第一章 有理数知识归纳与题型突破（21类题型清单）（2024年秋 沪科版）

第一章有理数知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数.负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.68 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.二、有理数1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．(3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．三、有理数的运算1、法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②68 正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac四、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．五、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．03题型归纳题型一　正数和负数例1.（24-25七年级上·全国·假期作业）下列语句中正确的有(     )个．①不带“−”号的数都是正数；②如果a是正数，那么−a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0°C表示没有温度．A．1B．2C．3D．468 巩固训练1．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：5，−57，−3，0，−25.8，+2，负数有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2024·江苏常州·一模）下列实数中，负数是（    ）A．πB．−1.5C．D．20243．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知下列各数：−23，−212，3.14，0，0.2，−216，6，12，其中正数有；负数有．题型二　具有相反意义的量例2．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作℃．巩固训练1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）中国历史上刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果收入5000元记作+5000元，那么支出2000元记作元．2．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ）A．上升了6米和后退了7米B．卖出10斤米和盈利10元C．收入20元与支出30元D．向东行30米和向北行30米3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　）A．借贷5万元与还贷6万元B．高出海平面8888米与低于海平面188米C．亏损2万元与盈利8万元68 D．增产10吨粮食与减产−10吨粮食题型三　正数和负数的分界数例3.（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　）①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．A．2B．3C．4D．5巩固训练1．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有（  ）①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．A．2个B．3个C．4个D．5个2．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线．3．（2022七年级上·全国·专题练习）0既不是，也不是．0是和的分界点．题型四　有理数及其相关概念例4.（2024·重庆·一模）以下各数是有理数的是（    ）A．−33B．πC．D．巩固训练1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（   ）68 A．−3是负有理数B．0不是整数C．是正有理数D．−0.15是负分数2．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列说法中，正确的是（    ）A．整数和分数统称有理数B．有理数a一定是正数C．有理数分为正数和负数D．自然数就是正整数3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）对于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（    ）甲：有理数不是正有理数就是负有理数；乙：有理数不是整数就是分数；丙：一个分数不是正的就是负的．A．甲对乙错B．甲错丙对C．乙错丙对D．乙对丙错题型五　有理数的分类例5.（23-24七年级下·福建福州·期末）把下列各数填在相应的大括号里：5，14，−3，，0，2010，−35，6.2，．正数：{                         ⋯}；负数：{                                ⋯}；非负整数：{                         ⋯}；整数：{                              ⋯}；分数：{                            ⋯}；负分数：{                              ⋯}．巩固训练1．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各数填入相应的集合内．−10，8，，334，−10%，3101，2，0，3.14，−67，37，，，0.3080080008…正数集合{　　　　　　　　　　　…}；负数集合{　　　　　　　　　　　…}；68 整数集合{　　　　　　　　　　　…}；分数集合{　　　　　　　　　　　…}．2．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）将下列各数填入相应的大括号内．5，−2，−0.3，−23，0，π，5.7，112，102，−17正数集合：{______…}；负数集合：{______…}；整数集合：{______…}；分数集合：{______…}．3．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中．−10，−6.5，212，0，6.5，−12，6，−6.2%，0.6•，3.14159，π(1)整数集合：｛           …｝(2)分数集合：｛        …｝(3)非负数集合：｛       …｝(4)非正数集合：｛      …｝(5)正有理数集：｛       …｝题型六　数轴的三要素例6．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法错误的是（    ）A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度B．一个有理数的绝对值一定不是负数C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等D．一个数的相反数一定是负数巩固训练1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ）A．B．C．68 D．2．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图各图中，表示的数轴正确的是（    ）A．B．C．D．3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）我们把规定了、、的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是数，原点右边的点表示的数都是数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．题型七　用数轴上的点表示有理数例7.（2024·吉林长春·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数是（    ）A．−2B．0C．1D．2巩固训练1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ）A．−3B．1C．2D．32．（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且OA=OB，若AB=4，那么点A表示的数是（　　）A．4B．−4C．2D．−268 3．（2024·吉林白城·一模）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ）A．−72B．−52C．72D．52题型八　数轴上两点之间的距离例8.（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上表示数−1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（    ）A．2019B．2020C．2021D．2022巩固训练1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个点，A在B的左边，并且这两点的距离为6，则点A所表示的数是（    ）A．−3B．3C．6D．−62．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）数轴上表示数−5的点和原点的距离表示为（    ）A．−5B．−5C．−15D．153．（23-24七年级上·海南海口·期末）数轴上表示数−12和表示数−4的两点之间的距离是（   ）A．-8B．8C．−16D．16题型九　数轴上点的运动例9.（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ）A．B．1C．−3D．368 巩固训练1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）A．0.5B．C．−2D．−32．（23-24七年级上·河南信阳·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（   ）.A．π−1B．−π−1C．−π+1或−π−1D．π−1或−π−13．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是−2．参照图中所给的信息，完成填空：已知A，B都是数轴上的点．  （1）若点A表示数−3．将点A向右移动5个单位长度至点A1．则点A1表示的数是；（2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动92个单位长度至点，则点表示的数是；（3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是．68 题型十　相反数的定义与性质例10.（23-24六年级下·全国·假期作业）−−56的相反数是．巩固训练1．（2024·江苏镇江·二模）若a与−12互为相反数，则a的值为．2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若2m+1与−2互为相反数，则m的值为．3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若3x−2与y−32互为相反数，则xy=．题型十一　多重符号的化简例11.（2024·江苏泰州·二模）下列计算正确的是（   ）A．−−2=−2B．C．D．++2=−2巩固训练1．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　）A．+−6与−+6B．−−4与−−4C．−−4.5与−+4．5D．−−8与−+82．（2023·广东东莞·一模）−+2的化简结果（    ）A．2B．0C．−12D．−2题型十二　绝对值的定义与性质例12.（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简−a+b−c68 的结果为（）A．−a+b−cB．C．a+b−cD．巩固训练1．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　）A．a=aB．b=−bC．a+b=a+bD．a−b=b−a2．（2023·重庆渝北·一模）已知实数a，b，c满足a+b−c=a−b−c，且b≠0，则下列说法中，正确的个数是（    ）①a>c；②b<0；③化简a−b−c+22−b−32=2；A．0B．1C．2D．33．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（    ）A．1B．2C．3D．4题型十三　绝对值的应用例13.（2024七年级·全国·竞赛）已知9≤a≤10，3≤b≤4，代数式x−a+x−b的最小值为．巩固训练1．（22-23七年级上·四川眉山·期中）在数轴上表示出下列各数，并用“<”连接．−4.5，312，−−2，−(−5)，113，68 2．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作a−b，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为5−7=2根据以上材料回答下列问题：(1)若x−2=3，则x=______，x−4=x+2，则x=______(2)若x−3+x+2=5，则x能取到的最小值是______，最大值是______(3)若x−3+x+2=9，则x的值为多少？3．（23-24七年级上·山东临沂·期中）【阅读】5−2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；6+3可以看作6−−3，表示6与−3的差的绝对值，也可理解为6与−3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】(1)若，则x=；(2)利用数轴，若x−2+x+3=5，找出所有符合条件的整数x；(3)由以上探索，对于有理数x，使x−2+x+3=9，写出符合条件的x的值．4．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为2−3=1，2与−3的距离可表示为2−−3(1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是　　；数轴上表示−3和−9的两点之间的距离是　　；(2)数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是　　；如果AB||，则x为　　；(3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简a+c−c+b+a−b．(4)当代数式取最小值时，x的值为　　．68 题型十四　有理数的大小比较例14.（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小：(1)−25与−0.5；(2)−179与−134；(3)−−3.5与−−−314；(4)−−6.5与−−6.5．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较大小：把下列数−−1，−89，−−910，0，用“>”连接．2．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列各数的大小，写出比较过程．(1)89和1112；(2)−35和−611；(3)−−2.25和−2.5．3．（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）在数轴上表示出：0,−1.4,−3,15；（2）将（1）中各数用“<”连接起来；（3）将（1）中各数的相反数用“<”连接起来；（4）将（1）中各数的绝对值用“<”连接起来．题型十五　有理数的加减法运算例15.（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．(1)−248+433+−752+−433；(2)−0.8+1.2+−0.7+−2.1+0.8+3.5．68 巩固训练1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)137+−123；(2)−1.25+2.25+7.75+−8.75．2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法．计算：．解：原式=−5+−56+−9+−23+17+34+−3+−12=−5+−9+17+−3+−56+−23++34+−12=0+−54=−54上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：−202156+404323+−202223+156．3．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：−2022724+−202158+−116+4044．题型十六　有理数的乘、除法法则的运用例16.（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）用简便方法计算下面各题．(1)417×24+417×9+417(2)2019×20192020巩固训练1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算：1×100+2×99+3×98+4×97+5×96+···+100×1．68 2．（23-24七年级上·西藏林芝·开学考试）脱式计算，能简算的要简算．(1)0.9×58+110÷85；(2)；(3)；(4)．3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：．解：方法一：原式=−115÷315−515=−115÷−215=12．方法二：原式的倒数为：15−13÷−115=15−13×−15=15×−15−13×−15=−3+5=2故原式=12．用适当的方法计算：−130÷23−110+16−25．题型十七　倒数的性质例17.（2024·内蒙古包头·中考真题）若m,n互为倒数，且满足，则n的值为（    ）A．14B．12C．2D．4巩固训练1．（2024年江苏省无锡市中考真题试题）4的倒数是（    ）A．14B．−4C．2D．±22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）−−2025的倒数是（　　）A．12025B．2025C．D．−1202568 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列各数的倒数．(1)−34；(2)223；(3)−1.25；(4)5题型十八　有理数的乘方运算例18.（2024·安徽滁州·三模）−12024等于（    ）A．B．1C．−2024D．2024巩固训练1．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算：−−22=，，−223=．2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：(a⋅b)2=a2⋅b2，(a⋅b)3=a3⋅b3，(a⋅b)4=a4⋅b4，(a⋅b)5=a5⋅b5…解答下列问题：(1)猜想：(a⋅b)n=_____．(2)计算：−0.1252022×22021×42000．3．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：①3×52与；    ②−2×32与−22×32；（2）根据以上计算结果想开去：ab3等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求−42022×0.252023的值．68 题型十九　有理数的混合运算的应用例19.（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算：(1)−312++67+−0.5++117；(2)−57×−43÷−2 17；(3)1−16+34×−48；(4)用简便方法计算：−191516×8；(5)计算：−1×−4+22+7−5．巩固训练1．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）447÷212−1911−913×521×134．2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算，能简算的要简算．(1)；(2)2419+1617×18+1517；(3)1−16+34−712；(4)1999×1999−2000×1998；(5)15×8+18×11+···+198×101．3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）计算：(1)−12+14×−23+−32(2)−14×4−−32+3÷−3468 题型二十　科学计数法的应用例20.（2024年山东省潍坊市中考真题试题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（    ）A．B．C．1.267×107D．巩固训练1．（2024·甘肃金昌·模拟预测）粮食安全是“国之大者”．习总书记强调，“要始终把保障国家粮食安全摆在首位，加快实现农业农村现代化，提高粮食综合生产能力，确保平时产得出、供得足，极端情况下顶得上、靠得住．”国家统计局数据显示，2023年我国粮食总产量1.39万亿斤，将1.39万亿用科学记数法表示为（    ）A．1.39×1010B．1.39×1011C．1.39×1012D．13.9×10112．（23-24九年级上·山东青岛·开学考试）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　）A．29.06×108B．2.906×108C．29.06×109D．2.906×1093．（2024·山东济南·模拟预测）章丘大葱，是山东省济南市章丘区特产，全国农产品地理标志．2023年11月10日，中国•章丘大葱文化旅游节上，一颗长度为2.586米大葱，再次创造了新的世界吉尼斯大葱高度记录．章丘大葱成为了章丘农业文明的重要标志，品牌价值已达52.91亿元，成为拉动区域经济发展、带动农民增收致富的支柱产业．将52.91亿元用科学记数法表示为（     ）A．52.9×108元B．5.29×108元C．0.529×109元D．5.29×109元题型二十一　近似数的应用例21.（23-24七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数a的范围是（）A．0.265≤a<0.275B．0.2695≤a<0.2705C．0.25≤a<0.28D．0.2695≤a≤0.270568 巩固训练1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到十分位）B．0.05（精确到百分位）C．0.05（精确到0.001）D．0.0502（精确到0.0001）2．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）下列各数精确到0.01的是（   ）A．0.6925≈0.693B．8.029≈8.0C．4.1974≈4.20D．2.536≈2.533．（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　）①近似数7.4与7.40是一样的②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0④由四舍五入法得到的近似数5.40×105精确到千分位，有3个有效数字A．4个B．3个C．2个D．1个68 第一章有理数知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数.负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.68 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.二、有理数1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．(3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．三、有理数的运算1、法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②68 正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac四、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．五、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．03题型归纳题型一　正数和负数例1.（24-25七年级上·全国·假期作业）下列语句中正确的有(     )个．①不带“−”号的数都是正数；②如果a是正数，那么−a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0°C表示没有温度．A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】本题主要考查正数与负数．根据正数与负数的性质及意义可求解．68 【详解】解：①0不带“−”号但不是正数，故原说法错误；②如果a是正数，那么−a一定是负数，故正确；③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误；④0°C表示温度为0度，故原说法错误．故正确的有1个．故选：A．巩固训练1．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：5，−57，−3，0，−25.8，+2，负数有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．【详解】解：5>0，是正数；−57<0，是负数；，是负数；0既不是正数，也不是负数；，是负数；+2>0，是正数；∴负数有−57，−3，−25.8，共3个．故选：C．2．（2024·江苏常州·一模）下列实数中，负数是（    ）A．πB．−1.5C．D．2024【答案】B【分析】本题主要考查实数的基本概念，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．根据负数的概念得出结论即可．【详解】解：A、π是正数，故本选项不符合题意；B、−1.5是负数，故本选项符合题意；68 C、是正数，故本选项不符合题意；D、2024是正数，故本选项不符合题意．故选：B．3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知下列各数：−23，−212，3.14，0，0.2，−216，6，12，其中正数有；负数有．【答案】3.14，0.2，6，12−23，−212，−216【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题．根据正数与负数的特征可判定求解．【详解】解：在−23，−212，3.14，0，0.2，−216，6，12中，正数3.14，0.2，6，12；负数有−23，−212，−216．故答案为：3.14，0.2，6，12；−23，−212，−216，题型二　具有相反意义的量例2．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作℃．【答案】−2【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作−2℃．，故答案为：−2．巩固训练1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）中国历史上刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果收入5000元记作+5000元，那么支出2000元记作元．【答案】−2000【分析】本题考查了相反意义的量，根据题意收入记作正，则支出记作负，即可得出答案．【详解】解：收入5000元记作+5000元，那么支出2000元记作−2000，68 故答案为：−2000．2．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ）A．上升了6米和后退了7米B．卖出10斤米和盈利10元C．收入20元与支出30元D．向东行30米和向北行30米【答案】C【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题．【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意；B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意；C.是一对具有相反意义的量，符合题意；D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意．故本题选：C．3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　）A．借贷5万元与还贷6万元B．高出海平面8888米与低于海平面188米C．亏损2万元与盈利8万元D．增产10吨粮食与减产−10吨粮食【答案】D【分析】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．根据正负数表示相反意义的量，可得答案．【详解】解：A、借贷5万元与还贷6万元是具有相反意义的量，故A不符合题意；B、高出海平面8888米与低于海平面188米，具有相反意义的量，故B不符合题意；C、亏损2万元与盈利8万元，具有相反意义的量，故C不符合题意；D、增产10吨粮食与减产−10吨粮食，因为减产−10吨粮食相当于增产10吨粮食，所以是不具有相反意义的量，故D符合题意；故选：D．题型三　正数和负数的分界数例3.（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　）①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤68 0是自然数．A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答．【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确；②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误，③可以表示特定的意义，如0℃，故④正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误；⑤0是自然数，故⑤正确；综上所述，正确的有①③⑤，共3个，故选：B．巩固训练1．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有（  ）①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键．【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确；0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确；0是自然数，故③正确；存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误；0既是整数也是偶数，故⑤正确；故选：C．2．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线．【答案】0【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．根据有理数的分类可求解．【详解】解：0既不是正数，也不是负数．故答案为：0．68 3．（2022七年级上·全国·专题练习）0既不是，也不是．0是和的分界点．【答案】正数/负数负数/正数正数/负数负数/正数【分析】根据0的意义求解即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点，故答案为：正数；负数；正数；负数．【点睛】本题主要考查了0的意义，熟知0的意义是解题的关键．题型四　有理数及其相关概念例4.（2024·重庆·一模）以下各数是有理数的是（    ）A．−33B．πC．D．【答案】D【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义逐一判断即可求解，熟记：“整数和分数统称为有理数”是解题的关键．【详解】解：−33、π、是无理数，则A、B、C不符合题意，是有理数，则D符合题意，故选D．巩固训练1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（   ）A．−3是负有理数B．0不是整数C．是正有理数D．−0.15是负分数【答案】B【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，逐一判断即可解答．【详解】解：A、−3是负有理数，故A不符合题意；B、0是整数，故B符合题意；C、是正有理数，故C不符合题意；D、−0.15是负分数，故D不符合题意；68 故选：B．2．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列说法中，正确的是（    ）A．整数和分数统称有理数B．有理数a一定是正数C．有理数分为正数和负数D．自然数就是正整数【答案】A【分析】本题考查的是有理数的概念与分类，自然数的含义，根据定义逐一分析即可判断．【详解】解：整数和分数统称有理数，故A符合题意；有理数a可以是正数，0，负数，故B不符合题意；有理数分为正数和负数与0，故C不符合题意；自然数就是非负整数，故D不符合题意；故选A3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）对于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（    ）甲：有理数不是正有理数就是负有理数；乙：有理数不是整数就是分数；丙：一个分数不是正的就是负的．A．甲对乙错B．甲错丙对C．乙错丙对D．乙对丙错【答案】B【分析】本题考查了有理数概念与分类，根据有理数的分类可得答案．【详解】解：甲：有理数不是正有理数就是负有理数，还有0，故甲错误；乙：有理数不是整数就是分数，故乙正确；丙：一个分数不是正的就是负的，故丙正确．故选：B．题型五　有理数的分类例5.（23-24七年级下·福建福州·期末）把下列各数填在相应的大括号里：5，14，−3，，0，2010，−35，6.2，．正数：{                         ⋯}；负数：{                                ⋯}；非负整数：{                         ⋯}；68 整数：{                              ⋯}；分数：{                            ⋯}；负分数：{                              ⋯}．【答案】5，14，2010，6.2；−3，，−35，；5，0，2010；5，−3，0，2010，−35，；14，，6.2；．【分析】本题考查了正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是正确理解正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义．【详解】正数：{5，14，2010，6.2⋯}；负数：{−3，，−35，⋯}；非负整数：{5，0，2010⋯}；整数：{5，−3，0，2010，−35，⋯}；分数：{14，，6.2⋯}；负分数：{⋯}；故答案为：5，14，2010，6.2；−3，，−35，；5，0，2010；5，−3，0，2010，−35，；14，，6.2；．巩固训练1．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各数填入相应的集合内．−10，8，，334，−10%，3101，2，0，3.14，−67，37，，，0.3080080008…正数集合{　　　　　　　　　　　…}；负数集合{　　　　　　　　　　　…}；整数集合{　　　　　　　　　　　…}；分数集合{　　　　　　　　　　　…}．【答案】见解析【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负有理数；整数分为正整数、0、负整数．根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负数、整数、分数．68 【详解】正数集合{8，334，3101，2，3.14，37，，0.3080080008…　…}；负数集合{−10，，−10%，−67，…}；整数集合{−10，8，2，0，−67，…}；分数集合{，334，−10%，3101，3.14，37，…}．2．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）将下列各数填入相应的大括号内．5，−2，−0.3，−23，0，π，5.7，112，102，−17正数集合：{______…}；负数集合：{______…}；整数集合：{______…}；分数集合：{______…}．【答案】5，π，5.7，112，102；−2，−0.3，−23，−17；5，−2，0，102，−17；−0.3，−23，5.7，112．【分析】本题考查有理数，熟练掌握有理数的定义是解题关键．根据有理数的定义进行分类即可．【详解】解：正数集合有：5，π，5.7，112，；负数集合有：−2，−0.3，−23，−17；整数集合有：5，−2，0，，−17；分数集合有：−0.3，−23，5.7，112；3．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中．−10，−6.5，212，0，6.5，−12，6，−6.2%，0.6•，3.14159，π(1)整数集合：｛           …｝(2)分数集合：｛        …｝(3)非负数集合：｛       …｝(4)非正数集合：｛      …｝(5)正有理数集：｛       …｝【答案】(1)−10，0，6，(2)−6.5，212，6.5，−12，−6.2%，0.6•，3.1415968 (3)212，0，6.5，6，0.6•，3.14159，π(4)−10，−6.5，0，−12，−6.2%(5)212，6.5，6，0.6•，3.14159【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．根据整数、分数、非负数、正有理数以及负数的定义进行判断即可．【详解】（1）解：整数集合：｛−10，0，6，…｝故答案为：−10，0，6；（2）解：分数集合：｛−6.5，212，6.5，−12，−6.2%，0.6•，3.14159，…｝故答案为：−6.5，212，6.5，−12，−6.2%，0.6•，3.14159；（3）解：非负数集合：｛212，0，6.5，6，0.6•，3.14159，π…｝故答案为：212，0，6.5，6，0.6•，3.14159，π；（4）解：非正数集合：｛−10，−6.5，0，−12，−6.2%，…｝故答案为：−10，−6.5，0，−12，−6.2%；（5）解：正有理数集：｛212，6.5，6，0.6•，3.14159，…｝故答案为：212，6.5，6，0.6•，3.14159；题型六　数轴的三要素例6．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法错误的是（    ）A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度B．一个有理数的绝对值一定不是负数C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等D．一个数的相反数一定是负数【答案】D【分析】此题考查了绝对值的性质，相反数的定义，数轴的定义．根据相反数的定义，绝对值的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解即可．68 【详解】解：A、数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，故本选项正确，不符合题意；B、一个有理数的绝对值是正数或零，一定不是负数，故本选项正确，不符合题意；C、互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确，不符合题意；D、一个负数的相反数正数，故本选项错误，符合题意．故选：D．巩固训练1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，逐一判断各选项，即可得到结论．【详解】解：A．没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意；B．有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意；C．没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意；D．单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意；故选：B．2．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图各图中，表示的数轴正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素，即可解答．【详解】解：如上图各图中，表示的数轴正确的是68 故选：C．3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）我们把规定了、、的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是数，原点右边的点表示的数都是数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．【答案】原点正方向单位长度负正【分析】根据数轴的定义即可求解．【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数．故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正．【点睛】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键．题型七　用数轴上的点表示有理数例7.（2024·吉林长春·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数是（    ）A．−2B．0C．1D．2【答案】A【分析】本题考查了数轴的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据数轴上的点与实数一一对应，看点M所在位置即可．【详解】∵数轴上的点与实数一一对应，∴数轴上点M表示的数是−2，故选A．巩固训练1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ）A．−3B．1C．2D．3【答案】B68 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．【详解】解：∵−3=3，1=1，2=2，3=3，1<2<3，∴与原点距离最近的是1，故选：B．2．（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且OA=OB，若AB=4，那么点A表示的数是（　　）A．4B．−4C．2D．−2【答案】D【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离．根据数轴可得OA=OB=2，进而即可求解．【详解】解：∵AB=4，OA=OB，∴OA=OB=2，∴点A表示的数为−2．故选：D．3．（2024·吉林白城·一模）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ）A．−72B．−52C．72D．52【答案】C【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断．【详解】解：由题意得，遮住的数在−4到−3之间，∴遮住的数的绝对值在3到4之间，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．题型八　数轴上两点之间的距离例8.（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上表示数−1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（    ）68 A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】D【分析】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．由数轴上表示数−1和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022．【详解】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为1+2021=2022，故选：D．巩固训练1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个点，A在B的左边，并且这两点的距离为6，则点A所表示的数是（    ）A．−3B．3C．6D．−6【答案】A【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离的表示方法，点A与点B到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵A，B表示互为相反数的两个点，两点的距离为6，∴点A和点B到原点的距离为3，∵A在B的左边，∴点A表示的数为−3，故选：A．2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）数轴上表示数−5的点和原点的距离表示为（    ）A．−5B．−5C．−15D．15【答案】B【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的意义，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．【详解】解：数轴上表示数−5的点到原点的距离表示为−5的绝对值，即−5，故选：B．3．（23-24七年级上·海南海口·期末）数轴上表示数−12和表示数−4的两点之间的距离是（   ）A．-8B．8C．−16D．1668 【答案】B【分析】本题考查的是数轴上两点距离，根据数轴上两点间的距离公式求解即可．【详解】解：∵数轴上两点分别用−12，−4表示，∴在数轴上表示数−12和表示数−4的两点之间的距离−4−−12=8．故选：B．题型九　数轴上点的运动例9.（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ）A．B．1C．−3D．3【答案】B【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数．【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1．故选B．巩固训练1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）A．0.5B．C．−2D．−3【答案】C【分析】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是−a．设A表示的数是a，根据题意得出方程a−3+7=−a，求出即可．【详解】解：设A表示的数是a，根据题意得：a−3+7=−a，解得：a=−2，即A点对应的数是−2．故选：C．68 2．（23-24七年级上·河南信阳·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（   ）.A．π−1B．−π−1C．−π+1或−π−1D．π−1或−π−1【答案】D【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，先求出圆的周长为π，点A沿数轴滚动1周滚动的路程为圆的周长，分向左和向右两种情况讨论即可解答，理解点A沿数轴滚动1周滚动的路程为圆的周长是解题的关键．【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度，∴这个圆的周长为π，∵该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，∴当圆沿数轴向左滚动一周时，点B所表示的数是−π−1；当圆沿数轴向右滚动一周时，点B所表示的数是，即π−1，故选：D．3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是−2．参照图中所给的信息，完成填空：已知A，B都是数轴上的点．  （1）若点A表示数−3．将点A向右移动5个单位长度至点A1．则点A1表示的数是；（2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动92个单位长度至点，则点表示的数是；（3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是．【答案】2−12/−0.5−368 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”．（1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点A1表示的数；（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数；（3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数．【详解】（1）解：由题意得：−3+5=2，∴点A1表示的数是2；（2）解：由题意得：2−7+92=−12，∴点表示的数是−12；（3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B∴0+3−6=−3，∴点B所表示的数是−3．故答案为：2，−12；−3．题型十　相反数的定义与性质例10.（23-24六年级下·全国·假期作业）−−56的相反数是．【答案】−56【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．先化简数字，根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵−−56=56，56的相反数是−56，∴−−56的相反数是−56．巩固训练1．（2024·江苏镇江·二模）若a与−12互为相反数，则a的值为．【答案】12/0.5【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．68 【详解】解：若a与−12互为相反数，则a的值为12，故答案为：12．2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若2m+1与−2互为相反数，则m的值为．【答案】12【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到2m+1=2即可得到答案．【详解】解：2m+1与−2互为相反数，∴2m+1−2=0，解得m=12，故答案为：12．3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若3x−2与y−32互为相反数，则xy=．【答案】2【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握非负数和平方的非负性，以及只有符合不同的数互为相反数．先根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入计算即可．【详解】解：∵3x−2≥0，y−32≥0，3x−2与y−32互为相反数，∴3x−2=0，y−32=0，∴3x−2=0,y−3=0，解得：x=23,y=3，∴xy=23×3=2，故答案为：2．题型十一　多重符号的化简例11.（2024·江苏泰州·二模）下列计算正确的是（   ）A．−−2=−2B．C．D．++2=−2【答案】C【分析】本题考查了相反数中化简多重符号，逐项计算，即可解答，熟知相反数的概念是解题的关键．68 【详解】解：A、−−2=+2，故A错误；B、+−2=−2，故B错误；C、，故C正确；D、++2=2，故D错误，故选：C．巩固训练1．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　）A．+−6与−+6B．−−4与−−4C．−−4.5与−+4．5D．−−8与−+8【答案】B【分析】本题考查化简多重符号，化简绝对值，根据多重符号的化简法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、+−6=−6，−+6=−6，两数相等，不符合题意；B、−−4=4，−−4=−4，两数不相等，符合题意；C、−−4.5=4.5，−+4．5=−4.5，两数相等，不符合题意；D、−−8=−8，−+8=−8，两数相等，不符合题意；故选B．2．（2023·广东东莞·一模）−+2的化简结果（    ）A．2B．0C．−12D．−2【答案】D【分析】本题考查相反数的概念．根据相反数的概念“只有符号不同的两个数叫做相反数”求解即可．【详解】解：，故选：D．题型十二　绝对值的定义与性质例12.（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简−a+b−c的结果为（）68 A．−a+b−cB．C．a+b−cD．【答案】B【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算．先确定a,b,c的符合以及大小，然后再取绝对值即可．【详解】解：由题意得，a<0<b<c，，b−c<0，∴−a+b−c=−a−(b−c)=−a−b+c，故选：B．巩固训练1．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　）A．a=aB．b=−bC．a+b=a+bD．a−b=b−a【答案】B【分析】此题考查实数与数轴，解决此题的关键是掌握数轴的特征，再结合加减运算，绝对值的概念判断即可，先根据数轴判断出a、b的正负情况，然后根据有理数的加、减运算法则及绝对值的意义对各选项分析判断求解．【详解】解：根据题意得：b<a<0，∴b>a，A、a=−a≠a，故错误，不符合题意；B、b=−b，故正确，符合题意；C、a+b=−a+b≠a+b，故错误，不符合题意；D、a−b=a−b，故错误，不符合题意；故选：B．2．（2023·重庆渝北·一模）已知实数a，b，c满足a+b−c=a−b−c，且b≠0，则下列说法中，正确的个数是（    ）①a>c；②b<0；③化简a−b−c+22−b−32=2；68 A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】本题考查了绝对值的化简，解题的关键是熟知正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数．根据绝对值的意义分类讨论，逐项判断正确与否即可．【详解】解：∵a+b−c=a−b−c，当a+b−c≥0时，a+b−c=a−b−c，得b=0，不符合题意；当a+b−c<0时，a+b−c=−a−b−c，得a=c，故①错误；将a=c代入a+b−c=a−b−c得，b=−b，因b≠0得，b<0，故②正确；∵a=c，b<0，∴|a−b−c+22|−|b−32|=|−b+22|−|b−32|=−b+22+b−32=−2，故③错误．故正确的选项有②，正确的个数是1．故选：B．3．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】先根据a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，可得a−b=1，或|a−b|=0，，然后分两种情况分别求出|a−c|+|c−b|+|b−a|的值即可．此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．【详解】解：，b，c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，∴a−b=1，或|a−b|=0，，①当a−b=1，时，c=a，a=b±1，a−c+c−b+b−a=a−c+a−b+b−a=0+1+1=2；②当|a−b|=0，时，a=b，a−c+c−b+b−a=a−c+c−a+b−a=1+1+0=2；综上，|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为2．故选：B．68 题型十三　绝对值的应用例13.（2024七年级·全国·竞赛）已知9≤a≤10，3≤b≤4，代数式x−a+x−b的最小值为．【答案】5【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解x−a+x−b的几何意义是数轴上一点到点a和点b的距离之和是解题关键．根据x−a+x−b的几何意义是数轴上一点到点a和点b的距离之和，结合9≤a≤10，3≤b≤4计算求值．【详解】解：x−a+x−b的几何意义是数轴上一点到点a和点b的距离之和，∵9≤a≤10，3≤b≤4，∴当4≤x≤9时，x−a+x−b的最小是9−4=5，故答案为：5．巩固训练1．（22-23七年级上·四川眉山·期中）在数轴上表示出下列各数，并用“<”连接．−4.5，312，−−2，−(−5)，113，【答案】在数轴上表示见解析，−4.5<−|−2|<113<312<−−5【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．先去括号，去绝对值符合，再把各数在数轴上表示出来，从左到右用“<“号把它们连起来即可．【详解】解：−|−2|=−2，−(−5)=5，如图，  故−4.5−−2|<113<312<−−5．2．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作a−b，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为5−7=2根据以上材料回答下列问题：68 (1)若x−2=3，则x=______，x−4=x+2，则x=______(2)若x−3+x+2=5，则x能取到的最小值是______，最大值是______(3)若x−3+x+2=9，则x的值为多少？【答案】(1)5或，1(2)−2，3(3)x=−4或5【分析】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．（1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，x−4=x+2表示数轴上表示x的点到表示4和−2的距离相等，得出答案；（2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和−2两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；（3）根据所提供的绝对值意义，即可解答．【详解】（1）解：x−2=3表示数轴上表示x的点到2的距离为3，∴x−2=3或x−2=−3，解得x=5或，x−4=x+2表示数轴上表示x的点到表示4和−2的距离相等，因此到4和−2距离相等的点表示的数为4+−22=1，故答案为：5或，1；（2）解：，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和−2两点的距离之和为5，可得−2≤x≤3，因此x的最大值为3，最小值为−2；故答案为：−2，3；（3）解：当x≤−2时，x−3+x+2=9，去绝对值为：3−x−x−2=9，；当−2<x≤3时，去绝对值为：3−x+x+2=9（不成立）；当x>3时，去绝对值为：x−3+x+2=9，∴x=5，68 综上，x=−4或5．3．（23-24七年级上·山东临沂·期中）【阅读】5−2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；6+3可以看作6−−3，表示6与−3的差的绝对值，也可理解为6与−3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】(1)若，则x=；(2)利用数轴，若x−2+x+3=5，找出所有符合条件的整数x；(3)由以上探索，对于有理数x，使x−2+x+3=9，写出符合条件的x的值．【答案】(1)8或−6(2)−3，−2，，0，1，2(3)−5或4【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的两点间的距离，绝对值，分类思想，化简绝对值是解题的关键．（1）根据题意，x−1=7或x−1=−7，计算即可．（2）根据题意，x−2+x+3=5，确定−3≤x≤2，确定整数解即可．（3）分−3≤x≤2，x＞2，x＜−3三种情况，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意，得x−1=7或x−1=−7，解得x=8或x=−6，故答案为：8或−6．（2）解：当−3≤x≤2时，x−2+x+3=2−x+x+3=5，此时，符合题意的整数有−3，−2，，0，1，2；当x＞2时，x−2+x+3=x−2+x+3=2x+1，不是常数，此时，不符合题意；当x＜−3时，x−2+x+3=2−x−x−3=−2x−1，不是常数，此时，不符合题意；68 故满足题意的x的整数解为−3，−2，，0，1，2．（3）解：当−3≤x≤2时，x−2+x+3=2−x+x+3=5，此时，不符合题意当x＞2时，x−2+x+3=x−2+x+3=2x+1，∵x−2+x+3=9，∴2x+1=9解得x=4，符合题意；当x＜−3时，x−2+x+3=2−x−x−3=−2x−1，∵x−2+x+3=9，∴−2x−1=9解得x=−5，符合题意；故x的值为−5或4．4．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为2−3=1，2与−3的距离可表示为2−−3(1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是　　；数轴上表示−3和−9的两点之间的距离是　　；(2)数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是　　；如果AB||，则x为　　；(3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简a+c−c+b+a−b．(4)当代数式取最小值时，x的值为　　．【答案】(1)5，6(2)x+2，2或−6(3)0(4)2【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用．（1）根据题目所举例子进行计算即可；68 （2）仿照题干所举例子进行解答即可；（3）根据数轴可知a+c<0，c+b<0，a−b>0，然后根据绝对值的性质进行解答即可；（4）根据绝对值的性质进行解答即可．【详解】（1）解：8−3=5，−3−−9=6．故答案为：5，6；（2）解：数轴上表示x和−4的两点A和B之间的距离是x−−2=x+2，x+2=4，则x+2=4或x+2=−4，即或−6．故答案为：x+2，2或−6；（3）解：由数轴可知，a+c<0，c+b<0，a−b>0，则|a+c−c+b+a−b=−a+c+c+b+a−b=−a−c+c+b+a−b=0；（4）解：代数式x+1+x−2+x−3的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和，显然只有当时，距离之和才是最小，则x+1+x−2+x−3取最小值时，x的值为2；故答案为：2．题型十四　有理数的大小比较例14.（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小：(1)−25与−0.5；(2)−179与−134；(3)−−3.5与−−−314；(4)−−6.5与−−6.5．【答案】(1)−25>−0.5(2)−179<−13468 (3)−3.5<−−−314(4)−−6.5<−−6.5【分析】本题考查了有理数大小比较，多重符号化简，绝对值运用，小数分数的互化，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数中绝对值大的数大；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可．（1）将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可；（2）将带分数化为假分数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可；（3）化简多重符号，将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可；（4）化简绝对值，多重符号，根据正数大于负数进行解答即可．【详解】（1）解：∵−25=25=0.4，−0.5=0.5，∵0.5>0.4，∴−25>−0.5；（2）∵−179=179=6436，−134=134=6336，∵6436>6336，∴−179<−134；（3）−−3.5=−3.5，−−−314=−3.25，∵3.5>3.25，∴−3.5<−−−314；（4）−−6.5=−6.5，−−6.5=6.5，∵6.5>−6.5，∴−−6.5<−−6.5．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较大小：把下列数−−1，−89，−−910，0，用“>”连接．【答案】−−1>0>−89>−−910【分析】求出每个式子的值，再根据有理数大小比较法则，先通分再比较即可．68 【详解】解：−−1=1，−−910=−910，−910=−8190，−89=−8090，所以−−1>0>−89>−−910．【点睛】题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：有理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列各数的大小，写出比较过程．(1)89和1112；(2)−35和−611；(3)−−2.25和−2.5．【答案】(1)49<1112(2)−35<−611(3)−−2.25>−2.5【分析】（1）根据两个正数比较大小，那个数大它就大即可得出答案；（2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案；（3）先去掉绝对值，再根据两个负数比较大小的法则即可得出答案．【详解】（1）解：∵89=3236，1112=3336，根据同分母分数大小比较法则可知，∴89<1112；（2）解：∵35=3355，611=3055，根据同分母分数大小比较法则可知3355>3055，∴−35<−611；（3）解：∵−−2.25=−2.25，∵2.25<2.5，∴−−2.25>−2.5．【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反是解题的关键．68 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）在数轴上表示出：0,−1.4,−3,15；（2）将（1）中各数用“<”连接起来；（3）将（1）中各数的相反数用“<”连接起来；（4）将（1）中各数的绝对值用“<”连接起来．【答案】（1）见解析；（2）−3<−1.4<0<15；（3）−15<0<1.4<3；（4）0<15<1.4<3【分析】（1）根据题意，将已知数据表示在数轴上即可；（2）根据（1）中数轴上的点的位置，根据右边的数比左边的数大，用“<”连接起来即可；（3）先求得（1）中各数的相反数，进而用“<”连接起来；（4）先求得（1）中各数的绝对值，进而用“<”连接起来．【详解】（1）如图，（2）−3<−1.4<0<15（3）0,−1.4,−3,15的相反数分别为：0,1.4,3，−15∴−15<0<1.4<3（4）0,−1.4,−3,15的绝对值分别为：0,1.4,3,15∴0<15<1.4<3【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，求相反数，绝对值，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键．题型十五　有理数的加减法运算例15.（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．(1)−248+433+−752+−433；(2)−0.8+1.2+−0.7+−2.1+0.8+3.5．【答案】(1)−1000(2)1.968 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果；（2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果．【详解】（1）−248+433+−752+−433=−248+−752+−433+433=−1000；（2）−0.8+1.2+−0.7+−2.1+0.8+3.5=−0.8+0.8+1.2+3.5+−0.7+−2.1=0+4.7+−2.8=1.9．巩固训练1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)137+−123；(2)−1.25+2.25+7.75+−8.75．【答案】(1)0(2)0【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律．（1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可．（2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可．【详解】（1）解：137+−123＝137+247+−213+−123=4+−4=0；（2）−1.25+2.25+7.75+−8.75=−1.25+−8.75+2.25+7.75=−10+1068 =0．2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法．计算：．解：原式=−5+−56+−9+−23+17+34+−3+−12=−5+−9+17+−3+−56+−23++34+−12=0+−54=−54上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：−202156+404323+−202223+156．【答案】11【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．【详解】解：原式=−2021+−56+4043+23+−2022+−23+1+56=−2021+4043+−2022+1+−56++23+−23+56=11+0=113．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：−2022724+−202158+−116+4044．【答案】−1112【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：−2022724+−202158+−116+4044=−2022+−724+−2021+−58+−1+−16+4044=−2022+−2021+−1+4044+−724+−58+−16=0+−1312=−1112．68 题型十六　有理数的乘、除法法则的运用例16.（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）用简便方法计算下面各题．(1)417×24+417×9+417(2)2019×20192020【答案】(1)8(2)201812020【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键．（1）根据乘法分配律的逆运算即可求解；（2）将20192020拆成1−12020，再运用乘法分配律即可求解．【详解】（1）解：417×24+417×9+417=417×24+9+1=417×34=8；（2）解：2019×20192020=2019×1−12020=2019×1−2019×12020=2019−20192020=201812020．巩固训练1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算：1×100+2×99+3×98+4×97+5×96+···+100×1．【答案】171700【分析】本题考查了有理数的混合运算，把原式转化为21×100+2×99+⋯+50×51，利用拆项法解答即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．68 【详解】解：原式=2×1×100+2×99+⋯+50×51=21×100+2×100−1+3×100−2+4×100−3⋯+50×100−49，=21×100+2×100+3×100+⋯50×100−2×1+3×2+4×3+⋯50×49，=2100×1+2+3+⋯+50−1×2+2×3+3×4+⋯49×50，=2100×50+1×502−49×49+149+23，=2127500−41650，=2×85850，．2．（23-24七年级上·西藏林芝·开学考试）脱式计算，能简算的要简算．(1)0.9×58+110÷85；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)58(2)13(3)1(4)910【分析】题目主要考查分数的混合运算及乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先将除法转为乘法，然后运用乘法运算律计算即可；（2）运用乘法运算律计算即可；（3）先计算乘法，然后计算减法即可；（4）先将除法转换为乘法，然后计算即可．【详解】（1）解：0.9×58+110÷85=0.9×58+110×58=(0.9+110)×5868 =1×58=58；（2）=76×42−67×42=13；（3）=95−45；（4）=512×3625×32=910．3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：．解：方法一：原式=−115÷315−515=−115÷−215=12．方法二：原式的倒数为：15−13÷−115=15−13×−15=15×−15−13×−15=−3+5=2故原式=12．用适当的方法计算：−130÷23−110+16−25．【答案】−110【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【详解】解：∵23−110+16−25÷−130=23−110+16−25×−3068 =−10，∴原式=−110．题型十七　倒数的性质例17.（2024·内蒙古包头·中考真题）若m,n互为倒数，且满足，则n的值为（    ）A．14B．12C．2D．4【答案】B【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据m,n互为倒数，则m⋅n=1，把m⋅n=1代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值．【详解】解：∵m,n互为倒数，∴m⋅n=1，∵，∴m=2，则n=12，故选：B．巩固训练1．（2024年江苏省无锡市中考真题试题）4的倒数是（    ）A．14B．−4C．2D．±2【答案】A【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可．【详解】解：4的倒数是14，故选：A．2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）−−2025的倒数是（　　）A．12025B．2025C．D．−12025【答案】D【分析】本题考查倒数，相反数及绝对值，掌握以上知识是解题的关键．先化简绝对值，再计算倒数，即可求解．68 【详解】解：−|−2025|=−2025，其倒数为−12025，故选：D．3．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列各数的倒数．(1)−34；(2)223；(3)−1.25；(4)5【答案】(1)−43(2)38(3)−45(4)15【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数）是解答本题的关键．（1）由−34×−43=1可得结论；（2）把223化为83，由38×83=1可得结论；（3）把−1.25化为−54，由−54×−45=1可得结论；（1）由可得结论．【详解】（1）解：∵−34×−43=1，∴−34的倒数为：−43；（2）解：，∵38×83=1，∴83的倒数为：38，即223的倒数为：38；（3）解：−1.25=−54，68 ∵−54×−45=1∴−54的倒数是−45，即−1.25的倒数是−45；（4）解：∵，∴5的倒数是15，题型十八　有理数的乘方运算例18.（2024·安徽滁州·三模）−12024等于（    ）A．B．1C．−2024D．2024【答案】A【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则进行计算即可求解．【详解】解：−12024=−1，故选：A．巩固训练1．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算：−−22=，，−223=．【答案】−44−43/−113【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键．根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可．【详解】解：−−22=−4；−−22=−−4=4；−223=−43．故答案为：−4，4，−43．2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：(a⋅b)2=a2⋅b2，(a⋅b)3=a3⋅b3，(a⋅b)4=a4⋅b4，(a⋅b)5=a5⋅b5…解答下列问题：(1)猜想：(a⋅b)n=_____．(2)计算：−0.1252022×22021×42000．【答案】(1)anbn(2)13268 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案；（2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为18×2×42020×182×2，再计算即可．【详解】（1）解：∵(a⋅b)2=a2⋅b2，(a⋅b)3=a3⋅b3，(a⋅b)4=a4⋅b4，(a⋅b)5=a5⋅b5…归纳可得：(a⋅b)n=anbn；（2）(−0.125)2022×22021×42020=182022×22021×42020=182×182020×2×22020×42020=18×2×42020×182×2=164×2；【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键．3．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：①3×52与；    ②−2×32与−22×32；（2）根据以上计算结果想开去：ab3等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求−42022×0.252023的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）ab3=a3b3；（3）abn=anbn；理由见解析；（4）0.25【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；（2）根据（1）的结果即可得到答案；（3）根据乘方abn的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为a⋅a⋯an个a相乘和b⋅b⋯bn个b相乘的乘积即可证明猜想；（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）①3×52=152=225，32×52=9×25=225；②−2×32=−62=36，−22×32=4×9=36；68 （2）ab3=a3b3；（3）abn=anbn，理由如下：abn=ab⋅ab⋯abn个ab相乘=a⋅a⋯an个a相乘⋅b⋅b⋯bn个b相乘=anbn；（4）−42022×0.252023=−42022×0.252022×0.25=−4×0.252022×0.25=−12022×0.25=0.25．【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．题型十九　有理数的混合运算的应用例19.（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算：(1)−312++67+−0.5++117；(2)−57×−43÷−2 17；(3)1−16+34×−48；(4)用简便方法计算：−191516×8；(5)计算：−1×−4+22+7−5．【答案】(1)−2(2)−49(3)−76(4)−15912(5)10【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方以及四则运算法则是解题的关键．68 （1）根据有理数的加法交换律和结合律简便运算求解即可；（2）根据有理数的乘除运算求解即可；（3）利用乘法分配律简便计算即可；（4）利用乘法分配律简便计算即可；（5）根据有理数的混合运算，先计算乘法，再计算乘法，最后计算加减求解即可；【详解】（1）解：原式=−312++67+−12++117=−312+−12++67++117；（2）解：原式=−57×−43÷−157=−57×−43×−715=−57×43×715=−49；（3）解：原式=1×−48−16×−48+34×−48=−48−−8+−36；（4）解：原式=116−20×8=116×8−20×8=12−160=−15912；（5）解：原式=10．巩固训练1．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）447÷212−1911−913×521×134．68 【答案】35345．【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，根据运算顺序和运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式=327÷1522−283×521×74=327×2215−283×521×74=704105−209×74=1412315×74=35345．2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算，能简算的要简算．(1)；(2)2419+1617×18+1517；(3)1−16+34−712；(4)1999×1999−2000×1998；(5)15×8+18×11+···+198×101．【答案】(1)88；(2)1319；(3)；(4)1；(5)32505．【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；（2）利用乘法分配律展开，再进行加法运算即可；（3）先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后进行减法运算即可；（4）把原式转化为2000−1×1999−2000×1998，再利用提公因数法解答即可；（5）利用拆项法进行计算即可；68 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：原式=24+40×85=24+64=88；（2）解：原式，；（3）解：原式=1−16+912−712=1−16+16，=23；（4）解：原式=2000−1×1999−2000×1998=2000×1999−1×1999−2000×1998=2000×1999−2000×1998−1999=2000×1999−1998−1999=2000−1999；（5）解：原式=1315−18+1318−111+⋯+13198−1101=1315−18+18−111+⋯+198−1101=1315−1101=13×96505=32505．3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）计算：(1)−12+14×−23+−3268 (2)−14×4−−32+3÷−34【答案】(1)6(2)−9【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘方，有理数的混合运算，即可．（1）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的加减运算，即可；（2）先计算有理数的乘方，然后算小括号，中括号，最后化除为乘，进行计算，即可．【详解】（1）解：−12+14×−23+−32=−1+14×−8+9=−1−2+9=6．（2）−14×4−−32+3÷−34=1×4−9+3×−43=−5+1×−4=−5−4=−9．题型二十　科学计数法的应用例20.（2024年山东省潍坊市中考真题试题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（    ）A．B．C．1.267×107D．【答案】B【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成a×10n，（其中1≤a<10，n为整数），即可得到答案．【详解】解：126.7万=1267000=1.267×106，故选B．68 巩固训练1．（2024·甘肃金昌·模拟预测）粮食安全是“国之大者”．习总书记强调，“要始终把保障国家粮食安全摆在首位，加快实现农业农村现代化，提高粮食综合生产能力，确保平时产得出、供得足，极端情况下顶得上、靠得住．”国家统计局数据显示，2023年我国粮食总产量1.39万亿斤，将1.39万亿用科学记数法表示为（    ）A．1.39×1010B．1.39×1011C．1.39×1012D．13.9×1011【答案】C【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定a的值以及n的值是本题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．据此可得出结果．【详解】解：1.39万亿=1.39×104×108=1.39×1012，故选C2．（23-24九年级上·山东青岛·开学考试）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　）A．29.06×108B．2.906×108C．29.06×109D．2.906×109【答案】D【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【详解】解：29.06亿=2906000000=2.906×109，故选：D．3．（2024·山东济南·模拟预测）章丘大葱，是山东省济南市章丘区特产，全国农产品地理标志．2023年11月10日，中国•章丘大葱文化旅游节上，一颗长度为2.586米大葱，再次创造了新的世界吉尼斯大葱高度记录．章丘大葱成为了章丘农业文明的重要标志，品牌价值已达52.91亿元，成为拉动区域经济发展、带动农民增收致富的支柱产业．将52.91亿元用科学记数法表示为（     ）A．52.9×108元B．5.29×108元C．0.529×109元D．5.29×109元【答案】D【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据科学记数法表示较大的数的方法将52.91亿元用科学记数法表示即可．将一个数表示成a×10n的形式，其中n为整数，1≤a≤10．68 【详解】解：52.91亿元=5291000000元=5.29×109元．故选D．题型二十一　近似数的应用例21.（23-24七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数a的范围是（）A．0.265≤a<0.275B．0.2695≤a<0.2705C．0.25≤a<0.28D．0.2695≤a≤0.2705【答案】B【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法分析选项中的取值范围，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．【详解】解：依题意，用四舍五入法得到的近似数0.270，则准确数a的范围为0.2695≤a<0.2705，故选：B．巩固训练1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到十分位）B．0.05（精确到百分位）C．0.05（精确到0.001）D．0.0502（精确到0.0001）【答案】C【分析】本题考查了近似数的定义，理解“近似数精确的位数看此数所精确到的数字，该数字所在的位数即是该数的精确位数．”是解题的关键．【详解】解：A.精确到十分位为0.1，本选项正确，不符合题意；B.精确到百分位为0.05，本选项正确，不符合题意；C.精确到0.001为0.050，本选项错误，符合题意；D.精确到0.0001为0.0502，本选项正确，不符合题意．故选：C．2．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）下列各数精确到0.01的是（   ）A．0.6925≈0.693B．8.029≈8.0C．4.1974≈4.20D．2.536≈2.53【答案】C【分析】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．68 精确到0.01，即保留小数点后面第二位，然后利用“四舍五入”法解答，所以只要看选项中保留的小数是不是二位数即可．【详解】解：A、0.6925≈0.693，保留到小数点后面第三位，即精确到千分位，不符合题意；B、8.029≈8.0，保留到小数点后面第一位，即精确到十分位，不符合题意；C、4.1974≈4.20，保留到小数点后面第二位，即精确到百分位，符合题意；D、2.536≈2.54，故该选项错误，不符合题意；故选：C．3．（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　）①近似数7.4与7.40是一样的②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0④由四舍五入法得到的近似数5.40×105精确到千分位，有3个有效数字A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】本题考查了近似数、有效数字和科学记数法，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位可判断①；根据一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字，可判断②③；根据科学记数法的定义和近似数的定义，可判断④．【详解】解：①7.4精确到十分位，7.40精确到百分位，原说法错误；②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0，说法正确；③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0，说法正确；④近似数5.40×105精确到千位，有3个有效数字，故错误；综上，正确的有②③；故选：C．68