沪科版八年级数学上册 第十一章 平面直角坐标系知识归纳与题型突破（16类题型清单）
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第十一章平面直角坐标系知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、平面直角坐标系1、坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.2、平面直角坐标系：（1）定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.（2）相关概念：水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点.如图11.1—1.102,【注意】1、平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直.2、一般情况下两条数轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同.二、点的坐标1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点A，过点A作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为a，过点A作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为b，则有序实数对(a，b)叫做点A的坐标，其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标.【注意】1、在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；2、点的坐标是有序实数对，(a，b)和(b，a)(a≠b)虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置不同.当a≠b时，这两个坐标表示的是两个不用的点；3、已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置.2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：（1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应；（2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.三、平面直角坐标系中各区域的点的坐标1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限.102,图11.1—2【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改；2、坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点．2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征．点M(x，y)所处的位置坐标特征象限内的点点M(x，y)在第一象限M(正，正)点M(x，y)在第二象限M(负，正)点M(x，y)在第三象限M(负，负)点M(x，y)在第四象限M(正，负)坐标轴上的点点M(x，y)在x轴上在x轴正半轴上：M(正，0)在x轴负半轴上：M(负，0)点M(x，y)在y轴上在y轴正半轴上：M(0，正)在y轴负半轴上：M(0，负)四、特殊位置的点的坐标特征1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：（1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；（2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．2、平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标特征：图11.1—3102,如图11.1—3所示，直线l1//x轴，直线直线l2//y轴，因为由l1上的任意一点向y轴作垂线，垂足都是同一个点M（不与原点重合），所以l1上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由l2上的任意一点向x轴作垂线，垂足都是同一个点N（不与原点重合），所以l2上的所有点的横坐标都相等且不为0.3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值.【注意】1、若AB//x轴，则A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0，即x1≠x2，y1=y2≠0；反之，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1≠x2，y1=y2≠0，则AB//x轴；2、若CD//y轴，则C(m1，n1)，D(m2，n2)的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等，即m1=m2≠0，n1≠n2；反之，若C(m1，n1)，D(m2，n2)且m1=m2≠0，n1≠n2，则CD//y轴.五、用坐标表示点的平移点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化.点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即:【注意】1、将点左右平移，纵坐标不变；2、将点上下平移，横坐标不变；3、点的平移遵循上加下减，右加左减.六、用点的坐标表示图形的平移1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动.【注意】图形在坐标平面中平移变换的实质：（1）、图形的位置及表示位置的坐标发生变化；（2）、图形的性质、大小、方向不变.2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系：（1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况；102,（2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况.【注意】1、图形的平移首先应转化为图形顶点的平移，再按照点的平移规律进行平移；2、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.03题型归纳题型一 在平面上确定点的位置例1.（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）梵净山是“贵州第一名山”，国家AAAAA级旅游景区，国家级自然保护区，中国十大避暑名山，小明想向外地网友介绍我市梵净山的位置，以下几种说法，对梵净山的位置描述错误的是（ ）A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处B．梵净山地处北纬27°49'50″−28°1'30″，东经108°45'55″−108°48'30″C．梵净山位于贵阳市大约北偏东60°方向，距离贵阳约310千米D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处【答案】D【分析】本题主要考查了实际生活中位置的确定，表示的方法有坐标表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，根据方位描述确定物体的位置，根据题意一一判断即可．【详解】解：A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意；B．梵净山地处北纬27°49'50″−28°1'30″，东经108°45'55″−108°48'30″，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意；C．梵净山位于贵阳市大约北偏东60°方向，距离贵阳约310千米，以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意；D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处，无法确定梵净山的位置，故该选项符合题意；故选：D．巩固训练1．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A处走往B102,处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（ ）A．向西走150m，再向南走80mB．向西走150m，再向左走80mC．向南走80m，再向西走150mD．向南走80m，再向左走150m【答案】D【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键．依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可．【详解】解：A、向西走150m，再向南走80m，故本选项不符合题意；B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意；C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意；D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意．故选：D．2．（23-24八年级下·河北承德·阶段练习）2023年9~10月，第19届亚运会于中国杭州顺利举行，以下能够准确表示杭州市地理位置的是（ ）A．东经120.2°，北纬30.2°B．离北京市1250千米C．在浙江省D．在中国南方【答案】A【分析】本题考查了坐标确定位置，根据点的坐标的定义，确定的一个位置需要两个数据，根据选项判断即可．【详解】解：能够准确表示杭州市地理位置的是东经120.2°，北纬30.2°，故选：A．3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话102,从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（ ）A．先向东走500米，再向南走100米B．先向东走100米，再向南走500米C．先向东走200米，再向南走300米D．先向东走300米，再向南走200米【答案】A【分析】此题主要考查了坐标确定位置，先根据对话话确定出生活超市与电影院的位置，再根据图形解答即可．【详解】解：依题意，小明能从生活超市走到电影院的路线是先向东走500米，再向南走100米故选：A．题型二 平面直角坐标系的定义识别例2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是( )A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同【答案】C【分析】根据平面直角坐标系的定义即可知选项A、B错误；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，可得选项D错误，由此即可解答.【详解】在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系，所以选项A、B错误；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应，选项C正确；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，选项D错误.故选C.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义及坐标平面内的点与有序实数对是一一对应是解决问题的关键.巩固训练1．（22-23七年级·全国·课后作业）下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )102,A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可．【详解】解：A．x轴与y轴不垂直，故本选项不符合题意；B．符合平面直角坐标系的定义，故本选项符合题意；C．x轴的正方向错误，故本选项不符合题意；D．x轴与y轴没有标注正方向，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．2．（21-22八年级上·广西百色·期中）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是（ ）A．B．C．D．102,【答案】C【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可．【详解】解：A、原点的位置错误，坐标轴上y的字母位置错误，错误；B、两坐标轴不垂直，错误；C、符号平面直角坐标系的定义，正确；D、x轴和y轴的方向有错误，坐标系无箭头，错误．故选：C．【点睛】本题考查平面直角坐标系，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系，解题关键是掌握平面直角坐标系坐标轴的位置．3．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）下列说法中，正确的是（ ）A．平面直角坐标系中(2,1)和(1,2)表示相同的点B．x轴上的点的横坐标为0C．坐标轴上的点不属于任何象限D．横、纵坐标符号相同的点一定在第一象限【答案】C【分析】根据点与坐标，象限的概念依次进行判断即可得．【详解】解：A、平面直角坐标系中(2,1)和(1,2)表示不相同的点，选项说法错误，不符合题意；B、x轴上的点的纵坐标为0，选项说法错误，不符合题意；C、坐标轴上的点不属于任何象限，选项说法正确，符合题意；D、横、纵坐标符号相同的点在第一象限或第三象限，选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了点与坐标，点所在的象限，解题的关键是掌握点的坐标与点所在象限的特征．题型三 平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征例3.（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点m2+5,−2一定在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．【详解】解：∵，∴m2+5>0∵−2<0，∴点m2+5,−2一定在第四象限．102,故选：D．巩固训练1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A．(2,3)B．(−5,3)C．(4,−6)D．(−2,−4)【答案】D【分析】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答．【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，A、(2,3)在第一象限，故本选项不符合题意；B、(−5,3)在第二象限，故本选项不符合题意；C、(4,−6)在第四象限，故本选项不符合题意；D、(−2,−4)在第三象限，故本选项符合题意；故选：D．2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知点Aa,b在第二象限，则点B1−a,2b在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标的符号特征为：第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−，由点Aa,b在第二象限得出a<0，b>0，从而得出1−a>0，2b>0，即可得出答案．【详解】解：∵点Aa,b在第二象限，∴a<0，b>0，∴1−a>0，2b>0，∴点B1−a,2b在第一象限，102,故选：A．3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点Px,y的坐标满足xy>0，则点P在（ ）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第一、三象限D．第二，四象限【答案】C【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点A为原点，则点A的横纵坐标都为0，解答即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−．【详解】∵点Px,y的坐标满足xy>0，∴x>0，y>0或x<0，y<0，∴据平面直角坐标系特点，点P在第一、三象限，故选：C．题型四 平面直角坐标系中点与坐标特征例4.（23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知点A−1,−5和点B−2,m，且AB⊥y轴，则B点坐标为（ ）A．−2,−5B．−2,5C．−2,1D．−2,−1【答案】A【分析】本题考查了垂直于y轴点坐标的特征．熟练掌握垂直于y轴点坐标的纵坐标相同是解题的关键．根据垂直于y轴点坐标的纵坐标相同求解作答即可．【详解】解：∵AB⊥y轴，∴m=−5，∴B点坐标为−2,−5，故选：A．巩固训练1.（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知点P2m+4,m−1在过点A2,−4且与y轴平行的直线上，则点P坐标为（ ）A．−2,−4B．−2,−2C．2,−2D．2,2【答案】C102,【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．根据点P2m+4,m−1在过点A2,−4且与y轴平行的直线上，得到点P2m+4,m−1的横坐标为2，即2m+4=2，由此得解．【详解】解：∵点P2m+4,m−1在过点A2,−4且与y轴平行的直线上，∴P2m+4,m−1的横坐标为2，∴2m+4=2，解得m=−1，∴P2,−2．故选：C．2．（23-24七年级下·云南文山·期末）已知点Mm+5,m+2在x轴上，那么点M的坐标是（ ）A．3,−2 B．−5,0C．−5,−3D．3,0【答案】D【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，掌握x轴上点的坐标特征是解题的关键．直接利用x轴上点的坐标特点（纵坐标为0）得出m的值，即可得出答案．【详解】解：∵点Mm+5,m+2在x轴上，∴m+2=0，解得：m=−2，∴m+5=−2+5=3，∴点M的坐标是3,0，故选：D．3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点Px，y在第二象限，且y≤2x+6，x，y为整数，则点P的个数是（ ）A．3B．6C．10D．无数个【答案】B【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键．先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．【详解】解：∵点Px，y在第二象限，∴x<0，y>0，∴2x+6>0，解得，x>−3，102,∴当x=−2时，y≤2，此时点P为−2，1，−2，2，当x=−1时，y≤4，此时点P为−1，1，−1，2，−1，3，−1，4，综上所述，点P的个数是6个，故选：B．题型五 利用点到坐标轴的距离确定点的坐标例5.（23-24八年级下·广西贵港·期末）第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（ ）A．−8,−7B．−7,−8C．−7,8D．7,8【答案】A【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．【详解】解：∵第三象限的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，∴点P的横坐标是−8，纵坐标是，∴点P的坐标为(−8,−7)．故选：A．巩固训练1.（23-24七年级下·湖南长沙·期末）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（ ）A．−6,2B．6,−2C．−2,6D．2,−6【答案】D【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标是解题的关键；由题意易得点P的横坐标为2，纵坐标为−6，然后问题可求解．【详解】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，∴点P的坐标为2,−6．故选D．2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）点A在平面直角坐标系第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标是．102,【答案】−5,3【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵，点A在平面直角坐标系第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，∴点A的横坐标为−5，纵坐标为3，∴点A的坐标为−5,3，故答案为：−5,3．3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知第二象限的点P坐标为a−6,3+2a，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是．【答案】−5,5【分析】本题考查了点的坐标特点和点到坐标轴的距离，根据第二象限内的点P坐标为a−6,3+2a，且P点到两坐标轴的距离相等，得出a−6+3+2a=0即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵第二象限内的点P坐标为a−6,3+2a，且P点到两坐标轴的距离相等，∴a−6+3+2a=0，解得a=1，∴点P−5,5，故答案为：−5,5．题型六 利用点的位置特征求字母的值（取值范围）例6．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点P2a+6,a−3在第四象限，则a的取值范围．【答案】−3<a<3【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．【详解】解：∵点p2a+6,a−3在第四象限，∴2a+6>0a−3<0，解得−3<a<3，故答案为：−3<a<3．102,巩固训练1．36．（23-24七年级下·吉林白城·期末）点a2y+7,y−1在第二、四象限的角平分线上，则y=．【答案】−2【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数．根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解．【详解】∵点a2y+7,y−1在第二，四象限夹角平分线上，∴2y+7+y−1=0，解得：y=−2．故答案为：−2．2．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）已知点p4,2a+10：（1）若点p在x轴上，则a=；（2）若点p到x轴、y轴的距离相等，则a．【答案】−5−3或−7>0，a+5>0．∵点P到x轴和y轴的距离相等，∴2a−2=a+5，解得a=7．∴a的立方根是372．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知点M2a−2,3a+6，分别满足下列条件，求出点M的坐标：(1)点M在x轴上；102,(2)点M在y轴上；(3)点N的坐标2,5，直线轴；(4)点M到两个坐标轴的距离相等【答案】(1)(2)M0,9(3)M−83,5(4)M−18,−18或M−185,185【分析】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键；（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，再建立方程可得答案；（2）根据y轴上，横坐标为0，再建立方程可得答案；（3）根据直线轴，可得M，N的纵坐标相等，再建立方程求解即可；（4）根据点M到两个坐标轴的距离相等，则点M横纵坐标相等或点M横纵坐标互为相反数，再建立方程求解即可；【详解】（1）解：∵点M2a−2,3a+6在x轴上，∴即3a+6=0， ∴a=−2，∴，∴点M−6,0；（2）解：点M2a−2,3a+6在y轴上，横坐标为0，即2a−2=0，∴a=1，∴，∴点M0,9；（3）解：∵点M2a−2,3a+6，点N的坐标2,5，直线轴，∴M，N的纵坐标相等，即3a+6=5，∴a=−13，102,∴2a−2=−83，∴点M−83,5.（4）解：∵点M到两个坐标轴的距离相等，点M在第一或第三象限，点M横纵坐标相等，即2a−2=3a+6，∴a=−8，∴2a−2=3a+6=−18，∴点M−18,−18，若点M在第二或第四象限，点M横纵坐标互为相反数，即2a−2=−3a+6，∴a=−45，∴2a−2=−185，3a+6=185，∴点M−185,185.3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知点P2a+3,a−4．(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；(2)若点P在第四象限，求a的取值范围．【答案】(1)P11,0(2)−32<a<4【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．（1）根据点在x轴上，横坐标为0解题即可；（2）根据点在第四象限，即满足2a+3>0a−4<0，解不等式组即可解题．【详解】（1）解：∵点P2a+3,a−4在x轴上，∴a−4=0， 解得：a=4，102,∴P11,0；（2）解：∵点P2a+3,a−4在第四象限，∴2a+3>0a−4<0，解得：−32<a<4，题型八>2，y>−1B．x>2，y<−1C．x<2，y>−1D．x<2，y<−1【答案】C【分析】本题考查坐标与图形性质，根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题．【详解】解：根据所给图象可知，点Px,y在直线l的左侧，且直线l为，所以x<2．点Px,y在直线m的上方，且直线m为y=−1，所以y>−1．故选：C．2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中．若顶点M，N的坐标分别为3,9，12,9，则顶点A的坐标为（ ）A．5,1B．12,3C．3,15D．15,3【答案】D【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．【详解】解：∵点M，N的坐标分别为3,9，12,9，102,∴MN=12−3=9，∴每个正方形的边长为9÷3=3，∵点N的坐标为12,9，∴9−3×2=3∴点B的坐标为12,3，∴12+3=15∴点A的坐标为15,3，故选：D．3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中有三个点：A−2,2，B3,4，C3,0．请根据要求完成下列问题：(1)在如图所示的平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置；(2)求△ABC的面积；(3)求四边形ABCO的面积．【答案】(1)见解析(2)10(3)13【分析】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能根据图形适当的选取三角形ABC的底和高．（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出A，B，C的位置；（2）以BC为底边，用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（3）用割补法求四边形ABCO的面积即可．【详解】（1）点A，B，C的位置如图所示；102,（2）S△ABC=12×4×5=10；（3）S四边形ABCO=5×4−12×5×2−12×2×2=13题型九 利用等积法求平面直角坐标系中点的坐标例9.（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知点A1,0，点B−3,0，点C在y轴上，如果△ABC的面积是8，求点C的坐标．【答案】0,4或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，首先设点C的坐标，然后确定AB的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：设点C的坐标C0,a，∵点A1,0，点B−3,0，∴AB=4，∵△ABC的面积是8，∴，解得：a=±4，故设点C的坐标0,4或．巩固训练1.45．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC，点A的坐标是5,0，点B的坐标为3,2，点C在x轴的负半轴，且AC=6102,(1)求点C的坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得三角形POB的面积等于三角形ABC的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】(1)−1,0(2)P0,4或P0,−4【分析】本题主要考查平面直角坐标中图形的与坐标，掌握平面直角坐标系的特点，点坐标与线段的关系是解题的关键．（1）根据点A的坐标，线段AC的长即可求解；（2）根据题意可求出S△ABC，S△POB，结合几何图形面积的计算方法即可求解．【详解】（1）∵点A的坐标是5,0∴OA=5，∵，AC=6，∴OC=6−5=1.∴点C的坐标是−1,0.（2）存在，如图所示∵B3,2，AC=6，∴S△ABC=12AC⋅yB=12×6×2=6.∴S△POB=S△ABC=6102,设P0,m，则OP=m，∴S△POB=12OP⋅xB=12×m×3=6，∴m=4，解得：m=±4，∴P0,4或P0,−4.2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知：A−1,0，B−1,−3，C3,−4． (1)在直角坐标系中描出各点，画出△ABC；(2)求△ABC的面积；(3)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)6(3)3,0或−5,0【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是关键．（1）根据A、B、C三点坐标在直角坐标系中确定位置，依次连接，即可得到△ABC；（2）利用割补法即可求出△ABC的面积；（3）由已知可知，，设点P的坐标为x,0，则AP=x+1，再根据△ABC的面积，求出x的值，即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求作；102, （2）解：△ABC的面积=4×4−12×1×4−12×4×4=6；（3）解：∵A−1,0，B−1,−3，∴AB=3，设点P的坐标为x,0，∴AP=x+1，由（2）可知，，∴12AB⋅AP=12×3x+1=6，∴x+1=4，∴x=3或x=−5，∴点P的坐标为3,0或−5,0．3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知A−1,2，B1,−2，C4,0，线段AB经过原点O．(1)求△ABC的面积；102,(2)在x轴上是否存在一点D，使S△ACD=S△ABC，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由．【答案】(1)8(2)−4,0或12,0【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积；（1）由S△ABC=S△OAC+S△OBC，即可求解；（2）设Dm,0，由三角形面积得12m−4×2=8，即可求解；能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得S△ABC=S△OAC+S△OBC=12×4×2+12×4×2=8；（2）解：设Dm,0，∴12m−4×2=8，解得：m=−4或，∴D的坐标为−4,0或12,0．题型十 利用割补法求平面直角坐标系中不规则图形的面积例10.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：A−2,0，B0,3，C2,4，D3,0．(1)求三角形AOB的面积；(2)求四边形OBCD的面积；(3)若点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1:2两部分，求点P的坐标．102,【答案】(1)3(2)9(3)1,0或−1,0【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．（1）根据A−2,0，B0,3，得出OA=2，OB=3，利用三角形面积公式求出结果即可；（2）作CE⊥x轴于点E，利用割补法求出四边形OBCD的面积即可；（3）先求出△PDC的面积，分两种情况：当S△PCD:S四边形ABCP=1:2时，S△PCD:S四边形ABCD=1:3，当S△PCD:S四边形ABCP=2:1，S△PCD:S四边形ABCD=2:3，求出PD的值，进而可得OP的值，即可求出点P的坐标．【详解】（1）解：∵A−2,0，B0,3，∴OA=2，OB=3，∴；（2）解：作CE⊥x轴于点E，如图所示：∵C2,4，D3,0．∴OE=2，CE=4，OD=3，DE=OD−OE=3−2=1，∴S梯形OECB=12OB+CE·OE=12×3+4×2=7，S△EDC=12ED·CE=12×1×4=2，∴S四边形OBCD=S梯形OECB+S△CDE=7+2=9；（3）解：S四边形ABCD=S△AOB+S梯形OBCD=3+9=12，∵S△PCD=12PD·CE=12PD×4=2PD，∴S△PCD:S四边形ABCD=2PD:12=PD:6，①当S△PCD:S四边形ABCP=1:2时，S△PCD:S四边形ABCD=1:3，102,∴，解得：PD=2，∴点P的坐标为1,0；②当S△PCD:S四边形ABCP=2:1时，S△PCD:S四边形ABCD=2:3，∴，解得：PD=4，∴点P的坐标为−1,0；综上所述，点P的坐标为1,0或−1,0．巩固训练1.49．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，描出A(−2,1)，B(2,−2)，C(2,3)，D(0,1)四个点，连接AB，BD，DC，CA．求所连线段围成图形的面积． 【答案】描点见解析，5．【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平面直角坐标系描出各点，然后根据面积公式列式计算即可得解，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出四个点是解题的关键．【详解】解：如图，102, ∴所连线段围成图形的面积为12×2×3+12×2×2=5．2．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形ABCD先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形A'B'C'D'． (1)画出四边形A'B'C'D'；(2)求四边形A'B'C'D'的面积．【答案】(1)见解析(2)11【分析】本题考查平移作图，在网格中求四边形的面积．（1）分别作出各顶点的对应点，依次连接即可解答；（2）运用割补法即可解答．【详解】（1）解：如图，四边形A'B'C'D'为所求；102, （2）解：四边形A'B'C'D'的面积S=12×1×4+12×2+4×3=11．3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A−3,4,B−4,−2,C2,0,D2,3，且AB与x轴的交点E的坐标为−113,0，求这个四边形ABCD的面积．【答案】492【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作x轴的垂线BP，过点A，点B分别作y轴的垂线，分别与直线CD交于点H,Q，根据进行求解即可．【详解】解：如图，过点B作x轴的垂线BP，过点A，点B分别作y轴的垂线，分别与直线CD交于点H,Q，∵A−3,4,B−4,−2,C2,0,D2,3，∴，∴，，102,∴．题型十一 利用找规律法求运动中点的坐标例11.（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(−1,0)运动到点(0,1)，第2次运动到点(1,0)，第3次运动到点(2,−2)，…，按这样的运动规律，动点P第2024次运动到达的点的坐标为（ ）A．(2022,0)B．(2023,0)C．(2022,1)D．(2024,−2)【答案】B【分析】本题考查点的坐标规律探究．根据已知点的坐标，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．据图可以得出动点P的纵坐标按照1,0,−2,0，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，进行求解即可．【详解】解：由图可知：动点P的纵坐标按照1,0,−2,0，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，∵2024÷4=506，∴动点P第2024次运动后的纵坐标为0，横坐标为2024−1=2023，∴动点P第2024次运动到点2023,0；故选：B．巩固训练1.（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C，△ABC与△A1B1C102,组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若△AmBnCk是这组图形中的一个三角形，当n=2024时，点Am的横坐标是（ ）A．2023B．2022C．4048D．4046【答案】D【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键．【详解】由图可知：A12,2，A26,2，A310,2，⋯，Am4m−2,2，B11,0，B23,0，B35,0，B47,0，⋯，Bn2n−1,0，又C14,0，C28,0，C312,0，⋯，Ck4k,0，当n为偶数时，A1与B2横坐标相差1，即A1横坐标+1=B2横坐标，与B4横坐标相差1，即横坐标+1=B4横坐标，A3与B6横坐标相差1，即A3横坐标+1=B6横坐标，A4与B8横坐标相差1，即A4横坐标+1=B8横坐标，⋯，A1012与横坐标相差1，即A1012横坐标+1=B2024横坐标，∴4×1012−2=4046，即A10124046,2，故选：D．2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知A−1,2，C1,−1．点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第一次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，……，则M2024的坐标为是（ ）102,A．1,0B．0,−1C．−1,0D．−1,2【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系上点的坐标规律，求出长方形ABCD的周长为2+3×2=10，设经过t秒，P，Q第一次相遇，则点P走的路程为2t，点Q走的路程为3t，根据题意列出方程，求出相遇各点坐标，得出规律，即可得出答案．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知A−1,2，C1,−1．∴B−1,−1，D1,2，∴AD=BC=2，AB=CD=3，∴长方形ABCD的周长为：2+3×2=10，设经过t秒，P，Q第一次相遇，则点P走的路程为2t，点Q走的路程为3t，由题意得：2t+3t=10，解得：t=2，∴当t=2时，P，Q第一次相遇，此时相遇点M1的坐标为1,0，当t=4时，P，Q第二次相遇，此时相遇点M2的坐标为−1,0，当t=6时，P，Q第三次相遇，此时相遇点M3的坐标为1,2，当t=8时，P，Q第四次相遇，此时相遇点M4的坐标为0,−1，当时，P，Q第五次相遇，此时相遇点M5的坐标为−1,2，当t=12时，P，Q第六次相遇，此时相遇点M6的坐标为1,0，…，∴五次相遇为一循环，∵2024÷5=404…4，∴M2024的坐标为是0,−1，故选：B．3．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点A10,1，A21,0，A32,0，A40,2，A50,3，A63,0，A74,0，A80,4，…，按此规律，则点A2024102,的坐标是（ ）A．0,1011B．C．0,1012D．1012,0【答案】C【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键．根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4×505+3，故点A2024是第506组的第4个点，则A2024在y轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012．【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，第1组：A10,1，A21,0，A32,0，A40,2，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2×1−1，2=2×1；第2组：A50,3，A63,0，A74,0，A80,4，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，3=2×2−1，4=2×2；……以此类推，2024=4×506，则点A2024是第506组的第4个点，则A2024在y轴上，其非零坐标即横坐标为1012，故点A2024的坐标是(0,1012)，故选：C．题型十二 点在坐标系中的平移例12.（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点P(2,−3)向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（ ）A．(1,1)B．−1，1C．(1,−1)D．【答案】B102,【分析】本题考查了坐标与图形的变化．根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解．【详解】解：点P2,−3向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是2−3，−3+4，即−1，1．故选：B．巩固训练1.（23-24七年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，直线l经过A−1,2，B1,−1两点．现将直线l平移，使点A到达点1,−3处，则点B到达的点是（ ）A．3,−6B．−3,3C．2,−3D．4,−4【答案】A【分析】本题主要考查图形的平移，由点A−1,2平移后1,−3可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标．【详解】解：由点A−1,2平移后1,−3可得坐标的变化规律是：横坐标加2，纵坐标减5，∴点B1,−1的对应点的坐标为3,−6．故选：A．3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，若将点P−3,1向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，则得到的点P'的坐标是（ ）A．1,6B．−7,−4C．1,−3D．−7,6【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可得到平移后的坐标．【详解】解：将点P−3,1向左平移4个单位长度，得到−3−4,1=−7,1，再向上平移5个单位长度后得到：−7,1+5=−7,6，故选：D．4．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如果将点A3,m+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得n−4,6，则（ ）A．m=1，n=9B．m=6，n=10C．m=6，n=9D．m=2，n=10【答案】D【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得102,3+3=n−4，m+2+2=6，解之即可得到答案．【详解】解：∵将点A3,m+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得n−4,6，∴3+3=n−4，m+2+2=6，∴m=2，n=10，故选：D．题型十三 图形在坐标系中的平移例13.（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为3,0，0,2，若将线段AB平移至CD，则a+b的值为（ ）．A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．利用平移中点的变化规律得到4−3=a−0，b−0=3−2，算出a、b的值，进而求解即可．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为3,0，0,2，C4,b，Da,3∵将线段AB平移至CD，∴4−3=a−0，b−0=3−2，∴a=1，b=1∴a+b=2．故选A．巩固训练1.27．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示，△A'B'C'是由△ABC平移得到的，若A(−3，0)，B(−4，−2)，C(0，−2)，A'(m,3.5),B'(0,n)，则m+n的值为（ ）102,A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】A【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．判断出m,n的值即可解决问题．【详解】解：由平移变换的性质可知△A'B'C'是由△ABC向上平移3.5个单位，向右平移4个单位得到，故A'(1,3.5),B'(0,1.5)．∴m=1,n=1.5，∴m+n=2.5，故选：A．2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是−2,3，右眼B的坐标为0,3，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（ ）A．3,0B．−2,1C．1,3D．2,1【答案】D【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题．【详解】解：∵左眼A的坐标是−2,3，右眼B的坐标为0,3，102,∴嘴唇C的坐标为−2+02,3−2，即−1,1，又∵将此“QQ”笑脸向右平移3个单位，∴将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是2,1，故选：D．3．（22-23七年级下·四川绵阳·期中）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B、A'、B'，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点Pa,b，则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ） A．a−2,b+3B．a−2,b−3C．a+2,b+3D．a+2,b−3【答案】A【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减．【详解】解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，∴Pa−2,b+3，故选：A．题型十四 利用平移坐标系比较其坐标变化规律例14.（22-23八年级上·全国·课后作业）如图102,(1)分别求出点A，A'和点B，B'的坐标，并比较A与A'，B与B'之间的坐标变化．(2)图甲怎样平移到图乙？【答案】(1)A(−8,−1),A'(−3,4)，B(−3,−1),B'(2,4)，由A到A'，横坐标增加5，纵坐标增加5；由B到B'，横坐标增加5，纵坐标增加5(2)一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位．【分析】（1）比较点A，A'和点B，B'的横纵坐标即可得出答案；（2）根据图形结合平面直角坐标系的平移规律进行解答即可．【详解】（1）解：点A，A'的坐标分别为A(−8,−1),A'(−3,4)；点B，B'的坐标分别为B(−3,−1),B'(2,4)．由A到A'，横坐标增加5，纵坐标增加5；由B到B'，横坐标增加5，纵坐标增加5；（2）由第（1）题知，A，B都向右平移5个单位，向上平移5个单位．从图甲到图乙，可以看作经过了两次平移：一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位．【点睛】本题考查了坐标与图形－平移，熟知平面直角坐标系中点的平移规律为“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解本题的关键．巩固训练1.（20-21七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图，P为三角形ABC内一点，P的坐标为(a,b)102,(1)平移三角形ABC，使C点与原点重合，请画出平移后的三角形A'B'C'(2)直接写出A,B,P的对应点A',B',P'的坐标；并写出平移的规律．A'（，）；B'（，）；P'（，）；(3)求三角形ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)；先向左平移1个单位，再向下平移2个单位(3)【分析】（1）根据题可得△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，即可求解；（2）根据平移的规律，即可求解；（3）利用△ABC所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解．【详解】（1）解：∵平移三角形ABC，使C点与原点重合，点C（1，2），∴△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，如图，△A'B'C'即为所求．102,（2）解：由（1）得：△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，∵点A（4，3），B（2，-1），，∴点，（3）解：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(2,22)，B(5,22)，C(5,2)，．将这个长方形向下平移22个单位长度，得到长方形A'B'C'D'，则平移后的顶点坐标正确的是（ ）A．A'(2,42)B．B'(5,0)C．C'(5,22)D．D'(2,−22)【答案】B【分析】本题考查坐标的平移．点的左右平移与点的横坐标有关，左减右加；点的上下平移与点的纵坐标有关，上加下减．【详解】解：∵长方形ABCD向下平移22个单位长度，得到长方形A'B'C'D'，A'2,0，B'(5,0)，C'(5,−2)，D'(2,−2)，故选：B．3．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题：102, (1)分别写出点A与A1，点B与B1，点C与C1的坐标；(2)若点P（2x，2y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为，求x，y的值．【答案】(1)A（1，2），B（2，1），C（3，3），A1(−2,−1)，B1(−1,−2)，(2)x=3y=3【详解】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），A1(−2,−1)，B1(−1,−2)，．（2）平移后的横坐标为-3＋2x，纵坐标为-3＋2y，∴由题意，得−3+2x=y,−3+2y=x解得x=3,y=3.题型十五 利用坐标的变化确定平移方式例15.（23-24七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，将点A−2,3平移到点B−2,−2处，正确的移动方法是（ ）A．向右平移5个单位长度B．向左平移5个单位长度C．向下平移5个单位长度D．向上平移5个单位长度【答案】C【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法．【详解】解：∵3−5=−2，∴平移方法为将点A−2,3向下平移5个单位长度到点B−2,−2处．故选：C．102,巩固训练1.（23-24七年级下·吉林四平·期末）如果将平面直角坐标系中的点平移到点(a,b)的位置，那么下列平移方法中正确的是（ ）A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度【答案】C【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减，据此即可作答．【详解】解：∵将平面直角坐标系中的点平移到点(a,b)的位置，∴a−3+3=a,b+2−2=b∴平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度故选：C2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A−2,4，B−5,2，C−1,0．将△ABC平移后得到△A1B1C1且点A的对应点是A13,1，点B，C的对应点分别为B1，C1．(1)说明△A1B1C1是由△ABC经过怎样平移得到的？(2)写出B1，C1的坐标并画出△A1B1C1．【答案】(1)向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的（答案不唯一）(2)B1的坐标为0,−1，C1的坐标为4,−3，作图见解析【分析】本题考查图形平移、点的平移、平移作图等知识，熟记点的平移、图形平移是解决问题的关键．102,（1）由题中A−2,4与A13,1即可得到图形的平移方式；（2）由（1）的平移方式作出图形，数形结合即可得到B1，C1的坐标．【详解】（1）解：∵点A−2,4的对应点是A13,1，∴点A向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到点A1，∴△A1B1C1是由△ABC向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的；（2）解：由（1）的平移方式，画出△A1B1C1如图所示：B1的坐标为0,−1，C1的坐标为4,−3．3．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为−5,6和−1,2．(1)画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标；(2)将正方形ABCD平移，使4个顶点到原点的距离相等，画出平移后的正方形EFGH，并写出平移方式．【答案】(1)作图见解析，B−5,2，D−1,6；(2)作图见解析，把正方形ABCD先向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到正方形A'B'C'D'【分析】本题考查了平移作图，在坐标系中描点，平移的性质；（1）利用点A和点C的坐标建立平面直角坐标系，从而得到B、D点的坐标；（2）利用正方形的性质得到平移后的正方形的中心为坐标原点，然后画出平移的正方形，从而得到平移的方向与距离．【详解】（1）解：如图，B−5,2，D−1,6；（2）如图，把正方形ABCD先向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到正方形A'B'C'D'．102,题型十六 利用平移建立坐标系确定点的坐标例16.（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形AOCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.(1)建立以O为原点，AO边所在直线为x轴的平面直角坐标系，并写出点C的坐标；(2)求出四边形AOCD的面积；(3)请画出将四边形AOCD向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形A'O'C'D'．【答案】(1)画图见解析，C2,2(2)9(3)画图见解析【分析】此题考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键．（1）按照要求建立平面直角坐标系，根据建立的坐标系写出点C的坐标即可；（2）根据四边形AOCD的面积=S△AOD+S△COD求出面积即可；（3）按照平移规律找出A、O、C、D平移后的对应的A'、O'、C'、D'，再依次连接即可．102,【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下图：由图可得：点C的坐标为2,2；（2）解：由图可得：四边形AOCD的面积=S△AOD+S△COD=12×4×3+12×3×2=9；（3）解：如图所示，四边形A'O'C'D'即为所求．巩固训练1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC．102,(1)在网格中画出三角形ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；(2)若以EF所在直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出A1，B1两点的坐标．【答案】(1)见解析(2)A18,2，B15,4【分析】本题考查了平移作图，点坐标等知识．熟练掌握平移作图，点坐标是解题的关键．（1）由平移的性质作图即可；（2）根据题意建立平面直角坐标系，进而可得点坐标．【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，△A1B1C1即为所作； 图1（2）解：建立平面直角坐标系如图2， 图2∴A18,2，B15,4．2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为6，2，3，−1．102,(1)在网格图中建立平面直角坐标系xOy，标出点B关于x轴的对称点C，并写出点C的坐标；(2)平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D的坐标；(3)若x轴上存在一点P，使得S△PAB=3，直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析，C3,1(2)见解析，D0,−2(3)点P的坐标为2,0或6,0【分析】本题主要考查平面直角坐标系中坐标与图形，平移等知识；（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得点C的坐标．（2）根据平移的性质作图，即可得出答案．（3）设点P的坐标为m，0，根据题意可列方程为12m−4×1+12m−4×2=3=3，求出m的值即可．【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系xOy、点C即为所求．由图可得，C3,1．（2）由题意知，线段AB是向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到的线段CD，如图，线段CD即为所求．102,由图可得，D0,−2．（3）设线段AB与x轴交于点E，可知E4，0．设点P的坐标为m，0，∴12m−4×1+12m−4×2=3，解得m=2或6，∴点P的坐标为2,0或6,0．3．（23-24七年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形ABC的三个顶点均在格点上，点A的坐标为−4,3．(1)将三角形ABC向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到三角形A'B'C'，请画出三角形A'B'C'，并写出B'，C'的坐标；(2)连结AA'，CC'，直接写出AA'与CC'的位置关系．【答案】(1)作图见解析，B'−7,−4，C'−4,5(2)AA'∥CC'102,【分析】本题考查作图—平移变换，坐标与图形，（1）根据题意画出平面直角坐标系，根据平移的性质分别确定A、B、C的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；（2）根据平移性质即可得出结论；解题的关键是掌握平移的性质：①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；③连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，B'−7,−4，C'−4,5；（2）AA'与CC'位置关系为：AA'∥CC'．102,第十一章平面直角坐标系知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、平面直角坐标系1、坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.2、平面直角坐标系：（1）定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.（2）相关概念：水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点.如图11.1—1.102,【注意】1、平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直.2、一般情况下两条数轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同.二、点的坐标1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点A，过点A作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为a，过点A作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为b，则有序实数对(a，b)叫做点A的坐标，其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标.【注意】1、在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；2、点的坐标是有序实数对，(a，b)和(b，a)(a≠b)虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置不同.当a≠b时，这两个坐标表示的是两个不用的点；3、已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置.2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：（1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应；（2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.三、平面直角坐标系中各区域的点的坐标1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限.102,图11.1—2【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改；2、坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点．2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征．点M(x，y)所处的位置坐标特征象限内的点点M(x，y)在第一象限M(正，正)点M(x，y)在第二象限M(负，正)点M(x，y)在第三象限M(负，负)点M(x，y)在第四象限M(正，负)坐标轴上的点点M(x，y)在x轴上在x轴正半轴上：M(正，0)在x轴负半轴上：M(负，0)点M(x，y)在y轴上在y轴正半轴上：M(0，正)在y轴负半轴上：M(0，负)四、特殊位置的点的坐标特征1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：（1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；（2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．2、平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标特征：图11.1—3102,如图11.1—3所示，直线l1//x轴，直线直线l2//y轴，因为由l1上的任意一点向y轴作垂线，垂足都是同一个点M（不与原点重合），所以l1上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由l2上的任意一点向x轴作垂线，垂足都是同一个点N（不与原点重合），所以l2上的所有点的横坐标都相等且不为0.3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值.【注意】1、若AB//x轴，则A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0，即x1≠x2，y1=y2≠0；反之，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1≠x2，y1=y2≠0，则AB//x轴；2、若CD//y轴，则C(m1，n1)，D(m2，n2)的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等，即m1=m2≠0，n1≠n2；反之，若C(m1，n1)，D(m2，n2)且m1=m2≠0，n1≠n2，则CD//y轴.五、用坐标表示点的平移点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化.点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即:【注意】1、将点左右平移，纵坐标不变；2、将点上下平移，横坐标不变；3、点的平移遵循上加下减，右加左减.六、用点的坐标表示图形的平移1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动.【注意】图形在坐标平面中平移变换的实质：（1）、图形的位置及表示位置的坐标发生变化；（2）、图形的性质、大小、方向不变.2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系：（1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况；102,（2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况.【注意】1、图形的平移首先应转化为图形顶点的平移，再按照点的平移规律进行平移；2、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.03题型归纳题型一 在平面上确定点的位置例1.（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）梵净山是“贵州第一名山”，国家AAAAA级旅游景区，国家级自然保护区，中国十大避暑名山，小明想向外地网友介绍我市梵净山的位置，以下几种说法，对梵净山的位置描述错误的是（ ）A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处B．梵净山地处北纬27°49'50″−28°1'30″，东经108°45'55″−108°48'30″C．梵净山位于贵阳市大约北偏东60°方向，距离贵阳约310千米D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处【答案】D【分析】本题主要考查了实际生活中位置的确定，表示的方法有坐标表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，根据方位描述确定物体的位置，根据题意一一判断即可．【详解】解：A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意；B．梵净山地处北纬27°49'50″−28°1'30″，东经108°45'55″−108°48'30″，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意；C．梵净山位于贵阳市大约北偏东60°方向，距离贵阳约310千米，以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意；D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处，无法确定梵净山的位置，故该选项符合题意；故选：D．巩固训练1．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A处走往B102,处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（ ）A．向西走150m，再向南走80mB．向西走150m，再向左走80mC．向南走80m，再向西走150mD．向南走80m，再向左走150m【答案】D【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键．依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可．【详解】解：A、向西走150m，再向南走80m，故本选项不符合题意；B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意；C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意；D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意．故选：D．2．（23-24八年级下·河北承德·阶段练习）2023年9~10月，第19届亚运会于中国杭州顺利举行，以下能够准确表示杭州市地理位置的是（ ）A．东经120.2°，北纬30.2°B．离北京市1250千米C．在浙江省D．在中国南方【答案】A【分析】本题考查了坐标确定位置，根据点的坐标的定义，确定的一个位置需要两个数据，根据选项判断即可．【详解】解：能够准确表示杭州市地理位置的是东经120.2°，北纬30.2°，故选：A．3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话102,从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（ ）A．先向东走500米，再向南走100米B．先向东走100米，再向南走500米C．先向东走200米，再向南走300米D．先向东走300米，再向南走200米【答案】A【分析】此题主要考查了坐标确定位置，先根据对话话确定出生活超市与电影院的位置，再根据图形解答即可．【详解】解：依题意，小明能从生活超市走到电影院的路线是先向东走500米，再向南走100米故选：A．题型二 平面直角坐标系的定义识别例2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是( )A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同【答案】C【分析】根据平面直角坐标系的定义即可知选项A、B错误；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，可得选项D错误，由此即可解答.【详解】在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系，所以选项A、B错误；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应，选项C正确；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，选项D错误.故选C.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义及坐标平面内的点与有序实数对是一一对应是解决问题的关键.巩固训练1．（22-23七年级·全国·课后作业）下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )102,A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可．【详解】解：A．x轴与y轴不垂直，故本选项不符合题意；B．符合平面直角坐标系的定义，故本选项符合题意；C．x轴的正方向错误，故本选项不符合题意；D．x轴与y轴没有标注正方向，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．2．（21-22八年级上·广西百色·期中）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是（ ）A．B．C．D．102,【答案】C【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可．【详解】解：A、原点的位置错误，坐标轴上y的字母位置错误，错误；B、两坐标轴不垂直，错误；C、符号平面直角坐标系的定义，正确；D、x轴和y轴的方向有错误，坐标系无箭头，错误．故选：C．【点睛】本题考查平面直角坐标系，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系，解题关键是掌握平面直角坐标系坐标轴的位置．3．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）下列说法中，正确的是（ ）A．平面直角坐标系中(2,1)和(1,2)表示相同的点B．x轴上的点的横坐标为0C．坐标轴上的点不属于任何象限D．横、纵坐标符号相同的点一定在第一象限【答案】C【分析】根据点与坐标，象限的概念依次进行判断即可得．【详解】解：A、平面直角坐标系中(2,1)和(1,2)表示不相同的点，选项说法错误，不符合题意；B、x轴上的点的纵坐标为0，选项说法错误，不符合题意；C、坐标轴上的点不属于任何象限，选项说法正确，符合题意；D、横、纵坐标符号相同的点在第一象限或第三象限，选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了点与坐标，点所在的象限，解题的关键是掌握点的坐标与点所在象限的特征．题型三 平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征例3.（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点m2+5,−2一定在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．【详解】解：∵，∴m2+5>0∵−2<0，∴点m2+5,−2一定在第四象限．102,故选：D．巩固训练1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A．(2,3)B．(−5,3)C．(4,−6)D．(−2,−4)【答案】D【分析】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答．【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，A、(2,3)在第一象限，故本选项不符合题意；B、(−5,3)在第二象限，故本选项不符合题意；C、(4,−6)在第四象限，故本选项不符合题意；D、(−2,−4)在第三象限，故本选项符合题意；故选：D．2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知点Aa,b在第二象限，则点B1−a,2b在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标的符号特征为：第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−，由点Aa,b在第二象限得出a<0，b>0，从而得出1−a>0，2b>0，即可得出答案．【详解】解：∵点Aa,b在第二象限，∴a<0，b>0，∴1−a>0，2b>0，∴点B1−a,2b在第一象限，102,故选：A．3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点Px,y的坐标满足xy>0，则点P在（ ）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第一、三象限D．第二，四象限【答案】C【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点A为原点，则点A的横纵坐标都为0，解答即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−．【详解】∵点Px,y的坐标满足xy>0，∴x>0，y>0或x<0，y<0，∴据平面直角坐标系特点，点P在第一、三象限，故选：C．题型四 平面直角坐标系中点与坐标特征例4.（23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知点A−1,−5和点B−2,m，且AB⊥y轴，则B点坐标为（ ）A．−2,−5B．−2,5C．−2,1D．−2,−1【答案】A【分析】本题考查了垂直于y轴点坐标的特征．熟练掌握垂直于y轴点坐标的纵坐标相同是解题的关键．根据垂直于y轴点坐标的纵坐标相同求解作答即可．【详解】解：∵AB⊥y轴，∴m=−5，∴B点坐标为−2,−5，故选：A．巩固训练1.（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知点P2m+4,m−1在过点A2,−4且与y轴平行的直线上，则点P坐标为（ ）A．−2,−4B．−2,−2C．2,−2D．2,2【答案】C102,【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．根据点P2m+4,m−1在过点A2,−4且与y轴平行的直线上，得到点P2m+4,m−1的横坐标为2，即2m+4=2，由此得解．【详解】解：∵点P2m+4,m−1在过点A2,−4且与y轴平行的直线上，∴P2m+4,m−1的横坐标为2，∴2m+4=2，解得m=−1，∴P2,−2．故选：C．2．（23-24七年级下·云南文山·期末）已知点Mm+5,m+2在x轴上，那么点M的坐标是（ ）A．3,−2 B．−5,0C．−5,−3D．3,0【答案】D【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，掌握x轴上点的坐标特征是解题的关键．直接利用x轴上点的坐标特点（纵坐标为0）得出m的值，即可得出答案．【详解】解：∵点Mm+5,m+2在x轴上，∴m+2=0，解得：m=−2，∴m+5=−2+5=3，∴点M的坐标是3,0，故选：D．3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点Px，y在第二象限，且y≤2x+6，x，y为整数，则点P的个数是（ ）A．3B．6C．10D．无数个【答案】B【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键．先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．【详解】解：∵点Px，y在第二象限，∴x<0，y>0，∴2x+6>0，解得，x>−3，102,∴当x=−2时，y≤2，此时点P为−2，1，−2，2，当x=−1时，y≤4，此时点P为−1，1，−1，2，−1，3，−1，4，综上所述，点P的个数是6个，故选：B．题型五 利用点到坐标轴的距离确定点的坐标例5.（23-24八年级下·广西贵港·期末）第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（ ）A．−8,−7B．−7,−8C．−7,8D．7,8【答案】A【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．【详解】解：∵第三象限的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，∴点P的横坐标是−8，纵坐标是，∴点P的坐标为(−8,−7)．故选：A．巩固训练1.（23-24七年级下·湖南长沙·期末）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（ ）A．−6,2B．6,−2C．−2,6D．2,−6【答案】D【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标是解题的关键；由题意易得点P的横坐标为2，纵坐标为−6，然后问题可求解．【详解】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，∴点P的坐标为2,−6．故选D．2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）点A在平面直角坐标系第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标是．102,【答案】−5,3【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵，点A在平面直角坐标系第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，∴点A的横坐标为−5，纵坐标为3，∴点A的坐标为−5,3，故答案为：−5,3．3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知第二象限的点P坐标为a−6,3+2a，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是．【答案】−5,5【分析】本题考查了点的坐标特点和点到坐标轴的距离，根据第二象限内的点P坐标为a−6,3+2a，且P点到两坐标轴的距离相等，得出a−6+3+2a=0即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵第二象限内的点P坐标为a−6,3+2a，且P点到两坐标轴的距离相等，∴a−6+3+2a=0，解得a=1，∴点P−5,5，故答案为：−5,5．题型六 利用点的位置特征求字母的值（取值范围）例6．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点P2a+6,a−3在第四象限，则a的取值范围．【答案】−3<a<3【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．【详解】解：∵点p2a+6,a−3在第四象限，∴2a+6>0a−3<0，解得−3<a<3，故答案为：−3<a<3．102,巩固训练1．36．（23-24七年级下·吉林白城·期末）点a2y+7,y−1在第二、四象限的角平分线上，则y=．【答案】−2【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数．根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解．【详解】∵点a2y+7,y−1在第二，四象限夹角平分线上，∴2y+7+y−1=0，解得：y=−2．故答案为：−2．2．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）已知点p4,2a+10：（1）若点p在x轴上，则a=；（2）若点p到x轴、y轴的距离相等，则a．【答案】−5−3或−7>0，a+5>0．∵点P到x轴和y轴的距离相等，∴2a−2=a+5，解得a=7．∴a的立方根是372．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知点M2a−2,3a+6，分别满足下列条件，求出点M的坐标：(1)点M在x轴上；102,(2)点M在y轴上；(3)点N的坐标2,5，直线轴；(4)点M到两个坐标轴的距离相等【答案】(1)(2)M0,9(3)M−83,5(4)M−18,−18或M−185,185【分析】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键；（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，再建立方程可得答案；（2）根据y轴上，横坐标为0，再建立方程可得答案；（3）根据直线轴，可得M，N的纵坐标相等，再建立方程求解即可；（4）根据点M到两个坐标轴的距离相等，则点M横纵坐标相等或点M横纵坐标互为相反数，再建立方程求解即可；【详解】（1）解：∵点M2a−2,3a+6在x轴上，∴即3a+6=0， ∴a=−2，∴，∴点M−6,0；（2）解：点M2a−2,3a+6在y轴上，横坐标为0，即2a−2=0，∴a=1，∴，∴点M0,9；（3）解：∵点M2a−2,3a+6，点N的坐标2,5，直线轴，∴M，N的纵坐标相等，即3a+6=5，∴a=−13，102,∴2a−2=−83，∴点M−83,5.（4）解：∵点M到两个坐标轴的距离相等，点M在第一或第三象限，点M横纵坐标相等，即2a−2=3a+6，∴a=−8，∴2a−2=3a+6=−18，∴点M−18,−18，若点M在第二或第四象限，点M横纵坐标互为相反数，即2a−2=−3a+6，∴a=−45，∴2a−2=−185，3a+6=185，∴点M−185,185.3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知点P2a+3,a−4．(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；(2)若点P在第四象限，求a的取值范围．【答案】(1)P11,0(2)−32<a<4【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．（1）根据点在x轴上，横坐标为0解题即可；（2）根据点在第四象限，即满足2a+3>0a−4<0，解不等式组即可解题．【详解】（1）解：∵点P2a+3,a−4在x轴上，∴a−4=0， 解得：a=4，102,∴P11,0；（2）解：∵点P2a+3,a−4在第四象限，∴2a+3>0a−4<0，解得：−32<a<4，题型八>2，y>−1B．x>2，y<−1C．x<2，y>−1D．x<2，y<−1【答案】C【分析】本题考查坐标与图形性质，根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题．【详解】解：根据所给图象可知，点Px,y在直线l的左侧，且直线l为，所以x<2．点Px,y在直线m的上方，且直线m为y=−1，所以y>−1．故选：C．2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中．若顶点M，N的坐标分别为3,9，12,9，则顶点A的坐标为（ ）A．5,1B．12,3C．3,15D．15,3【答案】D【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．【详解】解：∵点M，N的坐标分别为3,9，12,9，102,∴MN=12−3=9，∴每个正方形的边长为9÷3=3，∵点N的坐标为12,9，∴9−3×2=3∴点B的坐标为12,3，∴12+3=15∴点A的坐标为15,3，故选：D．3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中有三个点：A−2,2，B3,4，C3,0．请根据要求完成下列问题：(1)在如图所示的平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置；(2)求△ABC的面积；(3)求四边形ABCO的面积．【答案】(1)见解析(2)10(3)13【分析】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能根据图形适当的选取三角形ABC的底和高．（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出A，B，C的位置；（2）以BC为底边，用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（3）用割补法求四边形ABCO的面积即可．【详解】（1）点A，B，C的位置如图所示；102,（2）S△ABC=12×4×5=10；（3）S四边形ABCO=5×4−12×5×2−12×2×2=13题型九 利用等积法求平面直角坐标系中点的坐标例9.（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知点A1,0，点B−3,0，点C在y轴上，如果△ABC的面积是8，求点C的坐标．【答案】0,4或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，首先设点C的坐标，然后确定AB的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：设点C的坐标C0,a，∵点A1,0，点B−3,0，∴AB=4，∵△ABC的面积是8，∴，解得：a=±4，故设点C的坐标0,4或．巩固训练1.45．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC，点A的坐标是5,0，点B的坐标为3,2，点C在x轴的负半轴，且AC=6102,(1)求点C的坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得三角形POB的面积等于三角形ABC的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】(1)−1,0(2)P0,4或P0,−4【分析】本题主要考查平面直角坐标中图形的与坐标，掌握平面直角坐标系的特点，点坐标与线段的关系是解题的关键．（1）根据点A的坐标，线段AC的长即可求解；（2）根据题意可求出S△ABC，S△POB，结合几何图形面积的计算方法即可求解．【详解】（1）∵点A的坐标是5,0∴OA=5，∵，AC=6，∴OC=6−5=1.∴点C的坐标是−1,0.（2）存在，如图所示∵B3,2，AC=6，∴S△ABC=12AC⋅yB=12×6×2=6.∴S△POB=S△ABC=6102,设P0,m，则OP=m，∴S△POB=12OP⋅xB=12×m×3=6，∴m=4，解得：m=±4，∴P0,4或P0,−4.2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知：A−1,0，B−1,−3，C3,−4． (1)在直角坐标系中描出各点，画出△ABC；(2)求△ABC的面积；(3)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)6(3)3,0或−5,0【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是关键．（1）根据A、B、C三点坐标在直角坐标系中确定位置，依次连接，即可得到△ABC；（2）利用割补法即可求出△ABC的面积；（3）由已知可知，，设点P的坐标为x,0，则AP=x+1，再根据△ABC的面积，求出x的值，即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求作；102, （2）解：△ABC的面积=4×4−12×1×4−12×4×4=6；（3）解：∵A−1,0，B−1,−3，∴AB=3，设点P的坐标为x,0，∴AP=x+1，由（2）可知，，∴12AB⋅AP=12×3x+1=6，∴x+1=4，∴x=3或x=−5，∴点P的坐标为3,0或−5,0．3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知A−1,2，B1,−2，C4,0，线段AB经过原点O．(1)求△ABC的面积；102,(2)在x轴上是否存在一点D，使S△ACD=S△ABC，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由．【答案】(1)8(2)−4,0或12,0【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积；（1）由S△ABC=S△OAC+S△OBC，即可求解；（2）设Dm,0，由三角形面积得12m−4×2=8，即可求解；能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得S△ABC=S△OAC+S△OBC=12×4×2+12×4×2=8；（2）解：设Dm,0，∴12m−4×2=8，解得：m=−4或，∴D的坐标为−4,0或12,0．题型十 利用割补法求平面直角坐标系中不规则图形的面积例10.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：A−2,0，B0,3，C2,4，D3,0．(1)求三角形AOB的面积；(2)求四边形OBCD的面积；(3)若点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1:2两部分，求点P的坐标．102,【答案】(1)3(2)9(3)1,0或−1,0【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．（1）根据A−2,0，B0,3，得出OA=2，OB=3，利用三角形面积公式求出结果即可；（2）作CE⊥x轴于点E，利用割补法求出四边形OBCD的面积即可；（3）先求出△PDC的面积，分两种情况：当S△PCD:S四边形ABCP=1:2时，S△PCD:S四边形ABCD=1:3，当S△PCD:S四边形ABCP=2:1，S△PCD:S四边形ABCD=2:3，求出PD的值，进而可得OP的值，即可求出点P的坐标．【详解】（1）解：∵A−2,0，B0,3，∴OA=2，OB=3，∴；（2）解：作CE⊥x轴于点E，如图所示：∵C2,4，D3,0．∴OE=2，CE=4，OD=3，DE=OD−OE=3−2=1，∴S梯形OECB=12OB+CE·OE=12×3+4×2=7，S△EDC=12ED·CE=12×1×4=2，∴S四边形OBCD=S梯形OECB+S△CDE=7+2=9；（3）解：S四边形ABCD=S△AOB+S梯形OBCD=3+9=12，∵S△PCD=12PD·CE=12PD×4=2PD，∴S△PCD:S四边形ABCD=2PD:12=PD:6，①当S△PCD:S四边形ABCP=1:2时，S△PCD:S四边形ABCD=1:3，102,∴，解得：PD=2，∴点P的坐标为1,0；②当S△PCD:S四边形ABCP=2:1时，S△PCD:S四边形ABCD=2:3，∴，解得：PD=4，∴点P的坐标为−1,0；综上所述，点P的坐标为1,0或−1,0．巩固训练1.49．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，描出A(−2,1)，B(2,−2)，C(2,3)，D(0,1)四个点，连接AB，BD，DC，CA．求所连线段围成图形的面积． 【答案】描点见解析，5．【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平面直角坐标系描出各点，然后根据面积公式列式计算即可得解，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出四个点是解题的关键．【详解】解：如图，102, ∴所连线段围成图形的面积为12×2×3+12×2×2=5．2．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形ABCD先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形A'B'C'D'． (1)画出四边形A'B'C'D'；(2)求四边形A'B'C'D'的面积．【答案】(1)见解析(2)11【分析】本题考查平移作图，在网格中求四边形的面积．（1）分别作出各顶点的对应点，依次连接即可解答；（2）运用割补法即可解答．【详解】（1）解：如图，四边形A'B'C'D'为所求；102, （2）解：四边形A'B'C'D'的面积S=12×1×4+12×2+4×3=11．3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A−3,4,B−4,−2,C2,0,D2,3，且AB与x轴的交点E的坐标为−113,0，求这个四边形ABCD的面积．【答案】492【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作x轴的垂线BP，过点A，点B分别作y轴的垂线，分别与直线CD交于点H,Q，根据进行求解即可．【详解】解：如图，过点B作x轴的垂线BP，过点A，点B分别作y轴的垂线，分别与直线CD交于点H,Q，∵A−3,4,B−4,−2,C2,0,D2,3，∴，∴，，102,∴．题型十一 利用找规律法求运动中点的坐标例11.（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(−1,0)运动到点(0,1)，第2次运动到点(1,0)，第3次运动到点(2,−2)，…，按这样的运动规律，动点P第2024次运动到达的点的坐标为（ ）A．(2022,0)B．(2023,0)C．(2022,1)D．(2024,−2)【答案】B【分析】本题考查点的坐标规律探究．根据已知点的坐标，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．据图可以得出动点P的纵坐标按照1,0,−2,0，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，进行求解即可．【详解】解：由图可知：动点P的纵坐标按照1,0,−2,0，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，∵2024÷4=506，∴动点P第2024次运动后的纵坐标为0，横坐标为2024−1=2023，∴动点P第2024次运动到点2023,0；故选：B．巩固训练1.（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，102,△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C，△ABC与△A1B1C组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若△AmBnCk是这组图形中的一个三角形，当n=2024时，点Am的横坐标是（ ）A．2023B．2022C．4048D．4046【答案】D【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键．【详解】由图可知：A12,2，A26,2，A310,2，⋯，Am4m−2,2，B11,0，B23,0，B35,0，B47,0，⋯，Bn2n−1,0，又C14,0，C28,0，C312,0，⋯，Ck4k,0，当n为偶数时，A1与B2横坐标相差1，即A1横坐标+1=B2横坐标，与B4横坐标相差1，即横坐标+1=B4横坐标，A3与B6横坐标相差1，即A3横坐标+1=B6横坐标，A4与B8横坐标相差1，即A4横坐标+1=B8横坐标，⋯，A1012与横坐标相差1，即A1012横坐标+1=B2024横坐标，∴4×1012−2=4046，即A10124046,2，故选：D．2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知A−1,2，C1,−1．点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第一次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，……，则M2024的坐标为是（ ）102,A．1,0B．0,−1C．−1,0D．−1,2【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系上点的坐标规律，求出长方形ABCD的周长为2+3×2=10，设经过t秒，P，Q第一次相遇，则点P走的路程为2t，点Q走的路程为3t，根据题意列出方程，求出相遇各点坐标，得出规律，即可得出答案．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知A−1,2，C1,−1．∴B−1,−1，D1,2，∴AD=BC=2，AB=CD=3，∴长方形ABCD的周长为：2+3×2=10，设经过t秒，P，Q第一次相遇，则点P走的路程为2t，点Q走的路程为3t，由题意得：2t+3t=10，解得：t=2，∴当t=2时，P，Q第一次相遇，此时相遇点M1的坐标为1,0，当t=4时，P，Q第二次相遇，此时相遇点M2的坐标为−1,0，当t=6时，P，Q第三次相遇，此时相遇点M3的坐标为1,2，当t=8时，P，Q第四次相遇，此时相遇点M4的坐标为0,−1，当时，P，Q第五次相遇，此时相遇点M5的坐标为−1,2，当t=12时，P，Q第六次相遇，此时相遇点M6的坐标为1,0，…，∴五次相遇为一循环，∵2024÷5=404…4，∴M2024的坐标为是0,−1，故选：B．3．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点A10,1，A21,0，A32,0，A40,2，A50,3，A63,0，A74,0，A80,4，…，按此规律，则点A2024102,的坐标是（ ）A．0,1011B．C．0,1012D．1012,0【答案】C【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键．根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4×505+3，故点A2024是第506组的第4个点，则A2024在y轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012．【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，第1组：A10,1，A21,0，A32,0，A40,2，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2×1−1，2=2×1；第2组：A50,3，A63,0，A74,0，A80,4，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，3=2×2−1，4=2×2；……以此类推，2024=4×506，则点A2024是第506组的第4个点，则A2024在y轴上，其非零坐标即横坐标为1012，故点A2024的坐标是(0,1012)，故选：C．题型十二 点在坐标系中的平移例12.（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点P(2,−3)向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（ ）A．(1,1)B．−1，1C．(1,−1)D．【答案】B102,【分析】本题考查了坐标与图形的变化．根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解．【详解】解：点P2,−3向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是2−3，−3+4，即−1，1．故选：B．巩固训练1.（23-24七年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，直线l经过A−1,2，B1,−1两点．现将直线l平移，使点A到达点1,−3处，则点B到达的点是（ ）A．3,−6B．−3,3C．2,−3D．4,−4【答案】A【分析】本题主要考查图形的平移，由点A−1,2平移后1,−3可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标．【详解】解：由点A−1,2平移后1,−3可得坐标的变化规律是：横坐标加2，纵坐标减5，∴点B1,−1的对应点的坐标为3,−6．故选：A．3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，若将点P−3,1向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，则得到的点P'的坐标是（ ）A．1,6B．−7,−4C．1,−3D．−7,6【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可得到平移后的坐标．【详解】解：将点P−3,1向左平移4个单位长度，得到−3−4,1=−7,1，再向上平移5个单位长度后得到：−7,1+5=−7,6，故选：D．4．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如果将点A3,m+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得n−4,6，则（ ）A．m=1，n=9B．m=6，n=10C．m=6，n=9D．m=2，n=10【答案】D【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得102,3+3=n−4，m+2+2=6，解之即可得到答案．【详解】解：∵将点A3,m+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得n−4,6，∴3+3=n−4，m+2+2=6，∴m=2，n=10，故选：D．题型十三 图形在坐标系中的平移例13.（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为3,0，0,2，若将线段AB平移至CD，则a+b的值为（ ）．A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．利用平移中点的变化规律得到4−3=a−0，b−0=3−2，算出a、b的值，进而求解即可．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为3,0，0,2，C4,b，Da,3∵将线段AB平移至CD，∴4−3=a−0，b−0=3−2，∴a=1，b=1∴a+b=2．故选A．巩固训练1.27．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示，△A'B'C'是由△ABC平移得到的，若A(−3，0)，B(−4，−2)，C(0，−2)，A'(m,3.5),B'(0,n)，则m+n的值为（ ）102,A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】A【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．判断出m,n的值即可解决问题．【详解】解：由平移变换的性质可知△A'B'C'是由△ABC向上平移3.5个单位，向右平移4个单位得到，故A'(1,3.5),B'(0,1.5)．∴m=1,n=1.5，∴m+n=2.5，故选：A．2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是−2,3，右眼B的坐标为0,3，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（ ）A．3,0B．−2,1C．1,3D．2,1【答案】D【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题．【详解】解：∵左眼A的坐标是−2,3，右眼B的坐标为0,3，102,∴嘴唇C的坐标为−2+02,3−2，即−1,1，又∵将此“QQ”笑脸向右平移3个单位，∴将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是2,1，故选：D．3．（22-23七年级下·四川绵阳·期中）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B、A'、B'，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点Pa,b，则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ） A．a−2,b+3B．a−2,b−3C．a+2,b+3D．a+2,b−3【答案】A【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减．【详解】解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，∴Pa−2,b+3，故选：A．题型十四 利用平移坐标系比较其坐标变化规律例14.（22-23八年级上·全国·课后作业）如图102,(1)分别求出点A，A'和点B，B'的坐标，并比较A与A'，B与B'之间的坐标变化．(2)图甲怎样平移到图乙？【答案】(1)A(−8,−1),A'(−3,4)，B(−3,−1),B'(2,4)，由A到A'，横坐标增加5，纵坐标增加5；由B到B'，横坐标增加5，纵坐标增加5(2)一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位．【分析】（1）比较点A，A'和点B，B'的横纵坐标即可得出答案；（2）根据图形结合平面直角坐标系的平移规律进行解答即可．【详解】（1）解：点A，A'的坐标分别为A(−8,−1),A'(−3,4)；点B，B'的坐标分别为B(−3,−1),B'(2,4)．由A到A'，横坐标增加5，纵坐标增加5；由B到B'，横坐标增加5，纵坐标增加5；（2）由第（1）题知，A，B都向右平移5个单位，向上平移5个单位．从图甲到图乙，可以看作经过了两次平移：一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位．【点睛】本题考查了坐标与图形－平移，熟知平面直角坐标系中点的平移规律为“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解本题的关键．巩固训练1.（20-21七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图，P为三角形ABC内一点，P的坐标为(a,b)102,(1)平移三角形ABC，使C点与原点重合，请画出平移后的三角形A'B'C'(2)直接写出A,B,P的对应点A',B',P'的坐标；并写出平移的规律．A'（，）；B'（，）；P'（，）；(3)求三角形ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)；先向左平移1个单位，再向下平移2个单位(3)【分析】（1）根据题可得△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，即可求解；（2）根据平移的规律，即可求解；（3）利用△ABC所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解．【详解】（1）解：∵平移三角形ABC，使C点与原点重合，点C（1，2），∴△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，如图，△A'B'C'即为所求．102,（2）解：由（1）得：△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，∵点A（4，3），B（2，-1），，∴点，（3）解：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(2,22)，B(5,22)，C(5,2)，．将这个长方形向下平移22个单位长度，得到长方形A'B'C'D'，则平移后的顶点坐标正确的是（ ）A．A'(2,42)B．B'(5,0)C．C'(5,22)D．D'(2,−22)【答案】B【分析】本题考查坐标的平移．点的左右平移与点的横坐标有关，左减右加；点的上下平移与点的纵坐标有关，上加下减．【详解】解：∵长方形ABCD向下平移22个单位长度，得到长方形A'B'C'D'，A'2,0，B'(5,0)，C'(5,−2)，D'(2,−2)，故选：B．3．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题：102, (1)分别写出点A与A1，点B与B1，点C与C1的坐标；(2)若点P（2x，2y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为，求x，y的值．【答案】(1)A（1，2），B（2，1），C（3，3），A1(−2,−1)，B1(−1,−2)，(2)x=3y=3【详解】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），A1(−2,−1)，B1(−1,−2)，．（2）平移后的横坐标为-3＋2x，纵坐标为-3＋2y，∴由题意，得−3+2x=y,−3+2y=x解得x=3,y=3.题型十五 利用坐标的变化确定平移方式例15.（23-24七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，将点A−2,3平移到点B−2,−2处，正确的移动方法是（ ）A．向右平移5个单位长度B．向左平移5个单位长度C．向下平移5个单位长度D．向上平移5个单位长度【答案】C【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法．【详解】解：∵3−5=−2，∴平移方法为将点A−2,3向下平移5个单位长度到点B−2,−2处．故选：C．102,巩固训练1.（23-24七年级下·吉林四平·期末）如果将平面直角坐标系中的点平移到点(a,b)的位置，那么下列平移方法中正确的是（ ）A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度【答案】C【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减，据此即可作答．【详解】解：∵将平面直角坐标系中的点平移到点(a,b)的位置，∴a−3+3=a,b+2−2=b∴平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度故选：C2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A−2,4，B−5,2，C−1,0．将△ABC平移后得到△A1B1C1且点A的对应点是A13,1，点B，C的对应点分别为B1，C1．(1)说明△A1B1C1是由△ABC经过怎样平移得到的？(2)写出B1，C1的坐标并画出△A1B1C1．【答案】(1)向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的（答案不唯一）(2)B1的坐标为0,−1，C1的坐标为4,−3，作图见解析【分析】本题考查图形平移、点的平移、平移作图等知识，熟记点的平移、图形平移是解决问题的关键．102,（1）由题中A−2,4与A13,1即可得到图形的平移方式；（2）由（1）的平移方式作出图形，数形结合即可得到B1，C1的坐标．【详解】（1）解：∵点A−2,4的对应点是A13,1，∴点A向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到点A1，∴△A1B1C1是由△ABC向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的；（2）解：由（1）的平移方式，画出△A1B1C1如图所示：B1的坐标为0,−1，C1的坐标为4,−3．3．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为−5,6和−1,2．(1)画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标；(2)将正方形ABCD平移，使4个顶点到原点的距离相等，画出平移后的正方形EFGH，并写出平移方式．【答案】(1)作图见解析，B−5,2，D−1,6；(2)作图见解析，把正方形ABCD先向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到正方形A'B'C'D'【分析】本题考查了平移作图，在坐标系中描点，平移的性质；（1）利用点A和点C的坐标建立平面直角坐标系，从而得到B、D点的坐标；（2）利用正方形的性质得到平移后的正方形的中心为坐标原点，然后画出平移的正方形，从而得到平移的方向与距离．【详解】（1）解：如图，B−5,2，D−1,6；（2）如图，把正方形ABCD先向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到正方形A'B'C'D'．102,题型十六 利用平移建立坐标系确定点的坐标例16.（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形AOCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.(1)建立以O为原点，AO边所在直线为x轴的平面直角坐标系，并写出点C的坐标；(2)求出四边形AOCD的面积；(3)请画出将四边形AOCD向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形A'O'C'D'．【答案】(1)画图见解析，C2,2(2)9(3)画图见解析【分析】此题考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键．（1）按照要求建立平面直角坐标系，根据建立的坐标系写出点C的坐标即可；（2）根据四边形AOCD的面积=S△AOD+S△COD求出面积即可；（3）按照平移规律找出A、O、C、D平移后的对应的A'、O'、C'、D'，再依次连接即可．102,【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下图：由图可得：点C的坐标为2,2；（2）解：由图可得：四边形AOCD的面积=S△AOD+S△COD=12×4×3+12×3×2=9；（3）解：如图所示，四边形A'O'C'D'即为所求．巩固训练1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC．102,(1)在网格中画出三角形ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；(2)若以EF所在直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出A1，B1两点的坐标．【答案】(1)见解析(2)A18,2，B15,4【分析】本题考查了平移作图，点坐标等知识．熟练掌握平移作图，点坐标是解题的关键．（1）由平移的性质作图即可；（2）根据题意建立平面直角坐标系，进而可得点坐标．【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，△A1B1C1即为所作； 图1（2）解：建立平面直角坐标系如图2， 图2∴A18,2，B15,4．2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为6，2，3，−1．102,(1)在网格图中建立平面直角坐标系xOy，标出点B关于x轴的对称点C，并写出点C的坐标；(2)平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D的坐标；(3)若x轴上存在一点P，使得S△PAB=3，直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析，C3,1(2)见解析，D0,−2(3)点P的坐标为2,0或6,0【分析】本题主要考查平面直角坐标系中坐标与图形，平移等知识；（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得点C的坐标．（2）根据平移的性质作图，即可得出答案．（3）设点P的坐标为m，0，根据题意可列方程为12m−4×1+12m−4×2=3=3，求出m的值即可．【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系xOy、点C即为所求．由图可得，C3,1．（2）由题意知，线段AB是向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到的线段CD，如图，线段CD即为所求．102,由图可得，D0,−2．（3）设线段AB与x轴交于点E，可知E4，0．设点P的坐标为m，0，∴12m−4×1+12m−4×2=3，解得m=2或6，∴点P的坐标为2,0或6,0．3．（23-24七年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形ABC的三个顶点均在格点上，点A的坐标为−4,3．(1)将三角形ABC向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到三角形A'B'C'，请画出三角形A'B'C'，并写出B'，C'的坐标；(2)连结AA'，CC'，直接写出AA'与CC'的位置关系．【答案】(1)作图见解析，B'−7,−4，C'−4,5(2)AA'∥CC'102,【分析】本题考查作图—平移变换，坐标与图形，（1）根据题意画出平面直角坐标系，根据平移的性质分别确定A、B、C的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；（2）根据平移性质即可得出结论；解题的关键是掌握平移的性质：①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；③连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，B'−7,−4，C'−4,5；（2）AA'与CC'位置关系为：AA'∥CC'．102</a<4，题型八></a<4【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．（1）根据点在x轴上，横坐标为0解题即可；（2）根据点在第四象限，即满足2a+3></a<3，故答案为：−3<a<3．102,巩固训练1．36．（23-24七年级下·吉林白城·期末）点a2y+7,y−1在第二、四象限的角平分线上，则y=．【答案】−2【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数．根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解．【详解】∵点a2y+7,y−1在第二，四象限夹角平分线上，∴2y+7+y−1=0，解得：y=−2．故答案为：−2．2．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）已知点p4,2a+10：（1）若点p在x轴上，则a=；（2）若点p到x轴、y轴的距离相等，则a．【答案】−5−3或−7></a<3【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．【详解】解：∵点p2a+6,a−3在第四象限，∴2a+6></a<4，题型八></a<4【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．（1）根据点在x轴上，横坐标为0解题即可；（2）根据点在第四象限，即满足2a+3></a<3，故答案为：−3<a<3．102,巩固训练1．36．（23-24七年级下·吉林白城·期末）点a2y+7,y−1在第二、四象限的角平分线上，则y=．【答案】−2【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数．根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解．【详解】∵点a2y+7,y−1在第二，四象限夹角平分线上，∴2y+7+y−1=0，解得：y=−2．故答案为：−2．2．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）已知点p4,2a+10：（1）若点p在x轴上，则a=；（2）若点p到x轴、y轴的距离相等，则a．【答案】−5−3或−7></a<3【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限−，+；第三象限−，−；第四象限+，−．【详解】解：∵点p2a+6,a−3在第四象限，∴2a+6>
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