函数的概念及其表示（考点清单 知识导图 10个考点清单&题型解读）（解析版）

函数的概念及其表示（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作yf(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集.函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【清单02】函数的三要素（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．（2）对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).【清单03】求函数解析式（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．（2）换元法：主要用于解决已知fgx这类复合函数的解析式，求函数fx的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.（3）配凑法：由已知条件fgxFx，可将Fx改写成关于gx的表达式，æö1æ1ö（4）方程组（消去）法：主要解决已知fx与f-x、fç÷、fç-÷……的方程，求fx解析式。èøxèxø【考点题型一】求常规函数的定义域【解题方法】使得函数有意义的范围24-x【例1-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）函数y的定义域是（）xA．-22,B．-2,2C．-2,0U0,2D．-4,0È0,4【答案】C【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式2【分析】由4-x³0且x¹0可求得结果.2ì4-x³0【详解】由题意得í，解得-£2x£2且x¹0，îx¹0所以函数的定义域为-2,0U0,2.故选：C1【变式1-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数fx()x-+3的定义域为（）1+xA．[3,+¥)B．(-¥-,1)U(1,3]-C．(1,-+¥)D．[3,1)--È-(1,+¥)【答案】A【知识点】具体函数的定义域【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 1ìx-³30【详解】函数fx()x-+3有意义，则í，解得x³3，1+xî1+¹x0所以原函数的定义域为[3,+¥).故选：Ax-2【例1-2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）函数fx()的定义域为．||3x-【答案】2,3È3,+¥【知识点】具体函数的定义域【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.x-2【详解】fx()的定义域满足x-³20且||3x-¹0，解得x³2且x¹3.||3x-故答案为：2,3È3,+¥1【变式1-2】（24-25高一上·全国·单元测试）函数y5-+xx--1的定义域为．2x-9【答案】x|1£x£5且x¹3【知识点】具体函数的定义域【分析】由根式、分式的定义域，解不等式组得到定义域.ì5-³x0ìx£5ïï【详解】解不等式组íx-³10得íx³1，故函数的定义域是x|1£x£5且x¹3．ï2ïîx¹±3îx-¹90故答案为：x|1£x£5且x¹3.【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域【解题方法】对应关系“f”作用下的整体取值范围相同f2x+1【例2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数yfx的定义域为-1,4，则y的定x-1义域为（）æ3ùé3ùA．-5,5B．ç1,úC．1,5D．ê-5,úè2ûë2û【答案】B【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.【详解】Qyfx的定义域为-1,4，ì-£12x+£143í，解得：1<x£，îx->102 f2x+1æ3ùy的定义域为ç1,ú.x-1è2û故选：B.fx()【变式2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数yf(2x-1)的定义域是[1,3]-，则y的x+2定义域是（）A．(2,5]-B．(2,3]-C．[1,3]-D．[2,5]-【答案】A【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得.【详解】由函数yf(2x-1)的定义域是[1,3]-，得-£32x-£15，fx()ì-£3x£5因此在函数y中，í，解得-<2x£5，x+2îx+>20所以所示函数的定义域为(2,5]-.故选：A【例2-2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数yfx-1的定义域是-1,2，则yf13-x的定义域为（）é1ùé1ùé1ùA．ê-3,0úB．ê-,3úC．0,1D．ê-,1úëûë3ûë3û【答案】C【知识点】抽象函数的定义域【分析】由函数yfx-1的定义域可得x--12,1，对于yf13-x可得13-x-2,1，运算求解即可.【详解】因为函数yfx-1的定义域是-1,2，即x-1,2，则x--12,1；对于函数yf13-x，可知13-x-2,1，解得x0,1，所以函数yf13-x的定义域为0,1.故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若