第二章　§2.1　函数的概念及其表示

§2.1函数的概念及其表示第二章函　数成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.函数的概念一般地，设A，B是，如果对于集合A中的一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：、、.(2)如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为同一个函数.非空的实数集任意唯一确定定义域对应关系值域定义域对应关系 3.函数的表示法表示函数的常用方法有、图象法和.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.解析法列表法 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.()(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.()(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.()√××× 1.(多选)下列所给图象是函数图象的是A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.√√ √ y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确； √ 探究核心题型第二部分 例1(1)函数y＝的定义域为A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1]题型一函数的定义域√ (2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为____________.[－2，－1)∵f(x)的定义域为(－4，－2)，∴函数g(x)的定义域为[－2，－1). (1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.思维升华 A.(1,3]B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞)D.(－∞，3)所以1<x<2或2<x≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].√跟踪训练1(1)函数f(x)＝ √ 即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1). 例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；题型二函数的解析式(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]. ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法. 跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是A.f(x)＝x2＋6xB.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3D.f(x)＝x2＋6x－10√f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x. (3)已知函数f(x)满足f(x)＋＝3x，则f(2)等于A.－3B.3C.－1D.1√ 题型三分段函数所以f(2024)＝f(2023)＝f(2022)＝…＝f(1)，又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2024)＝1.例3(1)已知函数f(x)＝则f(2024)的值为A.－1B.0C.1D.2√ －2或5[－3，－1)∪[4，＋∞) 若f(a)＝4，解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于A.0或1B.－1或1C.0或－2D.－2或－1√令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1. _____________. 当x≤0时，x＋1≤1，当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立. 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练A.(2，＋∞)B.(2,3)C.(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).√ 2.(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是A.f：x→y＝x＋1B.f：x→y＝exC.f：x→y＝x2D.f：x→y＝|x|12345678910111213141516√ 12345678910111213141516对于A，当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0∉B，故A错误；对于B，因为从A＝{x|－2<x≤1}中任取一个元素，通过f：x→y＝ex在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误；对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误. 12345678910111213141516√令x3＝10，则x＝，∴f(10)＝lg＝. 4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是12345678910111213141516√ 12345678910111213141516水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集，当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增，此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意，当0<a<1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递减，此时f(x)<f(2)＝6＋loga2≤4，即loga2≤－2， 7.(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是12345678910111213141516A.y＝－x＋1B.√√√ 12345678910111213141516对A，函数的定义域和值域都是R；对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；所以ABD是定义域和值域相同的函数. 8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有A.f(x2)＝|x|B.f(x2)＝xC.f(cosx)＝xD.f(ex)＝x12345678910111213141516√√ 12345678910111213141516令t＝ex(t>0)，f(t)＝lnt，故D符合函数定义. 12345678910111213141516 10.已知f()＝x－1，则f(x)＝___________.x2－1(x≥0)12345678910111213141516所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0). 12345678910111213141516解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1,0].11.已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________.[－1,0] 12.已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_____________.123456789101112131415161或－3①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1. 13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于12345678910111213141516综合提升练√∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516作出函数f(x)的图象，如图所示.因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2， 15.∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是A.(－2,2)B.(－2,0)∪(0,2)C.[－2,2]12345678910111213141516拓展冲刺练√ 12345678910111213141516当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2. 16.(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数.关于狄利克雷函数，下列说法正确的是A.F(F(x))＝0B.对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C.任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D.存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形12345678910111213141516√√ 12345678910111213141516∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误； 12345678910111213141516 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第二章函　数