后的坐标，描点后，依次连接即可；（2）根据位似比，把各点坐标分别扩大2倍，后根据位置定变换后的坐标，描点后，依次连接，画图即可；（3）把各点坐标分别扩大2倍，后根据位置定变换后的坐标连接即可．详解】解：（1）∵A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3），∴向右平移6个单位得到（3，0），（3，-2），（5，-3），如图所示；（2）∵A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3），∴位似变化得到（6，0），（6，4），（2，6），如图所示； （3）三个顶点的坐标分别为，，【点睛】本题考查了坐标系中的坐标平移，位似变化，坐标的确定，熟练掌握平移的规律，位似的规律是解题的关键．19.昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．（1）用含有的代数式表示月销售量；（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？【答案】（1）（2）该品牌头盔的实际售价应定为元个【解析】【分析】（1）利用月销售量售价在元个的基础上涨的钱数，即可用含的代数式表示出月销售量；（2）利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论．【小问1详解】解：根据题意得：；【小问2详解】 解：根据题意得：，整理得：，解得：，，又要尽可能让顾客得到实惠，，．答：该品牌头盔的实际售价应定为元个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．20.如图，在矩形中，，相交于点，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长及四边形的面积．【答案】（1）见解析（2），面积为【解析】【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，再根据“矩形的对角线相等且互相平分”得出，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形即可；（2）根据“矩形的对角线互相平分”得出，根据勾股定理计算，根据“”计算三角形面积，根据“的面积的面积”得出四边形的面积即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，，， ∴，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴的面积的面积，∴四边形的面积是．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21.为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　　，自变量x的取值范围为　　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为　　．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过　　分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【答案】（1）yx，0≤x≤8；y（x＞8）（2）30（3）有效，理由见解析【解析】【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可；（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．【小问1详解】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，∴k2＝48，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；【小问2详解】（2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30，即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．【小问3详解】（3）把y＝3代入yx，得：x＝4，把y＝3代入y，得：x＝16，∵16﹣4＝12，所以这次消毒是有效的．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 22.在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作，连接．（1）特例探究：如图1，当，时，线段与的数量关系为___________；（2）问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；②当，时，若，求的长度；（3）拓展提升：若正方形改为矩形，且，其它条件不变，在旋转的过程中，当、、三点共线时，如图3所示，若，，直接写出的长度．（用含的式子表示）【答案】（1）（2）①成立，见解析，②（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得点F在上，，再由，可得点G在，，再结合正方形的性质，可得，即可； （2）①证明，可得，即可求解；②根据，，可得，，过F作于H，根据三角形的面积公式可得，再由勾股定理可得，，，然后由①得：，即可；（3）过E作于H，则，，根据，可得，从而得到，，设，可得，，然后证明，即可．【小问1详解】解：根据题意得：当，时，，且点F在上，∴，∵，∴，∴点G在，，在正方形中，∴都是等腰直角三角形，∴，∴；故答案为：【小问2详解】解：①成立，理由如下：如图，∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，，∴，，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，过F作于H，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，由①得：， ∴；【小问3详解】解：过E作于H，则，，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵A、F、G三点共线，∴，设，则，解得：，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴， ∴，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质是解题的关键．