沪科版九年级数学上册 第二十一章 二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（27类题型清单）
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第二十一章二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记知识点1二次函数1、二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.114,2、二次函数的三要素：（1）自变量的最高次数必须是2；（2）等号右边的ax2+bx+c是关于自变量x的整式；（3）二次项系数a不等于0.【注意】（1）二次项系数，一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉；（2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠≠0）的特殊形式：特殊形式二次项一次项常数项y=ax2(a≠0)ax2无0y=ax2+bx(a≠0)ax2bx0y=ax2+c(a≠0)ax2无c知识点2根据实际问题列二次函数表达式在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤：1、审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；2、找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式；3、列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式；4、确定自变量的取值范围：根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围.【注意】（1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义；（2）确定自变量的取值范围时，需正确列其出不等式或不等式组.知识点3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）a的符号a>0a<0114,图象开口方向向上向下对称轴直线x=−b2a顶点坐标−b2a，4ac−b24a增减性当x<−b2a时，y随x的增大而减小当x>−b2a时，y随x的增大而增大当x<−b2a时，y随x的增大而减小当x>−b2a时，y随x的增大而增大最值当x=−b2a时，y最小值=4ac−b24a当x=−b2a时，y最大值=4ac−b24a【注意】（1）如图，若抛物线上x=m和x=n对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=m+n2（2）如图，若抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=x1+x22知识点4二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c的符号关系二次函数的y=ax2+bx+c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的否好决定抛物线对称轴的大致位置，c的否好决定抛物线与y轴交点的大致位置，具体如下表：字母（或式子）符号特征aa>0开口向上a<0开口向下−b2ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右左侧cc=0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交114,【注意】对于二次函数y=ax2+bx+c：（1）当x=1时，y=a+b+c，此时：若y=0，则a+b+c=0；若y>0，则a+b+c>0；若y<0，则a+b+c<0.（2）当x=−1时，y=a−b+c，此时：若y=0，则a−b+c=0；若y>0，则a−b+c>0；若y<0，则a−b+c<0.知识点5用待定系数法求二次函数的表达式方法名称函数表达式适用情形一般步骤待定系数法一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x，y的三组对应值顶点式：y=a(x+ℎ)2+k(a≠0)已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值交点式：y=a(x−x1)(x−x2)其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标【注意】：特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：（1）顶点在原点，可设为y=ax2；（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴），可设为y=ax2+k；（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x−ℎ)2；（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.知识点6二次函数与一元二次方程之间的关系1、二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系：一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴由交点，交点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.2、二次函数与一元二次方程的联系与区别：114,b2−4ac>0b2−4ac=0b2−4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况有两个不等的实数根x=−b±b2−4ac2a有两个相等的实数根x1=x2=−b2a没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象a>0a>0抛物线与x轴的交点（x1，0），（x2，0）（−b2a，0）没有交点知识点7二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.1、利用二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0的解（1）作出二次函数y=ax2+bx+c的图象，确定图象与x轴公共点的个数，也就是方程ax2+bx+c=0的解的个数.（2）观察图象，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解；（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2、利用二次函数y=ax2的图象与直线y=−bx−c的公共点求方程ax2+bx+c=0的解（1）将方程ax2+bx+c=0化为ax2=−bx−c的形式；（2）在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=−bx−c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；（3）公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.知识点8二次函数与一元二次不等式的关系114,求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y>0；求不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y<0，列表如下：（因a>0为例）b2−4ac的符号b2−4ac>0b2−4ac=0b2−4ac<0ax2+bx+c>0(a>0)的图象与x轴的交点个数ax2+bx+c=0(a>0)的根两个等实数根x=−b±b2−4ac2a两个相等实数根x1=x2=−b2a没有实数根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)x<x1或x>x2x≠−b2a全体实数ax2+bx+c<0(a>0)x1<x<x2无解无解知识点9用二次函数解决实际问题1、一般步骤：（1）审：仔细审题，厘清题意；（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.知识点10反比例函数的定义1、定义：一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2、反比例函数的三种表达形式：（1）y=kx；（2）y=kx−1；（3）xy=k（k为常数，且k≠0）114,【注意】反比例函数的表达式y=kx中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数.知识点11反比例函数图象与性质1、图象的特点：（1）反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线；（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；（4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).如图：2、反比例函数的性质：反比例函数ykx（k≠0）k的符号k>0k<0图象图像位置第一、三象限第二、四象限增减性在每一个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大知识点12求反比例函数的表达式1、确定反比例函数表达式的方法由于在反比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式.2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤114,【注意】（1）用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程.（2）当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y=kx(k≠0).知识点13反比例函数中k的几何性质1、矩形面积如图，过双曲线y=kx上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=x∙y=xy=k，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为k.2、三角形的面积如图，过双曲线y=kx上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S∆EOF=k2，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为k2.03题型归纳题型一 二次函数的定义例1.（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（ ）A．y=2x2B．y=x+32−x2C．y=x2+2x−1D．y=xx−1114,巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）A．y=2x−1B．y=x2−1C．y=x2−1D．y=12x2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y=1−3x3B．y=x2−5xC．y=x4+2x2−1D．y=1x23．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）下列函数解析式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y=ax2+bx+cB．y=−5x+1C．y=−23x2+x−34D．y=2x2−1x题型二 由二次函数的定义求值例2．（2024九年级下·广东·专题练习）若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m的值为( )A．−2B．1C．−2或1D．2或1巩固训练1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数y=k−3xk2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值为（ ）A．k=0B．k=3C．k=0或k=3D．k=42．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数y=(m+2)xm2−2+3x−4是二次函数，则m等于（ ）A．±2B．2C．−2D．6【答案】B3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）若函数y=m−2x2+3x是二次函数，则常数m满足的条件为（ ）114,A．m≠0B．m≠2C．m=2D．m为任意实数题型三 二次函数的一般形式例3.（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数y=3x2+6x+1的一次项系数为（ ）A．−6B．1C．3D．6巩固训练1．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数y=−x2−1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a=，b=，c=．2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=x−25−2x的二次项系数是．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数a=，一次项系数b=．题型四 求自变量或函数值例4.（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．巩固训练1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）若函数y=ax−32过2,9点，求当x=4时，y=．2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点A2,m，B3,n．则mn（填“＞”，“=”或“＜”）．3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象经过点P1，a，则a的值为（ ）114,A．3B．2C．32D．5题型五 判断函数关系例5.（2024·北京·三模）已知地面温度是20℃，如果从地面开始每升高1km，气温下降6℃，那么气温t(℃)与高度ℎ(km)的函数关系是（ ）A．正比例函数B．反比例函数C．二次函数D．一次函数巩固训练1．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量：①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x；③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ） A．一次函数关系B．二次函数关系C．正比例函数关系D．反比例函数关系3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（ ）A．正方形的周长y与边长xB．速度v一定时，路程s与时间t114,C．正方形的面积y与边长xD．三角形的高一定时，面积y与底边长x题型六 建立二次函数模型例6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）A．y=2.61+2xB．y=2.61−x2C．y=2.61+x2D．y=2.6+2.61+x+2.61+x2巩固训练1．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）A．y=40001−xB．y=40001−x2C．y=80001−xD．y=80001−x22．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为14cm，其中一边为x0<x<7cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（>x2，则y1>y2D．若y1=y2，则x1+x2=12．（2024·山东淄博·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2012…y=ax2+bx+c…tm−2−2n…且当x=−12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③，其中正确的结论个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时函数值与（ ）A．时的函数值相等B．x=−94时的函数值相等114,C．x=−32时的函数值相等D．x=0时的函数值相等题型九 二次函数图象的平移变换例9.（24-25九年级上·浙江·假期作业）抛物线y=−3x2+bx+c是由抛物线y=−3x2−6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b=，c=．巩固训练1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点−2,4，则．2．（24-25九年级上·浙江·假期作业）将二次函数y=x2−4x+3的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴．3．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=−12(x+1)2−1的图象．(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y=a(x−ℎ)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．题型十 二次函数图象的对称变换例10.（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，且OB=4OA=4，C为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点D，点C和点D关于x轴对称．当抛物线y=12x2+bx+c在直线BC的上方时，x的取值范围是（ ）A．x<−2或x>4B．−2<x<4c．x<−3或x>4D．−3<x<4114,巩固训练1．（2022·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与抛物线l2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（>0B．−12<m<12c．−2≤m<2d．−1<m<1题型十一>0；⑤．114,A．1个B．2个C．3个D．4个巩固训练1．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③若实数m≠1，则am2+bm>a+b；④若−2<c<−1，则−83<a+b+c<−43，其中正确的结论有（>0 ②（m为任意实数） ③3a+c<1④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤−3．其中正确的结论有（ ）114,A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为3，则a=−12；④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）A．①②B．②③C．③④D．②④题型十二 图象共存问题例12.（2024·江苏扬州·模拟预测）函数y=mx+m和函数y=−mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A．B．C．D．巩固训练114,1．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y=ax2+bx的图像可能是（ ）A．B．C．D．2．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数的大致图像可能是（ ）A．B．C．D．3．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线y1=−x2+1，直线y2=−x+1，下列判断中：①当x<0或x>1时，y1<y2；>12时y1−y2随x的增大而增大； ④使y1−y2=13的x的值有3个．其中正确的个数有（ ） A．1B．2C．3D．4114,题型十三 根据二次函数的图象与性质比较大小例13.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=x−12+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3b．y2<y1<y3c．y3<y1<y2d．不能确定巩固训练1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点ax1,y1，bx2,y2，cx3,y3三点，且x3<x2<2<x1，x1=x3，x1+x2>4，下列结论正确的是（ ）A．若k>0，则y3=y1>y2B．若k>0，则y3>y2>y1C．若k<0，则y1>y2>y3D．若k<0，则y2>y1>y32．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若A0,y1、B−2,y2、C−3,y3为二次函数的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3b．y2<y3<y1c．y1<y3<y2d．y3<y1<y23．（2024·福建南平·一模）已知抛物线y=−x2+bx+c过点a−2,y1，b1,y2，c3,y3，且y3<y1<y2，则b的取值范围是（>0，则（ ）A．p>0B．p<−1C．p>0或p<−1D．−1<p<03.（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知二次函数y=−ax2+2ax+3a>0，若点Pm,3在该函数的图象上，则m的值为．题型十五 根据二次函数的性质求最值例15.（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为1,4和4,4，抛物线y=ax−m2+n的顶点在线段AB上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），（1）n=；（2）若点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为．巩固训练1．（2024·吉林长春·二模）已知抛物线y=x2−(a+2)x+2a+1．若抛物线过点−1,y0，且对于抛物线上任意一点x1,y1都有y1≥y0，若A(m,n),B(2−m,p)是这条抛物线上的两点，则的最小值．2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(−1,0),(3,0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值．114,3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．题型十六 待定系数法求解析式例16.（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过−1,−22，0,−8，2,8三点，求抛物线的解析式．巩固训练1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交x轴于A−1,0，B3,0两点，交y轴于点C，OC=2，求抛物线的解析式和BC的长． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点，B(0,3)和点C(4,3)．(1)求该二次函数的关系式，并求出它的顶点M的坐标；(2)若，两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．114,3．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．(1)已知抛物线的顶点坐标是1,2，且过点2,3；(2)已知抛物线过点−1,0、3,0、2,−6；(3)已知抛物线过点−1,2、、2,−7．题型十七 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系例17.（2024·山东·模拟预测）已知抛物线y=2x2+4x−a+3与x轴没有公共点，则参数a的取值范围为．巩固训练1．（2023·湖北荆州·一模）已知函数y=kx2−k+2x+2与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）若二次函数y=−ax+12−k的图象与x轴交于A−4,0,B两点，则点B的坐标是.3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线y=2x−1x−2与x轴的交点坐标是．题型十八 抛物线与坐标轴的交点与系数的关系例18.（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线y=x2−2x+3与坐标轴的交点个数为个．2．（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线y=x2−3x+2与y轴的交点坐标是，与x114,轴的交点坐标是和．3．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）若函数y=mx2−m−3x−4的图像与坐标轴有2个公共点，则m的值为．题型十九 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例19.（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c0.02−0.01−0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（ ）A．x<3.24B．3.24<x<3.25c．3.25<x<3.26d．x>3.26巩固训练1．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca>0，已知函数与x轴相交于−2，0，且函数的对称轴为直线，则ax2+bx+c+1=0的根x1<x2的范围是（>ax+q的解集是．114, 3．（22-23九年级上·吉林白山·期末）如图，二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c<mx+n的解为．题型二十二>0交于A2,n，B两点，与y轴交于点D．114,(1)求k,n的值；(2)求△AOB的面积；(3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出6x+12x>4的解集．题型二十四 建立反比例函数的模型例24.（23-24九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数表达式为（ ）A．y=10xB．y=5xC．D．y=x20巩固训练1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y=．3．（21-22八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t=（v>0）．题型二十五 反比例函数的图象与性质114,例25.（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）A．图象经过点3,−3B．图象关于直线y=x对称C．图象位于第二、四象限D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大巩固训练1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数y=k2+4x的图象位于（ ）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知反比例函数y=2x，则下列描述不正确的是（ ）A．图象位于第一、三象限B．图象必经过1,2C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小3．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）对于反比例函数y=1x，下列说法错误的是（ ）A．它的图象分布在第一、三象限B．它的两支图象关于原点对称C．当x1<x2<0时，则y2<y1<0d．y随x的增大而减小题型二十六>0）在第一象限的图象与边OA，AB分别交于点E，F，且OE=AE，AF=2BF，连接EF，若△AEF的面积为6时，则k的值是．巩固训练1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点P在函数y=kxk>0，x>0的图像上，过P作PA⊥x轴于点A，交直线y=−x+8于点D，作PF⊥y轴于点F，交直线y=−x+8于点C，分别在矩形APFO的外侧构造矩形APCB，PDEF．若P是CF的中点，图中阴影部分的面积为7，则k的值为．114,2．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，已知点P−6,3，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为10，则k=．3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，点C在反比例函数y=8xx>0的图象上．若平行四边形OABC的面积为10，则k=．题型二十七 反比例函数的应用例27.（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，114,(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？巩固训练1．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点，且A6,3，B−3,n．(1)求n的值；(2)求一次函数的表达式；(3)在直线AB上是否存在一点P(P不与点B重合)，使△APO与△AOB的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：114,(1)当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:56，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在7:10−11:56这段时间里，水温共有几次达到100℃？3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，直线AB与反比例函数y=mx的图像交于A1,4，B4,n两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OA、OB，求△OAB的面积；(3)是否存在x轴上的一个动点P，使PA+PB最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．114,第二十一章二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记知识点1二次函数1、二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.114,2、二次函数的三要素：（1）自变量的最高次数必须是2；（2）等号右边的ax2+bx+c是关于自变量x的整式；（3）二次项系数a不等于0.【注意】（1）二次项系数，一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉；（2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠≠0）的特殊形式：特殊形式二次项一次项常数项y=ax2(a≠0)ax2无0y=ax2+bx(a≠0)ax2bx0y=ax2+c(a≠0)ax2无c知识点2根据实际问题列二次函数表达式在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤：1、审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；2、找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式；3、列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式；4、确定自变量的取值范围：根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围.【注意】（1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义；（2）确定自变量的取值范围时，需正确列其出不等式或不等式组.知识点3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）a的符号a>0a<0114,图象开口方向向上向下对称轴直线x=−b2a顶点坐标−b2a，4ac−b24a增减性当x<−b2a时，y随x的增大而减小当x>−b2a时，y随x的增大而增大当x<−b2a时，y随x的增大而减小当x>−b2a时，y随x的增大而增大最值当x=−b2a时，y最小值=4ac−b24a当x=−b2a时，y最大值=4ac−b24a【注意】（1）如图，若抛物线上x=m和x=n对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=m+n2（2）如图，若抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=x1+x22知识点4二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c的符号关系二次函数的y=ax2+bx+c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的否好决定抛物线对称轴的大致位置，c的否好决定抛物线与y轴交点的大致位置，具体如下表：字母（或式子）符号特征aa>0开口向上a<0开口向下−b2ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右左侧cc=0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交114,【注意】对于二次函数y=ax2+bx+c：（1）当x=1时，y=a+b+c，此时：若y=0，则a+b+c=0；若y>0，则a+b+c>0；若y<0，则a+b+c<0.（2）当x=−1时，y=a−b+c，此时：若y=0，则a−b+c=0；若y>0，则a−b+c>0；若y<0，则a−b+c<0.知识点5用待定系数法求二次函数的表达式方法名称函数表达式适用情形一般步骤待定系数法一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x，y的三组对应值顶点式：y=a(x+ℎ)2+k(a≠0)已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值交点式：y=a(x−x1)(x−x2)其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标【注意】：特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：（1）顶点在原点，可设为y=ax2；（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴），可设为y=ax2+k；（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x−ℎ)2；（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.知识点6二次函数与一元二次方程之间的关系1、二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系：一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴由交点，交点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.2、二次函数与一元二次方程的联系与区别：114,b2−4ac>0b2−4ac=0b2−4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况有两个不等的实数根x=−b±b2−4ac2a有两个相等的实数根x1=x2=−b2a没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象a>0a>0抛物线与x轴的交点（x1，0），（x2，0）（−b2a，0）没有交点知识点7二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.1、利用二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0的解（1）作出二次函数y=ax2+bx+c的图象，确定图象与x轴公共点的个数，也就是方程ax2+bx+c=0的解的个数.（2）观察图象，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解；（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2、利用二次函数y=ax2的图象与直线y=−bx−c的公共点求方程ax2+bx+c=0的解（1）将方程ax2+bx+c=0化为ax2=−bx−c的形式；（2）在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=−bx−c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；（3）公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.知识点8二次函数与一元二次不等式的关系114,求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y>0；求不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y<0，列表如下：（因a>0为例）b2−4ac的符号b2−4ac>0b2−4ac=0b2−4ac<0ax2+bx+c>0(a>0)的图象与x轴的交点个数ax2+bx+c=0(a>0)的根两个等实数根x=−b±b2−4ac2a两个相等实数根x1=x2=−b2a没有实数根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)x<x1或x>x2x≠−b2a全体实数ax2+bx+c<0(a>0)x1<x<x2无解无解知识点9用二次函数解决实际问题1、一般步骤：（1）审：仔细审题，厘清题意；（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.知识点10反比例函数的定义1、定义：一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2、反比例函数的三种表达形式：（1）y=kx；（2）y=kx−1；（3）xy=k（k为常数，且k≠0）114,【注意】反比例函数的表达式y=kx中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数.知识点11反比例函数图象与性质1、图象的特点：（1）反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线；（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；（4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).如图：2、反比例函数的性质：反比例函数ykx（k≠0）k的符号k>0k<0图象图像位置第一、三象限第二、四象限增减性在每一个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大知识点12求反比例函数的表达式1、确定反比例函数表达式的方法由于在反比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式.2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤114,【注意】（1）用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程.（2）当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y=kx(k≠0).知识点13反比例函数中k的几何性质1、矩形面积如图，过双曲线y=kx上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=x∙y=xy=k，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为k.2、三角形的面积如图，过双曲线y=kx上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S∆EOF=k2，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为k2.03题型归纳题型一 二次函数的定义例1.（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（ ）A．y=2x2B．y=x+32−x2C．y=x2+2x−1D．y=xx−1【答案】D114,【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可．【详解】A.y=2x2是反比例函数，不符合题意； B.y=x+32−x2=6x+9，是一次函数，不符合题意；C.y=x2+2x−1，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；D.y=xx−1=x2−x是二次函数，符合题意故选：D．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）A．y=2x−1B．y=x2−1C．y=x2−1D．y=12x【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数y=x2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数y=x2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数y=12x分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y=1−3x3B．y=x2−5xC．y=x4+2x2−1D．y=1x2【答案】B【分析】根据形如y=ax2+bx+ca≠0的函数是二次函数，据此逐一判断即可．【详解】A.y=1−3x3，不是二次函数，不符合题意； B.y=x2−5x，是二次函数，符合题意；C.y=x4+2x2−1，不是二次函数，不符合题意； D.y=1x2，不是二次函数，不符合题意； 114,故选B．3．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）下列函数解析式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y=ax2+bx+cB．y=−5x+1C．y=−23x2+x−34D．y=2x2−1x【答案】C【分析】根据：形如y=ax2+bx+ca≠0，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；B、y=−5x+1，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、y=−23x2+x−34，是二次函数，符合题意；D、y=2x2−1x，不是二次函数，不符合题意；故选C．题型二 由二次函数的定义求值例2．（2024九年级下·广东·专题练习）若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m的值为( )A．−2B．1C．−2或1D．2或1【答案】C【分析】根据y=ax2+bx+c(a是不为0的常数)是二次函数，可得答案．【详解】解：若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则m2+m=2且m+1≠0．，解得：m=−2或m=1．故选：C．巩固训练1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数y=k−3xk2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值为（ ）A．k=0B．k=3C．k=0或k=3D．k=4【答案】A【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数(k−3)不为0．114,【详解】解：根据二次函数的定义，得k2−3k+2=2，解得k=0或k=3．∵k−3≠0，∴k≠3，∴当k=0时，这个函数是二次函数．故选：A．2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数y=(m+2)xm2−2+3x−4是二次函数，则m等于（ ）A．±2B．2C．−2D．6【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令m2−2=2且m+2≠0，即可求出m的取值范围．【详解】解：∵y=(m+2)xm2−2+3x−4是二次函数，∴m2−2=2且m+2≠0，∴m=±2且m≠−2，∴m=2．故选：B．3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）若函数y=m−2x2+3x是二次函数，则常数m满足的条件为（ ）A．m≠0B．m≠2C．m=2D．m为任意实数【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数且a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可．【详解】解；∵函数y=m−2x2+3x是二次函数，∴m−2≠0，∴m≠2，故选B．题型三 二次函数的一般形式114,例3.（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数y=3x2+6x+1的一次项系数为（ ）A．−6B．1C．3D．6【答案】D【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键.根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数y=3x2+6x+1的一次项系数是6；故选：D.巩固训练1．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数y=−x2−1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a=，b=，c=．【答案】0−1【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键．根据二次函数各项的系数填空．【详解】∵二次函数为y=−x2−1，∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为−1，∴a=−1，b=0，c=−1．故答案为：，0，−1．2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=x−25−2x的二次项系数是．【答案】−2【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．【详解】解：y=x−25−2x=5x−2x2+10+4x，=−2x2++9x+10，∴二次项系数是−2，故答案为：−2．【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数a=114,，一次项系数b=．【答案】3-5【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：二次函数的二次项系数a=3，一次项系数b=−5，故答案为：3；-5．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．题型四 求自变量或函数值例4.（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t=4代入解析式求值即可．【详解】解：∵V=18t2+104t>0，当t=4°C时，V=18×42+104=106cm3，∴水的体积为106cm3．故答案为：106．巩固训练1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）若函数y=ax−32过2,9点，求当x=4时，y=．【答案】9【分析】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点2,9代入函数解析式求出a的值，再把x=4代入函数解析式计算即可求出的值．【详解】解：把2,9代入y=ax−32得a=9，∴y=9x−32，∴当x=4时，y=9，故答案为：9．2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点A2,m，B3,n．则mn114,（填“＞”，“=”或“＜”）．【答案】<【分析】分别把点A2,m和B3,n代入得到m、n的值，即可得到答案，熟练掌握抛物线上的点满足函数表达式是解题的关键．【详解】解：把A2,m代入得，m=2×22+1=9，把B3,n代入得，n=2×32+1=19，∴m<n，故答案为：<3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象经过点p1，a，则a的值为（>x2，则y1>y2D．若y1=y2，则x1+x2=1【答案】B【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可．【详解】解：A、根据函数图像可得当x=1时，y=a+b+c>0，故A错误；B、根据对称轴为直线x=1可得：−b2a=1故2a+b=0，故B正确；C、根据函数图像可得当1>x1>x2，则y1>y2，故C错误；D、根据函数的对称性得：y1=y2，则x1+x22=1，故D错误；故选：B．2．（2024·山东淄博·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2012…y=ax2+bx+c…tm−2−2n…且当x=−12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③，其中正确的结论个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线x=12，当x=−12时，与其对应的函数值y>0，则a>0，b<0，即可判断①；根据二次函数的对称性可知：关于对称轴x=12的对称点为(3,t)，即可判断②；根据对称轴可得b=−a，根据当x=−12时，与其对应的函数值y>0，得出14a−12b−2>0，进而可得a>83，根据对称性可得二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,m)，(2,n)，得出m=n，当x=−1时，得出，结合a>83，即可判断③．【详解】解：①根据图表可知：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,−2)，(1,−2)，114,∴对称轴为直线x=0+12=12，，∵当x=−12时，与其对应的函数值y>0，∴a>0，b<0，∴函数图象的顶点在第四象限内；故①正确：②根据二次函数的对称性可知：关于对称轴x=12的对称点为(3,t)，即−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根，∴②正确；③∵对称轴为直线x=12，∴−b2a=12，∴b=−a，∵当x=−12时，与其对应的函数值y>0，14a−12b−2>0，即14a+12a−2>0，．∵对称轴为直线x=12，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,m)，(2,n)，∴m=n，当x=−1时，m=a−b+c=a+a−2=2a−2，∴，∵a>83．∴4a−4>203，∴③错误．故选：C．3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时函数值与（ ）A．时的函数值相等B．x=−94时的函数值相等C．x=−32时的函数值相等D．x=0时的函数值相等【答案】D114,【分析】本题考查二次函数的轴对称性质，根据解析式找到对称轴，结合对称性求解即可得到答案；【详解】解：二次函数的对称轴为：x对=−−42×2=1，∵自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，∴x1+x2=2×1=2，∴的对称点为：2×1−2=0，∴当自变量x取x1+x2时函数值与x=0时的函数值相等，故选：D．题型九 二次函数图象的平移变换例9.（24-25九年级上·浙江·假期作业）抛物线y=−3x2+bx+c是由抛物线y=−3x2−6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b=，c=．【答案】−18−20【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．由题意知，y=−3x2−6x+1=−3x+12+4，根据上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线为y=−3x+32+7=−3x2−18x−20，然后求解作答即可．【详解】解：由题意知，y=−3x2−6x+1=−3x+12+4，∴抛物线y=−3x2−6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为y=−3x+32+7=−3x2−18x−20，∴b=−18，c=−20，故答案为：−18，−20．巩固训练1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点−2,4，则．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到2a−b=3，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，把点−2,4代入得到，，114,得到2a−b=3，∴6a−3b−7=32a−b−7=3×3−7=2，故答案为：22．（24-25九年级上·浙江·假期作业）将二次函数y=x2−4x+3的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴．【答案】y=x2+4x+5，对称轴为直线x=−2【分析】本题考查了二次函数图象的平移及对称轴，先把二次函数转化为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线的表达式，最后根据对称轴公式x=−b2a即可求出新抛物线的对称轴，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：y=x2−4x+3=x−22−1∵二次函数y=x2−4x+3的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，∴新抛物线的表达式为y=x−2+42−1+2=x2+4x+5，∴新抛物线的对称轴为直线x=−42=−2．3．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=−12(x+1)2−1的图象．(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y=a(x−ℎ)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．【答案】(1)a=−12，，k=−5(2)开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−5)，当x≥1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案；（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．【详解】（1）解：二次函数y=−12(x+1)2−1的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为(1,−5)，所以原二次函数的解析式为，114,所以a=−12，，k=−5；（2）解：二次函数y=a(x−ℎ)2+k，即∵a=−12<0，∴图象开口向下，二次函数的图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−5)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴当x≥1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大．题型十 二次函数图象的对称变换例10.（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，且OB=4OA=4，C为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点D，点C和点D关于x轴对称．当抛物线y=12x2+bx+c在直线BC的上方时，x的取值范围是（ ）A．x<−2或x>4B．−2<x<4c．x<−3或x>4D．−3<x<4【答案】a【分析】先求解抛物线为：y=12x2−32x−2，直线bc为y=−12x+2，再求解两个函数图象的交点坐标，再结合函数图象可得答案．【详解】解：∵ob=4oa=4，∴oa=1，∵c为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点d，点c和点d关于x轴对称．∴d在负半轴，∴a−1,0，b4,0，∴抛物线为：y=12x+1x−4=12x2−32x−2，当x=0时，y=−2，∴d0,−2，∴c0,2，114,设直线bc为，∴b=24k+b=0，解得k=−12b=2，∴直线bc为y=−12x+2，∴y=12x2−32x−2y=−12x+2，解得x=4y=0或x=−2y=3，∴直线与抛物线的另一个交点h−2,3，当抛物线y=12x2+bx+c在直线bc的上方时，x的取值范围是x>4或x<−2；故选A．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．巩固训练1．（2022·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（ ）A．或3B．1或−2C．1或3D．1或2【答案】C【分析】根据题意，由可得到顶点对应的y值的代数式，再分情况讨论即可求解；【详解】解：∵两抛物线顶点相距8个单位长度∴4ac−b24a=4⋅8k−4k24k=8−4k=±4当8−4k=4时，解得k=1当8−4k=−4时，解得k=3综上，k的值是1或3故选：C114,【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质及应用，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．2．（2024·山西晋城·二模）如图（1），金桥公园是省城太原一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉呈拁物线型，最高可喷60米高．如图（2），是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2−6512x−表示，则两个喷泉最高点之间的距离是（ ） A．104米B．52米C．26米D．120米【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据两条抛物线的对称性，可知轴左面抛物线的顶点到y轴的距离即为两个最高点的距离．【详解】解：y轴左侧抛物线对称轴为：x=−b2a=−−65122×−548=−26，∴左面抛物线的顶点到y轴的距离为−26=26米，∵两条抛物线关于y轴对称，∴两个最高点之间的距离为：2×26=52米，故选：B．3．（2024·山东临沂·模拟预测）抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点Mm−1,y1，Nm+1,y2为图形G上两点，若y1<y2，则m的取值范围是（>0B．−12<m<12c．−2≤m<2d．−1<m<1【答案】d【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得m−1,1，m+1,1是关于抛物线y=−x2+2mx−m2+2对称轴对称的点，再分三种情况：若m−1≥0，即m−1,1和m+1,1在y轴右侧（包括m−1,1在y轴上）；当m+1≤0时，即m−1,1和m+1,1在y轴左侧（包括m+1,1在y轴上）；当m−1<0<m+1，即m−1,1在y轴左侧，m+1,1在y轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．114,【详解】解：在y=−x2+2mx−m2+2中，令x=m−1，得y=−m−12+2mm−1−m2+2=1，令x=m+1，y=−m+12+2mm+1−m2+2=1，∴m−1,1，m+1,1是关于抛物线y=−x2+2mx−m2+2对称轴对称的点，若m−1≥0，即m−1,1和m+1,1在y轴右侧（包括m−1,1在y轴上），则点m−1,1经过翻折得mm−1,y1，点m+1,1经过翻折得nm+1,y2，如图：由对称性可得：y1=y2，此时不满足y1<y2；当m+1≤0时，即m−1,1和m+1,1在y轴左侧（包括m+1,1在y轴上），则点m−1,1即为mm−1,y1，点m+1,1即为nm+1,y2，∴y1=y2，此时不满足y1<y2；当m−1<0<m+1，即m−1,1在y轴左侧，m+1,1在y轴右侧时，如图：此时mm−1,1，m+1,1翻折后得n，满足y1<y2，由m−1<0<m+1得：−1<m<1，故选：d．题型十一>0；⑤．114,A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，∴a>0,c<0,−b2a<0，b2−4ac>0，∴b>0，，故②正确；∴abc<0，故①错误；当x=−1时，，故③正确；∵，∴2a>b，即2a−b>0，故④正确；当x=1时，，∴a+c=2−b，∴2−b−b<0，即b>1，∴2−b<1，∴，故⑤正确；故选：D．巩固训练1．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A3,0，与y114,轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③若实数m≠1，则am2+bm>a+b；④若−2<c<−1，则−83<a+b+c<−43，其中正确的结论有（>0；∵对称轴在y轴右侧，、b异号，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴−b2a=1，∵b=−2a，∴x=−1时，y=0，∴a−b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，114,∴y=a+b+c最小值，∵m≠1，∴am2+bm+c>a+b+c，∴am2+bm>a+b，故③正确；④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=−1×3=−3=ca，∴c=−3a，，，∵b=−2a，∴a+b+c=a−2a−3a=−4a，∴−83<a+b+c<−43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：c2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结论中：①bc>0 ②（m为任意实数） ③3a+c<1④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤−3．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0114,即可判断①，x=−1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x1+x2=−2即可判段④，即可求解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=−1，∴∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0∴bc<0，故①错误，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1,∴当x=−1时，y取得最大值，最大值为∴am2+bm+c≤a−b+c（m为任意实数）即，故②正确；∵x=1时，y<0即∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正确；∵Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，∴M,N关于x=−1对称，∴即x1+x2=−2故④不正确正确的有②③故选：B3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为3，则a=−12；④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）114,A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】B【分析】根据抛物线的顶点公式可得−b2a=1，结合a<0，a+b+c=2，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．【详解】解：根据题意可得：−b2a=1，∴−b2=a，∵a<0，∴−b2<0即b>0，∵a+b+c=2，b=−2a∴c=2−a−b=2+a，∴c的值可正也可负，∴不能确定abc的正负；故①错误；∵a<0，∴抛物线开口向下，且关于直线x=1对称，当x>1时，y随x的增大而减小；故②正确；∵b=−2a,c=2+a，∴抛物线为y=ax2−2ax+2+a，∵0=9a−6a+2+a，∴a=−12，故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c=ax−12+2，将y=ax−12+2向左平移1个单位得：y=ax−1+12+2=ax2+2，∴抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位得到的，故④错误；∴正确的有②③，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．题型十二 图象共存问题114,例12.（2024·江苏扬州·模拟预测）函数y=mx+m和函数y=−mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．对称轴为x=−b2a，与y轴的交点坐标为0，c．【详解】A．由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=−mx2+2x+2开口向上，与图象不符，故A选项错误；B．由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=−mx2+2x+2开口向上，对称轴为x=−b2a=1m<0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C．由函数y=mx+m的图象可知m>0，即函数y=−mx2+2x+2开口向下，与图象不符，故C选项错误；D．由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=−mx2+2x+2开口向上，对称轴为x=−b2a=1m<0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选：D．巩固训练1．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y=ax2+bx的图像可能是（ ）114,A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中a、b的符合以及一次函数解析式中a、b的符合，判断是否一致，即可获得答案．【详解】解：A、由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a>0，，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a<0，x=−b2a>0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a<0，，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数的大致图像可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．114,本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．【详解】A.根据一次函数图象分布，得−a<0b<0即a>0b<0；根据二次函数图象分布，得a>0−b<0即a>0b>0；不一致，不符合题意；B.根据一次函数图象分布，得−a>0b>0即a<0b>0；根据二次函数图象分布，得a>0−b<0即a>0b>0；不一致，不符合题意； C.根据一次函数图象分布，得−a<0b<0即a>0b<0；根据二次函数图象分布，得a<0−b>0即a<0b<0；不一致，不符合题意； D.根据一次函数图象分布，得−a<0b>0即a>0b>0；根据二次函数图象分布，得a>0−b<0即a>0b>0；一致，符合题意，故选D.3．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线y1=−x2+1，直线y2=−x+1，下列判断中：①当x<0或x>1时，y1<y2；>12时y1−y2随x的增大而增大； ④使y1−y2=13的x的值有3个．其中正确的个数有（ ） A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】由图知：抛物线y1=−x2+1与直线y2=−x+1交于和1,0，由此可判断①正确；求出y2−y1=x2−x，将x=−2和x=3代入求值即可判断②正确；由y1−y2=−x2+x=−x−122−14，根据二次函数的增减性可判断③错误；由y1−y2=13得−x2+x=13114,，则可得−x2+x=13或−x2+x=−13．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误．【详解】由图知：抛物线y1=−x2+1与直线y2=−x+1交于和1,0，当x<0或x>1时，y1<y2；故①正确；∵y2−y1=−x+1−−x2+1=x2−x当x=−2时，y2−y1=−22−−2=6，当x=3时，y2−y1=32−3=6，故②正确；∵y1−y2=−x2+1−−x+1=−x2+x=−x−122−14，开口向下，对称轴为x=12，∴当x>12时y1−y2随x的增大而减小； 故③错误；由y1−y2=13得−x2+x=13，∴−x2+x=13或−x2+x=−13．由−x2+x=13得3x2−3x+1=0，∵Δ=9−12=−3<0，∴此方程无解；由−x2+x=−13得，∵Δ=9+12=21>0，∴此方程由两个不相等的实数根．∴使y1−y2=13的x的值有2个，故④错误；综上，正确的有2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键．114,题型十三 根据二次函数的图象与性质比较大小例13.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=x−12+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3b．y2<y1<y3c．y3<y1<y2d．不能确定【答案】b【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，已知对称轴求对称点，熟练掌握知识点是解题的关键．需将点转化到对称轴同一侧，借助于二次函数的增减性分析，可知二次函数对称轴为直线x=1，由−1<x1<0，若点x1,y1关于直线x=1的对称点记为x1',y1，则2<x1'<3，故1<x2<x1'<x3，则y2<y1<y3．【详解】解：已知二次函数y=x−12+2，故对称轴为直线x=1，∵−1<x1<0，∴点x1,y1关于直线x=1的对称点记为x1',y1，∴2<x1'<3，∵1<x2<2，x3>3，∴1<x2<x1'<x3，由二次函数y=x−12+2知在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，∴y2<y1<y3，故选：b．巩固训练1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点ax1,y1，bx2,y2，cx3,y3三点，且x3<x2<2<x1，x1=x3，x1+x2>4，下列结论正确的是（ ）A．若k>0，则y3=y1>y2B．若k>0，则y3>y2>y1C．若k<0，则y1>y2>y3D．若k<0，则y2>y1>y3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及开口方向、对称轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出对称轴，结合x3<x2<2<x1，x1=x3，得d<m，n<m，d>n，再进行分类讨论，即可作答．【详解】解：∵二次函数y=kx2−4kx+c114,∴对称轴为x=−−4k2k=2∵x3<x2<2<x1，x1=x3∴设点a、b、c到对称轴的距离为d，n，m，x1，x3互为相反数∴d<m，n<m∵x1+x2>4，∴d>n当k<0时，函数的开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，∴y2>y1>y3，故D选项是正确的；当k>0时，函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，∴y2>y1>y3，故ABD三个选项是错误的；故选：D2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若A0,y1、B−2,y2、C−3,y3为二次函数的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3b．y2<y3<y1c．y1<y3<y2d．y3<y1<y2【答案】c【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象和性质即可得到答案．【详解】解：二次函数对称轴x=−b2a=−−4−1×2=−2，且开口向下，x=−3与x=−1的函数值相等，∵−2<−1<0，当x>−2时，y随x的增大而减小，y1<y3<y2．故选c．3．（2024·福建南平·一模）已知抛物线y=−x2+bx+c过点a−2,y1，b1,y2，c3,y3，且y3<y1<y2，则b的取值范围是（>0，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为2,−1，对称轴是直线，∴当时，y取得最小值，∵当时，总有，∴−14≤m≤2，若0<m≤2，则当x=4时，y=4m，即有，解得：；若−14≤m≤0，则当时，y=4m，即有4m=m2−4m+3解得：m=4±13，不合题意，∴这种情况不存在，综上所述，当时，总有，则．故选：d2．（2024·浙江·模拟预测）已知n为实数，点pp,q在二次函数y=nx2+nx的图象上．若n<0，q>0，则（ ）A．p>0B．p<−1C．p>0或p<−1D．−1<p<0【答案】d【分析】依据题意，由二次函数为，又n<0，从而令y=0，则，故x=0或x=−1，又二次函数y=nx2+nx的图象开口向下，故当q>0时，对应的点在函数y=nx2+nx的图象上的x114,轴上方的部分，进而可以得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．【详解】解：由题意，∵二次函数为，又n<0，∴令y=0，则．或x=−1．又二次函数y=nx2+nx的图象开口向下，∴当q>0时，对应的点在函数y=nx2+nx的图象上的x轴上方的部分．．故选：D．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知二次函数y=−ax2+2ax+3a>0，若点Pm,3在该函数的图象上，则m的值为．【答案】2或0【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，利用图象上点的坐标满足解析式得到−amm−2=0，根据a>0，则mm−2=0，解方程即可．【详解】解：∵点Pm,3在二次函数y=−ax2+2ax+3a>0的图象上，∴3=−am2+2am+3，∴−amm−2=0，∵a>0，∴mm−2=0，解得m=2或m=0，故答案为：2或0．题型十五 根据二次函数的性质求最值例15.（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为1,4和4,4，抛物线y=ax−m2+n的顶点在线段AB上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），114,（1）n=；（2）若点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为．【答案】48【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线y=ax−m2+n的顶点坐标为：m,n，结合顶点在线段AB上运动可得n=4；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A1,4，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段AB的最右端点B4,4处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值．【详解】解：抛物线y=ax−m2+n的顶点坐标为：m,n，∵顶点在线段AB上运动，点A，B的坐标分别为1,4和4,4，∴n=4，AB=4−1=3，当点C的横坐标最小值为−3时，抛物线顶点在线段AB的最左端点A1,4处，即对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，当抛物线顶点在线段AB的最右端点B4,4处，此时点D的横坐标有最大值，此时顶点向右平移了与线段AB等长的距离，∵，平移前D点横坐标为5，∴平移后D点横坐标为：5+3=8，此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．故答案为：4，8．巩固训练1．（2024·吉林长春·二模）已知抛物线y=x2−(a+2)x+2a+1．若抛物线过点−1,y0，且对于抛物线上任意一点x1,y1都有y1≥y0，若A(m,n),B(2−m,p)是这条抛物线上的两点，则的最小值．114,【答案】−8【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得−1,y0为抛物线的顶点，可求出a的值，再求出函数解析式，A、B是抛物线上的点，分别用含m的式子表示出n和p，进而求出，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵抛物线过点−1,y0，且对于抛物线上任意一点x1,y1都有y1≥y0，∴−1,y0是抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为x=−1，∴a+22=−1，∴a=−4，∴抛物线解析式为，∵A(m,n),B(2−m,p)是这条抛物线上的两点，∴n=m2+2m−7，p=2−m2+22−m−7，∴n+p=m2+2m−7+2−m2+22−m−7=2m2−4m−6=2m−12−8，∴当m=1时，由最小值，最小值为−8，故答案为：−8．2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(−1,0),(3,0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值．【答案】(1)y=x2−2x−3；(2)ymin；ymax=5．【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）根据题意将(−1,0),(3,0)代入即可得到答案；（2）根据对称轴x=1得到函数增减性即可计算．【详解】（1）解：将(−1,0),(3,0)代入y=x2+bx+c0=1−b+c0=9+3b+c，解得&b=−2&c=−3∴y=x2−2x−3；114,（2）解：对称轴x=1，∴x=1时，ymin，a=1>0，故x<1时，y随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，∴当x=−2时，ymax=4+4−3=5．3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3时，y有最大值为6(3)m＝－2或−3−10【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，即可求解；（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，得∶c=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6c=−3；（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3＝−(x+3)2+6，∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0，∴当x＝-3时，y有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，114,①当-3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为-3，当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3，∴−m2−6m−3+（-3）＝2，∴m＝-2或m＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x＝-3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴−(m+3)2+6=-4，∴m＝−3−10或m＝−3+10（舍去）．综上所述，m＝-2或−3−10．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．题型十六 待定系数法求解析式例16.（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过−1,−22，0,−8，2,8三点，求抛物线的解析式．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可．【详解】解：将−1,−22，0,−8，2,8代入抛物线y=ax2+bx+c中得：−22=a−b+c−8=c8=4a+2b+c，解方程组得：a=−2b=12c=−8，∴抛物线的解析式为：．巩固训练1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交x轴于A−1,0，B3,0两点，交y轴于点C，OC=2114,，求抛物线的解析式和BC的长． 【答案】y=−23x2+43x+2；BC=13【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据OC=2得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：拋物线交x轴于A−1,0，B3,0两点，故设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，∵OC=2，∴，把点C坐标代入y=a(x+1)(x−3)中，得−3a=2，∴a=−23，∴y=−23(x+1)(x−3)，化为一般式为：y=−23x2+43x+2；∵C0,2，B3,0，∴OC=2，OB=3，由勾股定理得：BC=OB2+OC2=13．2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点，B(0,3)和点C(4,3)．(1)求该二次函数的关系式，并求出它的顶点M的坐标；(2)若，两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】(1)二次函数关系式是y=12x2−2x+3，抛物线的顶点M为(2,1)(2)m<32时，y1>y2；m=32时，y1=y2；m>32时，y1<y2．114,【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出二次函数解析式，并使用差减法比较两个函数值的大小．（1）先把(−2,9)、(0,3)、(4,3)代入函数y=ax2+bx+c中，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解可求a、b、c的值，进而可得二次函数的解析式，再把函数解析式由一般形式转化成顶点式，从而可求顶点坐标；（2）先求出y1、y2，并计算y2−y1的值，再根据y2−y1的结果来判断y1与y2的大小．【详解】（1）解：把(−2,9)、(0,3)、(4,3)代入函数y=ax2+bx+c中，得4a−2b+c=93=c16a+4b+c=3，解得a=12b=−2c=3，∴所求二次函数关系式是y=12x2−2x+3，，∴此抛物线的顶点m为(2,1)；（2），两点都在函数y=12x2−2x+3的图象上，，，，∴当时，即m<32时，y1>y2；当时，即m=32时，y1=y2；当时，即m>32时，y1<y2．3．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．(1)已知抛物线的顶点坐标是1,2，且过点2,3；(2)已知抛物线过点−1,0、3,0、2,−6；(3)已知抛物线过点−1,2、、2,−7．【答案】(1)y=x2−2x+3(2)y=2x2−4x−6(3)y=−x2−2x+1114,【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式．（1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点2,3即可求解；（2）已知抛物线与x的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点2,−6即可求解；（3）已知抛物线上的普通三点，可设表达式为一般式，利用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：设其对应的二次函数的表达式为y=ax−12+2a≠0，把2,3代入得：a2−12+2=3，解得：a=1，∴二次函数的表达式为y=x−12+2，即y=x2−2x+3；（2）设其对应的二次函数的表达式为：y=ax+1x−3，a≠0，把2,−6代入得：a·2+12−3=−6，解得：a=2，∴二次函数的表达式为y=2x+1x−3，即y=2x2−4x−6；（3）设其对应的二次函数的表达式为y=ax2+bx+ca≠0，则a−b+c=2c=14a+2b+c=−7，解得：a=−1b=−2c=1，∴二次函数的表达式为：y=−x2−2x+1．题型十七>1/1<a【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，解不等式，根据δ=b2−4ac>0即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【详解】解：根据题意，Δ=42−4×2−a+3>0，∴16−8−a+3>0，解得，a>1，故答案为：a>1．114,巩固训练1．（2023·湖北荆州·一模）已知函数y=kx2−k+2x+2与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为【答案】0或1或2【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当k=0时，原函数为一次函数，可求得y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当k≠0时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为x=2k或x=1，由此可得2k是正整数，则k=1或k=2．【详解】解：当k=0时，则y=−2x+2，在y=−2x+2中，当y=−2x+2=0时，x=1，即函数y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当k≠0时，则当y=kx2−k+2x+2=0时，有kx−2x−1=0，解得x=2k或x=1，∵函数y=kx2−k+2x+2与x轴的交点横坐标为正整数，∴x=2k是正整数，∴2k是正整数，∴k=1或k=2；综上所述，整数k的值为0或1或2，故答案为：0或1或2．2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）若二次函数y=−ax+12−k的图象与x轴交于A−4,0,B两点，则点B的坐标是.【答案】2,0【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：∵二次函数为y=−ax+12−k，∴二次函数的对称轴直线为x=−1，∵A−4,0，A、B关于对称轴直线为x=−1对称，∴B2,0故答案为：2,03．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线y=2x−1x−2与x轴的交点坐标是．【答案】(1,0)，(2,0)114,【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确利用y=0时求出x的值是解题关键．直接利用抛物线与x轴交点求法：令y=0，得到一元二次方程求解即可得到答案．【详解】解：当y=0时，则，解得：x1=1，x2=2，故抛物线与x轴的交点坐标分别为：(1,0)，(2,0)．故答案为：(1,0)，(2,0)．题型十八 抛物线与坐标轴的交点与系数的关系例18.（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是．【答案】或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点时，Δ=22−4−b=0，解得b=−1；②当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，b=0，∴y=x2+2x=xx+2，与x轴有2个公共点，为−2，0或0，0，综上所述，b的值为或0，故答案为：或0．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线y=x2−2x+3与坐标轴的交点个数为个．【答案】1【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．114,【详解】当x=0时，，则与y轴的交点坐标为0,3，当y=0时，，Δ=−22−4×1×3=−8<0，所以，该方程无解，即抛物线y=x2−2x+3与x轴没有交点．综上所述，抛物线y=x2−2x+3与坐标轴的交点个数是1个．故答案为：1．2．（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线y=x2−3x+2与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是和．【答案】0，21，02，0【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令x=0，然后求出y的值，即可以得到抛物线y=x2−3x+2与y轴的交点坐标；令y=x2−3x+2=0，求出x的值，即可求出抛物线y=x2−3x+2与x轴交点的坐标．【详解】解：令x=0，得y=2，∴抛物线y=x2−3x+2与y轴的交点坐标是：0,2，令y=x2−3x+2=0，即x−2x−1=0，解得x1=2，x2=1，所以抛物线y=x2−3x+2与x轴交点的坐标是2,0，1,0．故答案为：0,2；2,0，1,0．3．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）若函数y=mx2−m−3x−4的图像与坐标轴有2个公共点，则m的值为．【答案】m=−9或m=−1或m=0【分析】分m≠0和m=0两种情况，分别根据二次函数和一次函数图像的性质分析计算即可解答；掌握分类讨论思想是解答本题的关键．【详解】解：①当m≠0时函数y=mx2−m−3x−4是二次函数，∵函数y=mx2−m−3x−4的图像与坐标轴有2个公共点，且它与y轴交于点0，−4，∴它与x轴只有一个交点，∴−m−32−4m×−4=0，解得：m=−9或m=−1；②当m=0时，由函数y=mx2−m−3x−4可得：y=3x−4是一次函数，114,∴它与y轴交于点0，−4，与x轴交于点(43，0)，即图像与坐标轴有两个交点，综上，m=−9或m=−1或m=0时，函数y=mx2−m−3x−4的图像与坐标轴有2个公共点．故答案为：m=−9或m=−1或m=0．题型十九 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例19.（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c0.02−0.01−0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（ ）A．x<3.24B．3.24<x<3.25c．3.25<x<3.26d．x>3.26【答案】B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当ax2+bx+c=0时，x的取值范围为：3.24<x<3.25，即可．【详解】由上表可知当ax2+bx+c=0，关于x的方程的一个解的范围为：3.24<x<3.25，故选：b．巩固训练1．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca>0，已知函数与x轴相交于−2，0，且函数的对称轴为直线，则ax2+bx+c+1=0的根x1<x2的范围是（>0与直线y=−1的交点的横坐标即可得到答案．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+ca>0与x轴相交于−2，0，且函数的对称轴为直线，∴二次函数图象与x轴另一个交点为6，0，114,∵a>0，∴函数开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，∴当y<0时，−2<x<6∵ax2+bx+c+1=0的根可以看做是二次函数y=ax2+bx+ca>0与直线y=−1的交点的横坐标，∴−2<x1<x2<6，故选：d．2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：x…11.11.21.31.4…y…−0.67−0.290.140.62…那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是（>3【分析】本题考查二次函数的图象和性质：（1）根据对称性求出另外一个交点的坐标即可；（2）与x轴的交点的横坐标即为所求；（3）抛物线在x轴上方的自变量的取值范围即为所求；（4）抛物线在x轴下方的自变量的取值范围即为所求．【详解】解：（1）对称轴为x=1，则由x1=−1利用抛物线的对称性得到x2=3，故可得B的坐标为3,0；故答案为：3,0；（2）由（1）可得ax2+bx+c=0时，x=−1或3；故答案为：或3；（3）由二次函数的图象可知，抛物线开口向下时，−1<x<3；故答案为：−1<x<3；（4）当ax2+bx+c<0时，x<−1或x>3．故答案为：x<−1或x>3．巩固训练1．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx的图象交于AxA,yA，BxB,yB两点．若yAyB<0，则m的取值范围是．【答案】1<m<2 2="">m>1114,【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．由函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx的图象交于AxA，yA，BxB，yB两点可得：xA+xB=m+1，xA⋅xB=2m−2，Δ>0，再由yA=xA−2m+2，yB=xB−2m+2得yAyB=2m2−6m+4，根据yAyB<0计算即可．【详解】解：∵函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx的图象交于AxA，yA，BxB，yB两点，∴x−2m+2=x2−mx，∴x2−m+1x+2m−2=0，∴xA+xB=m+1，xA⋅xB=2m−2，Δ=(m+1)2−42m−2=m2+2m+1−8m+8=m2−6m+9=(m−3)2>0，∵yA=xA−2m+2，yB=xB−2m+2，∴yAyB=xA−2m+2xB−2m+2=xAxB−2m−2xA−2m−2xB+(2m−2)2=2m−2−2m−2xA+xB+(2m−2)2=2m−2−2m−2m+1+(2m−2)2=2m−2−2m2+2+4m2−8m+4=2m2−6m+4，∵yAyB<0，∴2m2−6m+4<0，即2m2−3m+2<0，∴m−1m−2<0，∴m−1>0m−2<0，解得：1<m<2，或m−1<0m−2>0，此不等式组无解，综上：1<m<2．故答案为：1<m<2．2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线y=px2−q与直线交于a−2,m，b4,n两点，则不等式px2+b>ax+q的解集是．114, 【答案】−2<x<4【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．【详解】解：观察图象可知当x=−2和x=4时，px2+b=ax+q，在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即px2+b>ax+q，∴不等式px2+b>ax+q的解集是−2<x<4，故答案为：−2<x<4．【点睛】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小．3．（22-23九年级上·吉林白山·期末）如图，二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于a，b两点，则不等式x2+bx+c<mx+n的解为．【答案】−1<x<3【分析】根据图象可直接进行求解．【详解】解：由图象可得：当x2+bx+c<mx+n时，则有−1<x<3；故答案为−1<x<3．【点睛】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．题型二十二>0交于A2,n，B两点，与y轴交于点D．(1)求k,n的值；(2)求△AOB的面积；(3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出6x+12x>4的解集．【答案】(1)k=6，n=3(2)8(3)0<x<2或x>6114,【分析】本题反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（1）将点代入直线y=−12x+4得n=−12×2+4=3，确定A(2,3)，将A(2,3)代入反比例函数解析式确定k即可；（2）令y=12x+4中x=0，得y=4，确定D(0,4)，联立解析式求出点B，进而求出△AOB的面积；（3）根据图象直接判断即可．【详解】（1）将点代入y=12x+4得n=−12×2+4=3，∴A(2,3)，将A(2,3)代入，∴k=2×3=6；（2）令y=12x+4中x=0，得y=4，，解方程组y=6xy=−12x+4，得x=2y=3或x=6y=1，∴B(6,1)，∴S△AOB=S△BOD−S△AOD=12×4×6−12×4×2=8；（3）6x+12x>4即为6x>−12x+4，根据图象得0<x<2或x>6．题型二十四 建立反比例函数的模型例24.（23-24九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数表达式为（ ）A．y=10xB．y=5xC．D．y=x20【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键．根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解．114,【详解】解：∵底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为10，∴12xy=10，∴．故选：C巩固训练1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了正比例和反比例的概念；根据乘积一定的两个量成反比例，商一定的两个量成正比例逐项判断即可．【详解】解：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数的和一定，未读的页数与已读的页数不成正比例，说法错误；②如果保持圆的半径不变，圆的周长也不变，而圆周率是定值，故圆的周长与圆周率不成正比例，说法错误；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例，说法正确；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例，说法正确；正确说法的个数有2个，故选：B．2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y=．【答案】40x【分析】根据菱形面积=12×对角线的积可列出关系式．【详解】解：由题意得：，可得y=40x，故答案为：40x．【点睛】本题主要考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式．114,3．（21-22八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t=（v>0）．【答案】27000v【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，可得t=27000v（v＞0）．故答案为：27000v．【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度．题型二十五 反比例函数的图象与性质例25.（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）A．图象经过点3,−3B．图象关于直线y=x对称C．图象位于第二、四象限D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可．【详解】解：A、3×(−3)≠9，故反比例函数的图象不经过(3,−3)，原说法错误，不符合题意；B、反比例函数的图象分布在第一三象限，关于直线y=x对称，原说法正确，符合题意；C、反比例函数的图象分布在第一三象限，原说法错误，不符合题意；D、反比例函数的图象，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；故选：B．巩固训练1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数y=k2+4x的图象位于（ ）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限114,【答案】A【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．根据平方非负性得到k2+4≥4>0，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在象限．【详解】解：∵k2+4≥4>0，∴反比例函数y=k2+4x的图象位于第一、三象限．故选：A．2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知反比例函数y=2x，则下列描述不正确的是（ ）A．图象位于第一、三象限B．图象必经过1,2C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质；根据反比例函数的图象与系数的关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．【详解】解：A.∵，∴图象位于第一、三象限，正确；B.∵当x=1时，y=2x=2，∴图象必经过1,2，正确；C.图象不可能与坐标轴相交，正确D.∵，∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，描述错误；故选：D．3．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）对于反比例函数y=1x，下列说法错误的是（ ）A．它的图象分布在第一、三象限B．它的两支图象关于原点对称C．当x1<x2<0时，则y2<y1<0d．y随x的增大而减小【答案】d【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可．【详解】解：a、由k=1>0得反比例函数y=1x的图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；B、反比例函数y=1x的两支图象关于原点对称，正确，不符合题意；114,C、当x1<x2<0时，反比例函数y=1x的图象在第三象限，且y随x的增大而减小，则y2<y1<0，原说法正确，不符合题意；d、反比例函数y=1x的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意，故选：d．题型二十六>0）在第一象限的图象与边OA，AB分别交于点E，F，且OE=AE，AF=2BF，连接EF，若△AEF的面积为6时，则k的值是．【答案】12【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、中点坐标等知识点，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．设Aa,b，则Ea2,b2，，Fa,b3，进而得到AF=23b、△AEF边上的高为a2，然后再根据△AEF的面积为6列方程求得ab=36；再根据反比例函数的定义即可解答．【详解】解：设Aa,b，则Ea2,b2，，Fa,b3，∴AF=b−b3=23b，△AEF边上的高为：a−a2=a2，∵△AEF的面积为6，∴12×23b×a2=6，解得：ab=36，∵点Fa,b3反比例函数y=kx（k>0）上，∴k=a×b3=ab3=12．故答案为：12．114,巩固训练1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点P在函数y=kxk>0，x>0的图像上，过P作PA⊥x轴于点A，交直线y=−x+8于点D，作PF⊥y轴于点F，交直线y=−x+8于点C，分别在矩形APFO的外侧构造矩形APCB，PDEF．若P是CF的中点，图中阴影部分的面积为7，则k的值为．【答案】6【分析】设Pm,n，则Dm,−m+8，n=−2m+8，根据阴影部分的面积为7，列出方程求出m值，从而计算出n值，即可得k值．【详解】解：设Pm,n，则Dm,−m+8，n=−2m+8，∵阴影部分的面积为7，，解得m=7（舍去）或m=1，当m=1时，，∴P1,6，∵点P在反比例函数图象上，∴k=6．故答案为：6．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．2．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，已知点P−6,3，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为10，则k=．114,【答案】−8【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．根据S矩形OMPN−S△OAM−S△NBO=9，构建方程即可解决问题．【详解】解：∵点P−6,3，∴PN=6，PM=3，∵S四边形OAPB=10，即S矩形OMPN−S△OAM−S△NBO=10，∵过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B．∴S△OAM=12|k|，S△NBO=12|k|，∴6×3−12|k|−12|k|=10，，解得：k=−8．故答案为：−83．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，点C在反比例函数y=8xx>0的图象上．若平行四边形OABC的面积为10，则k=．【答案】−2114,【分析】过点A作轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出△ABE与△COD的面积相等，△AOE与△CBD的面积相等，再由反比例函数k的几何意义得出S△ABE=S△COD=82=4，确定S△AOE=S△CBD=5−4=1，再次利用反比例函数k的几何意义即可得出结果．【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，∴∠AEB=∠CDO=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABE=∠COD，AB=CO，∴△ABE≌△COD(AAS)，∴△ABE与△COD的面积相等，同理可得△AOE与△CBD的面积相等，∵若▱OABC的面积为10，∴S△ABE+S△AOE=S△CBD+S△COD=12×10=5，∵点C在反比例函数的图象上，∴S△ABE=S△COD=82=4，∴S△AOE=S△CBD=5−4=1，∵点A在反比例函数的图象上，∴k=2S△AOE=2，∵在第二象限，∴k=−2故答案为：−2．【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．114,题型二十七 反比例函数的应用例27.（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？【答案】(1)当5≤x≤100时，y=0.1x−0.5；当x>100时，y=950x(2)能超过130分钟，见解析【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键．（1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得a的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解；（2）令y=5分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解．【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，∴a=0.1×100−5=9.5，当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为，∵经过点5,0，100,9.5，∴5k+b=0100k+b=9.5，解得k=0.1b=−0.5，∴y=0.1x−0.5；当x>100时，y与x之间的函数关系式为y=kx，114,∵经过点100,9.5，∴k100=9.5，解得k=950，即y=950x；（2）解：令y=0.1x−0.5=5，解得x=55，令y=950x=5，解得x=190，∴一次服药后的有效视角为：190−55=135（分钟），超过130分钟．巩固训练1．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点，且A6,3，B−3,n．(1)求n的值；(2)求一次函数的表达式；(3)在直线AB上是否存在一点P(P不与点B重合)，使△APO与△AOB的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)n=−6(2)一次函数的解析式为y=x−3(3)存在，点P的坐标为15,12【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；（1）根据A，B两点都在反比例函数的图象上即可解决问题．（2）利用待定系数法即可解决问题．114,（3）由△APO与△AOB面积相等，得出点A是线段BP的中点，据此可解决问题．【详解】（1）解：(1)因为点A和点B在反比例函数y=k1x的图象上，所以−3n=6×3，解得n=−6．（2）由（1）知，点B的坐标为−3,−6．将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，6k2+b=3−3k2+b=−6，解得k2=1b=−3，所以一次函数的解析式为y=x−3．（3）存在．因为△APO与△AOB的面积相等，且A，B，P三个点都在直线y=x−3上，又因为点P不与点B重合，所以点A是线段BP的中点．因为点A坐标为6,3，点B坐标为−3,−6，所以−3+xp2=6−6+yp2=3，解得xp=15yp=12，所以点P的坐标为15,12．2．（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；(2)求图中t的值；114,(3)有一天，小明在上午7:10（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:56，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在7:10−11:56这段时间里，水温共有几次达到100℃？【答案】(1)y=10x+20(2)t=40(3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案；（2）先求出反比例函数解析式进而得出t的值即可得出答案；（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．【详解】（1）解：设将0，20、8，100代入得8k+b=100b=20解得k=10b=20水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=10x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=mx依据题意，得：100=m8即，故，当y=20时，20=800t解得：t=40；（3）由（2）t=40，结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，7:10到11:56经历286分钟，286÷40=7⋯6，8>6∴当x=6时，y=10×6+20=80答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃．3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，直线AB与反比例函数y=mx的图像交于A1,4，B4,n两点．114,(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OA、OB，求△OAB的面积；(3)是否存在x轴上的一个动点P，使PA+PB最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数解析式为y=4x(2)S△0AB=152(3)存在，P点坐标为175,0【分析】（1）把A(1，4)代入y=mx中，求出m的值，即可得反比例函数解析式为y=4x；（2）分别过点A、B作AC⊥x轴，交x轴与点C、交OB与点E，过点B作BD⊥x轴，交x轴与点D．先求出B点的坐标为B(4，1)．由反比例函数的几何意义可得S△0AC=S△0BD=m2=2，则可得S△0AE=S梯CEBD，进而可得S△0AB=S梯ACDB，根据梯形的面积公式即可求解．（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，此时PA+PB的值最小．求出A'B的表达式为，再求出y=0时x的值，即可得P点的坐标．本题考查了用待定系数法求反比例函数的表达式、反以及反比例函数的几何意义以及利用将军饮马求点的坐标．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．【详解】（1）解：把A(1，4)代入y=mx得，所以反比例函数解析式为y=4x；（2）解：分别过点A、B作AC⊥x轴，交x轴与点C、交OB与点E，过点B作BD⊥x轴，交x轴与点D．114,由（1）可知，反比例函数解析式为y=4x，把B(4,n)代入y=4x，得4n=4，解得n=1，所以B(4，1)．∵S△0AC=S△0CE+S△0AE=m2=2，S△0BD=S△0CE+S梯CEBD=m2=2，∴S△0AE=S梯CEBD，∵S△0AB=S△0AE+S△ABE，∴S△0AB=S梯CEBD+S△ABE=S梯ACDB，∴S△0AB=12yA+yBxB−xA=12×4+1×4−1=152；（3）解：存在．作点A关于x轴的对称点A'，如图，则A'(1,−4)，连接A'B交x轴于P，则PA=PA'，所以PA+PB=PA'+PB=A'B，所以此时PA+PB的值最小，设直线A'B的解析式为，把A'(1,−4)，B(4，1)代入得k+b=−44k+b=1，解得k=53b=−173，所以直线A'B的解析式为，当y=0时，53x−173=0，114,解得x=175，所以P点坐标为175,0．114</x2<0时，反比例函数y=1x的图象在第三象限，且y随x的增大而减小，则y2<y1<0，原说法正确，不符合题意；d、反比例函数y=1x的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意，故选：d．题型二十六></x2<0时，则y2<y1<0d．y随x的增大而减小【答案】d【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可．【详解】解：a、由k=1></x<2或x></x<2或x></x<4，故答案为：−2<x<4．【点睛】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小．3．（22-23九年级上·吉林白山·期末）如图，二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于a，b两点，则不等式x2+bx+c<mx+n的解为．【答案】−1<x<3【分析】根据图象可直接进行求解．【详解】解：由图象可得：当x2+bx+c<mx+n时，则有−1<x<3；故答案为−1<x<3．【点睛】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．题型二十二></x<4【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．【详解】解：观察图象可知当x=−2和x=4时，px2+b=ax+q，在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即px2+b></m<2．故答案为：1<m<2．2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线y=px2−q与直线交于a−2,m，b4,n两点，则不等式px2+b></m<2，或m−1<0m−2></m<2></x<3；故答案为：−1<x<3；（4）当ax2+bx+c<0时，x<−1或x></x1<x2<6，故选：d．2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：x…11.11.21.31.4…y…−0.67−0.290.140.62…那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是（></x<6∵ax2+bx+c+1=0的根可以看做是二次函数y=ax2+bx+ca></x2的范围是（></x<3.25，即可．【详解】由上表可知当ax2+bx+c=0，关于x的方程的一个解的范围为：3.24<x<3.25，故选：b．巩固训练1．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca></x<3.25c．3.25<x<3.26d．x></a【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，解不等式，根据δ=b2−4ac></y2．3．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．(1)已知抛物线的顶点坐标是1,2，且过点2,3；(2)已知抛物线过点−1,0、3,0、2,−6；(3)已知抛物线过点−1,2、、2,−7．【答案】(1)y=x2−2x+3(2)y=2x2−4x−6(3)y=−x2−2x+1114,【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式．（1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点2,3即可求解；（2）已知抛物线与x的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点2,−6即可求解；（3）已知抛物线上的普通三点，可设表达式为一般式，利用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：设其对应的二次函数的表达式为y=ax−12+2a≠0，把2,3代入得：a2−12+2=3，解得：a=1，∴二次函数的表达式为y=x−12+2，即y=x2−2x+3；（2）设其对应的二次函数的表达式为：y=ax+1x−3，a≠0，把2,−6代入得：a·2+12−3=−6，解得：a=2，∴二次函数的表达式为y=2x+1x−3，即y=2x2−4x−6；（3）设其对应的二次函数的表达式为y=ax2+bx+ca≠0，则a−b+c=2c=14a+2b+c=−7，解得：a=−1b=−2c=1，∴二次函数的表达式为：y=−x2−2x+1．题型十七></y2．114,【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出二次函数解析式，并使用差减法比较两个函数值的大小．（1）先把(−2,9)、(0,3)、(4,3)代入函数y=ax2+bx+c中，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解可求a、b、c的值，进而可得二次函数的解析式，再把函数解析式由一般形式转化成顶点式，从而可求顶点坐标；（2）先求出y1、y2，并计算y2−y1的值，再根据y2−y1的结果来判断y1与y2的大小．【详解】（1）解：把(−2,9)、(0,3)、(4,3)代入函数y=ax2+bx+c中，得4a−2b+c=93=c16a+4b+c=3，解得a=12b=−2c=3，∴所求二次函数关系式是y=12x2−2x+3，，∴此抛物线的顶点m为(2,1)；（2），两点都在函数y=12x2−2x+3的图象上，，，，∴当时，即m<32时，y1></p<0【答案】d【分析】依据题意，由二次函数为，又n<0，从而令y=0，则，故x=0或x=−1，又二次函数y=nx2+nx的图象开口向下，故当q></m≤2，则当x=4时，y=4m，即有，解得：；若−14≤m≤0，则当时，y=4m，即有4m=m2−4m+3解得：m=4±13，不合题意，∴这种情况不存在，综上所述，当时，总有，则．故选：d2．（2024·浙江·模拟预测）已知n为实数，点pp,q在二次函数y=nx2+nx的图象上．若n<0，q></y3<y2．故选c．3．（2024·福建南平·一模）已知抛物线y=−x2+bx+c过点a−2,y1，b1,y2，c3,y3，且y3<y1<y2，则b的取值范围是（></y2<y3b．y2<y3<y1c．y1<y3<y2d．y3<y1<y2【答案】c【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象和性质即可得到答案．【详解】解：二次函数对称轴x=−b2a=−−4−1×2=−2，且开口向下，x=−3与x=−1的函数值相等，∵−2<−1<0，当x></x2<2<x1，x1=x3∴设点a、b、c到对称轴的距离为d，n，m，x1，x3互为相反数∴d<m，n<m∵x1+x2></x2<2<x1，x1=x3，得d<m，n<m，d></x2<x1'<x3，由二次函数y=x−12+2知在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，∴y2<y1<y3，故选：b．巩固训练1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点ax1,y1，bx2,y2，cx3,y3三点，且x3<x2<2<x1，x1=x3，x1+x2></y2<y3b．y2<y1<y3c．y3<y1<y2d．不能确定【答案】b【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，已知对称轴求对称点，熟练掌握知识点是解题的关键．需将点转化到对称轴同一侧，借助于二次函数的增减性分析，可知二次函数对称轴为直线x=1，由−1<x1<0，若点x1,y1关于直线x=1的对称点记为x1',y1，则2<x1'<3，故1<x2<x1'<x3，则y2<y1<y3．【详解】解：已知二次函数y=x−12+2，故对称轴为直线x=1，∵−1<x1<0，∴点x1,y1关于直线x=1的对称点记为x1',y1，∴2<x1'<3，∵1<x2<2，x3></x1<0，1<x2<2，x3></y2；故①正确；∵y2−y1=−x+1−−x2+1=x2−x当x=−2时，y2−y1=−22−−2=6，当x=3时，y2−y1=32−3=6，故②正确；∵y1−y2=−x2+1−−x+1=−x2+x=−x−122−14，开口向下，对称轴为x=12，∴当x></y2；></a+b+c<−43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：c2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结论中：①bc></c<−1，则−83<a+b+c<−43，其中正确的结论有（></m<12c．−2≤m<2d．−1<m<1【答案】d【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得m−1,1，m+1,1是关于抛物线y=−x2+2mx−m2+2对称轴对称的点，再分三种情况：若m−1≥0，即m−1,1和m+1,1在y轴右侧（包括m−1,1在y轴上）；当m+1≤0时，即m−1,1和m+1,1在y轴左侧（包括m+1,1在y轴上）；当m−1<0<m+1，即m−1,1在y轴左侧，m+1,1在y轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．114,【详解】解：在y=−x2+2mx−m2+2中，令x=m−1，得y=−m−12+2mm−1−m2+2=1，令x=m+1，y=−m+12+2mm+1−m2+2=1，∴m−1,1，m+1,1是关于抛物线y=−x2+2mx−m2+2对称轴对称的点，若m−1≥0，即m−1,1和m+1,1在y轴右侧（包括m−1,1在y轴上），则点m−1,1经过翻折得mm−1,y1，点m+1,1经过翻折得nm+1,y2，如图：由对称性可得：y1=y2，此时不满足y1<y2；当m+1≤0时，即m−1,1和m+1,1在y轴左侧（包括m+1,1在y轴上），则点m−1,1即为mm−1,y1，点m+1,1即为nm+1,y2，∴y1=y2，此时不满足y1<y2；当m−1<0<m+1，即m−1,1在y轴左侧，m+1,1在y轴右侧时，如图：此时mm−1,1，m+1,1翻折后得n，满足y1<y2，由m−1<0<m+1得：−1<m<1，故选：d．题型十一></y2，则m的取值范围是（></x<4【答案】a【分析】先求解抛物线为：y=12x2−32x−2，直线bc为y=−12x+2，再求解两个函数图象的交点坐标，再结合函数图象可得答案．【详解】解：∵ob=4oa=4，∴oa=1，∵c为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点d，点c和点d关于x轴对称．∴d在负半轴，∴a−1,0，b4,0，∴抛物线为：y=12x+1x−4=12x2−32x−2，当x=0时，y=−2，∴d0,−2，∴c0,2，114,设直线bc为，∴b=24k+b=0，解得k=−12b=2，∴直线bc为y=−12x+2，∴y=12x2−32x−2y=−12x+2，解得x=4y=0或x=−2y=3，∴直线与抛物线的另一个交点h−2,3，当抛物线y=12x2+bx+c在直线bc的上方时，x的取值范围是x></x<4c．x<−3或x></n，故答案为：<3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象经过点p1，a，则a的值为（></x<x2无解无解知识点9用二次函数解决实际问题1、一般步骤：（1）审：仔细审题，厘清题意；（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.知识点10反比例函数的定义1、定义：一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2、反比例函数的三种表达形式：（1）y=kx；（2）y=kx−1；（3）xy=k（k为常数，且k≠0）114,【注意】反比例函数的表达式y=kx中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数.知识点11反比例函数图象与性质1、图象的特点：（1）反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线；（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；（4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).如图：2、反比例函数的性质：反比例函数ykx（k≠0）k的符号k></x1或x></x2<0时，则y2<y1<0d．y随x的增大而减小题型二十六></mx+n的解为．题型二十二></x2的范围是（></x<3.25c．3.25<x<3.26d．x></p<03.（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知二次函数y=−ax2+2ax+3a></y2<y3b．y2<y3<y1c．y1<y3<y2d．y3<y1<y23．（2024·福建南平·一模）已知抛物线y=−x2+bx+c过点a−2,y1，b1,y2，c3,y3，且y3<y1<y2，则b的取值范围是（></y2<y3b．y2<y1<y3c．y3<y1<y2d．不能确定巩固训练1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点ax1,y1，bx2,y2，cx3,y3三点，且x3<x2<2<x1，x1=x3，x1+x2></x1<0，1<x2<2，x3></y2；></c<−1，则−83<a+b+c<−43，其中正确的结论有（></m<12c．−2≤m<2d．−1<m<1题型十一></x<4114,巩固训练1．（2022·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与抛物线l2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（></x<4c．x<−3或x></x<7cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（></x<x2无解无解知识点9用二次函数解决实际问题1、一般步骤：（1）审：仔细审题，厘清题意；（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.知识点10反比例函数的定义1、定义：一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2、反比例函数的三种表达形式：（1）y=kx；（2）y=kx−1；（3）xy=k（k为常数，且k≠0）114,【注意】反比例函数的表达式y=kx中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数.知识点11反比例函数图象与性质1、图象的特点：（1）反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线；（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；（4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).如图：2、反比例函数的性质：反比例函数ykx（k≠0）k的符号k></x1或x>
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