吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二数学上学期11月期中试题（Word版附解析）

长春外国语学校2023-2024学年第一学期期中考试高二年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ）A．，2B．，4C．，2D．，42．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）A．B．C．D．3．如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（　　）A．B．C．D．4．过点引圆的切线，则切线的方程为（    ）A．或B．C．或D．5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）A．5B．C．45D．6．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（    ）A．B．C．D． 7．阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值（）A．B．C．D．8．若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（    ）A．B．C．D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．若表示圆的一般方程，则实数的值可以（    ）A．2B．C．1D．10．已知向量，则（   ）A．向量的夹角为B．C．D．11．点在圆上，点在圆上，则（    ）A．的最小值为3B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（    ）A．B．存在点，使平面C．存在点，使直线与所成的角为D．点到平面与平面的距离和为定值第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线：与直线：的距离为．14．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为．15．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则.16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知直线，. (1)已知，求的值；(2)已知，求的值.18.（本小题12分）已知圆C经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.19.（本小题12分）如图，在正方体中，为的中点.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题12分）已知圆，直线.(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.21.（本小题12分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.22.（本小题12分）已知定点，，动点P满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围. 答案一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ）A．，2B．，4C．，2D．，4【答案】C【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，所以圆的圆心和半径分别为，2.2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】联立，解得，.设与直线垂直的直线方程是将，代入方程，解得故所求方程为3．如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（　　）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为.4．过点引圆的切线，则切线的方程为（    ）A．或B．C．或D．【答案】C【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，所求切线的方程为.综上所述，所求切线方程为或.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）．A．5B．C．45D．【答案】B【详解】因为点关于直线的对称点为，所以即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为．6．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，∵，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，7．阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，由，，设，则，整理得，即轨迹为以为圆心，半径为的圆，当点P到轴距离最大时，的面积最大，所以面积的最大值是，  8．若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（    ）A．B． C．D．【答案】C【详解】圆M：的圆心，半径显然一条直线过圆M的某条半径的中点并垂直于该半径时，圆M上恰有3点到该直线距离为圆M半径的一半，即，因此圆M上至少有3个点到直线l：的距离为，等价于圆心M到直线l的距离，则有，解得或，所以k的取值范围是.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（    ）A．2B．C．1D．【答案】BD【详解】解：将配方得.要想表示圆，则，解得.10．已知向量，则（   ）A．向量的夹角为B．C．D．【答案】CD【详解】对于A，，，，设向量的夹角为，则，因为，则，故A不正确.对于B，，，则，故B不正确.对于C，，，，故C正确.对于D，，，，故D正确.11．点在圆上，点在圆上，则（    ）A．的最小值为3B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【详解】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱 上的动点，则下列说法中正确的是（    ）  A．B．存在点，使平面C．存在点，使直线与所成的角为D．点到平面与平面的距离和为定值【答案】ABD【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，，设，，所以，所以，A选项正确.点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.，，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面，平面，则，解得，所以存在点，使平面，B选项正确.若直线与直线所成角为，则，，无解，所以C选项错误.故选：ABD  三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线：与直线：的距离为．【答案】【详解】直线方程可变为：    与之间距离14．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为．【答案】或【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或，故答案为：或．15．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则.【答案】【详解】方法一：由共面，故存在实数使得,故,化简得,又，所以，解得，方法二：因为共面，所以，解得.故答案为:.16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由可得，则直线与曲线有两个公共点，如下图所示：由可得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，直线是过点且斜率为的直线，当直线与圆相切时，则，解得，当直线过原点时，，由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.因此，实数的取值范围是四、解答题17．（本小题10分，其中第一问5分，第二问5分）已知直线，.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，则有，解得，所以的值为.————————————5分（2）当或重合时，，或，当时，，此时两直线平行，满足条件，当时，，，即，此时两直线重合，不符合题意，综上，.———————————————————————————————————10分18．（本小题12分，其中第一问6分，第二问6分）已知圆C经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程； （2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【详解】解：（1）设圆C的方程为依题意得————————3分解之得∴圆C的方程为———————————————————6分（2）圆可化为，所以圆心到直线的距离为——8分当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l被圆C截得的弦长为，符合题意当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为，即——————————————10分由题意得解得∴直线的方程为综上所述，直线l的方程为或—————————————————————————12分19．（本小题12分，其中第一问6分，第二问6分）如图，在正方体中，为的中点.  (1)求证：平面.(2)求直线与平面.所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.——————————————————3分又因为平面，平面，平面.————————————6分（2）以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.  设正方体的棱长为2，则，，，，——————8分则，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.—————————————————————————10分设直线与平面所成的角为， .——————————————————————12分20．（本小题12分，其中第一问4分，第二问8分）已知圆，直线.(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【答案】(1)证明见解析(2)面积最大值为，或.【详解】（1）因为直线可变形为，所以，解得，故直线经过的定点为.——————————————————2分将点代入圆的方程有，所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点.———————————————————————————————4分（2）由（1）知，因为，所以当时，面积最大，——————————————————————————6分此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.此时点C到直线l的距离，，所以可以取到，————————————————————————————————8分所以，解得或.———————————————————10分故所求直线l的方程为或.——————————————————————12分21．（本小题12分，其中第一问4分，第二问8分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.【详解】（1）取中点，连接，分别为的中点，，底面四边形是矩形，为棱的中点，，．，， 故四边形是平行四边形，．—————————————————————————2分又平面，平面，平面．———————————————————4分（2）假设在棱上存在点满足题意，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，则是四棱锥的高．———————————————————————6分设，则，，，所以———————————————————8分以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，．设，．设平面PMB的一个法向量为，则取．——————————————————————————————————10分易知平面的一个法向量为，，，故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.—————————————————————12分22．（本小题12分，其中第一问4分，第二问8分）已知定点，，动点P满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设动点P的坐标为，因为，，且，所以，————————————————————————————2分整理得，所以动点P的轨迹C的方程为；——————————————————————————4分（2）设点，，直线的方程为， 由消去y，整理得，（）由得，①——————————————————————6分由（）知，，②所以，即，③将②代入③，整理得，④—————————————————————————————8分由④得，解得，⑤由①和④，解得或，⑥———————————————————————————10分要使，，有意义，则，，所以0不是方程（）的根，所以，即，⑦