北师版八年级数学上册 第四章 一次函数 知识归纳与题型突破（十三类题型清单）

第四章一次函数知识归纳与题型突破（十三类题型清单）01思维导图02知识速记57 一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.二、一次函数的相关概念　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.三、一次函数的图象及性质1、函数的图象　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点：理解、对一次函数的图象和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与57 轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围03题型归纳题型一函数的概念1．李师傅驾车五一假期到北京游玩，途中到某加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中因变量是（    ）  A．金额B．数量C．单价D．金额和数量巩固训练57 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是的函数的有（　　），A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图曲线中不能表示是的函数的是（　　）A．  B．  C．  D．  4．已知函数，当时，的值为（　　）A．B．C．D．5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系：0123451010.51111.51212.5下列说法一定错误的是（    ）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B．弹簧不挂重物时的长度为0C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为13.5题型二正比例函数的概念及应用6．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）A．一个人的体重和年龄B．圆的周长和直径C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间D．周长一定时，长方形的长和宽巩固训练7．如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是（    ）A．B．C．一切实数D．8．下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（   ）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若是正比例函数，则m的值为．57 10．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则k=．11．若y与成正比例，且当时，则当时．12．下列说法中不成立的是（    ）A．在中与x成正比例B．在中，y与x成正比例C．在中与成正比例D．在中y与成正比例13．如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，．题型三根据正比例函数图像求参数范围14．若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是．巩固训练15．已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是题型四正比例函数的图像与性质16．已知正比例函数，下列结论正确的是（　　）A．图象是一条射线B．图象必经过点C．y随x的增大而减小D．图象经过第一、三象限巩固训练17．点、都在直线上，则与的关系是（    ）A．B．C．D．与值有关18．已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ）A．B．C．D．题型五一次函数的概念及应用（求参、一次函数的值等）19．下列函数中，是一次函数的是（    ）A．B．C．（、是常数）D．巩固训练20．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个21．若点在直线上，则代数式的值为（    ）A．3B．C．2D．057 22．若为一次函数，则．23．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（    ）    A．4B．10C．19D．21题型六根据一次函数的图像求参数24．一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是．巩固训练25．已知直线图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是．26．若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是．题型七一次函数的平移27．把函数向上平移5个单位，下列在该平移后的直线上的点是（    ）A．B．C．D．巩固训练28．函数先向下平移一个单位，再向右平移两个单位，平移后的解析式为（    ）A．B．C．D．29．将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ）A．B．C．D．30．将直线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线解析式为（    ）A．B．C．D．31．将直线向右平移个单位后经过原点，则的值为（    ）A．3B．C．6D．32．将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ）A．B．C．1D．题型八一次函数的图像与性质57 33．若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是．巩固训练34．对于函数，下列结论不正确的是（    ）A．它的图象必经过点B．它的图象经过第一、二、四象限C．当时，D．的值随值的增大而减小35．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（    ）A．B．C．D．36．若一次函数（为常数），当自变量满足时，对应的函数值满足，则的值是（    ）A．B．2C．或2D．3或题型九一次函数的图像与参数符号的相互判断37．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ）A．B．C．D．巩固训练38．下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ）A．B．C．57 D．39．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（）A．B．C．D．40．如图所示，两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（    ）A．  B．  C．D．  题型十一次函数的几何应用（坐标轴交点、面积问题）41．一次函数的图象与x轴的交点坐标是．巩固训练42．已知一次函数与x轴的交点是，与y轴的交点是．43．一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是．44．若直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有且仅有6个整点，则的取值范围是．57 45．如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ）A．x=-3B．x=4C．x=D．x=题型十一一次函数与方程、不等式，实际应用46．若函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ）  A．B．C．D．巩固训练47．一次函数和与的部分对应值如表1，与的部分对应值如表2：0101350-1则当时，的取值范围是（　　）.A．B．C．D．48．某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差（    ）57   A．5元B．10元C．15元D．20元49．清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　）  A．乙提速后每分钟攀登30米B．乙攀登到300米时共用时11分钟C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．50．小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城．整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①、两城相距千米；②小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；③小路的车出发后小时追上小带的车；④当时，小带和小路的车相距千米．其中正确的结论有（   ）57 A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②题型十二一次函数的代数应用51．如果Ax1,y1、Bx2,y2是一次函数图象上不同的两点，那么0（填“＞”、“＜”或“＝”）．巩固训练52．在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ）A．B．C．D．53．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则．③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（    ）  A．4个B．3个C．2个D．1个54．一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是．55．一次函数，当时，函数值y的范围是，那么代数式的值是．56．有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（    ）57 A．21个B．22个C．23个D．24个题型十三一次函数综合解答题57．已知一次函数图象经过点和．求：(1)这个一次函数的解析式．(2)当时，y的值．巩固训练58．已知是的一次函数，且当时，；当时，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，直接写出函数的取值范围，59．已知直线经过点，，，第一象限内的一点在直线上，点的横坐标为．(1)求直线的解析式；(2)点绕着点顺时针旋转得到点，点的坐标．60．如图，函数与的图象交于点．(1)求出，的值．(2)直接写出的解集．(3)求出的面积．61．小明从A地出发向B地行走，同时晓阳从B地出发向A地行走，小明、晓阳离A地的距离y（千米）与已用时间x（分钟）之间的函数关系分别如图中、所示．57 (1)小明与晓阳出发几分钟时相遇？(2)求晓阳到达A地的时间．62．如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．  (1)求AB的长(2)求点C和点D的坐标(3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由63．点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点．57 (1)已知点的坐标为①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______；②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标；(2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．57 第四章一次函数知识归纳与题型突破（十三类题型清单）01思维导图02知识速记57 一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.二、一次函数的相关概念　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.三、一次函数的图象及性质1、函数的图象　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点：理解、对一次函数的图象和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与57 轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围03题型归纳题型一函数的概念1．李师傅驾车五一假期到北京游玩，途中到某加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中因变量是（    ）  A．金额B．数量C．单价D．金额和数量【答案】A57 【分析】根据函数中自变量和因变量的定义即可求得答案．【解析】在加油过程中，有数量和金额两个变量，对于数量的每一个确定的值，都能随之确定一个金额的值，因此金额是数量的函数，数量是自变量，金额是因变量．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的有关概念，牢记函数的有关概念（在同一个变化过程中，有两个变量和，如果对于变量的每一个确定的值，都能随之确定一个值，我们就把叫做的函数，其中叫做自变量，叫做因变量）是解题的关键．巩固训练2．在式子①，②，③，④，⑤中，是的函数的有（　　），A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判断．【解析】解：在①，②，③，④，中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数；⑤对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数；故选：C．【点睛】本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，两个变量为函数关系．3．如图曲线中不能表示是的函数的是（　　）A．  B．  C．  D．  【答案】C【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与它对应，即可解答．【解析】解：A、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意；B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C符合题意；57 D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；故选：．【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．4．已知函数，当时，的值为（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据自变量的取值，选择不同的函数表达式进行计算即可求解．【解析】解：当时，，故选：．【点睛】本题主要考查函数的代入求值，掌握分段函数的计算方法，根据不同的自变量范围选择不同的表达式计算是解题的关键．5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系：0123451010.51111.51212.5下列说法一定错误的是（    ）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B．弹簧不挂重物时的长度为0C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为13.5【答案】B【分析】根据表格中的信息，对各选项进行判断作答即可．【解析】解：由题意知，x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，A正确，故不符合要求；弹簧不挂重物时的长度为10，B错误，故符合要求；物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5，C正确，故不符合要求；所挂物体质量为7时，弹簧长度为，D正确，故不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了函数的变量，函数关系式．解题的关键在于从表格中获取正确的信息．题型二正比例函数的概念及应用57 6．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）A．一个人的体重和年龄B．圆的周长和直径C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间D．周长一定时，长方形的长和宽【答案】B【分析】本题考查正比例的概念，根据正比例的定义，分别分析判断即可．理解并掌握正比例的定义（两个量的比值一定，则这两个量成正比关系）是本题的关键．【解析】解：一个人的体重和年龄不成正比例，∴A不符合题意；圆的周长直径（一定），∴圆的周长和直径成正比例，∴B符合题意；速度时间路程（一定），∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例，∴C不符合题意；（长宽）长方形的周长（一定），∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例，∴D不符合题意．故选：B．巩固训练7．如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是（    ）A．B．C．一切实数D．【答案】B【分析】根据正比例函数的定义求解即可．【解析】解：∵函数是正比例函数，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如的形式，叫正比例函数．57 8．下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（   ）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据正比例函数的定义进行逐一判断即可．【解析】解：是正比例函数，符合题意；是正比例函数，符合题意；不是正比例函数，不符合题意；不是正比例函数，不符合题意；∴表示y是x的正比例函数的个数正确的为2个，故选B．【点睛】本题主要考查了正比例函数的识别，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例函数．9．若是正比例函数，则m的值为．【答案】【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意的系数不等于0这个条件．根据的次数为1，系数不等于0，计算即可．【解析】解：根据题意得：，，故答案为：．10．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则k=．【答案】3【分析】利用待定系数法即可解决问题．【解析】解：把（1，3）代入y＝kx中，得到k＝3，故答案为：3．【点睛】此题考查一次函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考基础题．57 11．若y与成正比例，且当时，则当时．【答案】【分析】本题考查了正比例的应用，由y与成正比例可以设y=kx−1，代入计算即可．【解析】∵y与成正比例，∴设y=kx−1，当时，∴，解得，∴，∴当时，，故答案为：．12．下列说法中不成立的是（    ）A．在中与x成正比例B．在中，y与x成正比例C．在中与成正比例D．在中y与成正比例【答案】B【分析】根据正比例函数的定义，逐一判断即可．【解析】解：将变形为，故与x成正比例，故A选项正确；在中，成反比例，故B选项错误；将变形为，故与成正比例，故C选项正确；在中y与成正比例，故D选项正确，故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量之间的关系可以表示为形如的函数，那么y就叫做x的正比例函数．13．如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，．【答案】【分析】根据可得当时，，当时，，再根据自变量和函数值的变化关系可得，从而求得正比例函数解析式，再把代入求值即可．57 【解析】解：由题意可得，当时，，∵正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，∴时，，∴，∴，∴正比例函数解析式为．∴当时，．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．题型三根据正比例函数图像求参数范围14．若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过第一、三象限，则得到，解不等式即可．【解析】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，∴，∴．故答案为：．巩固训练15．已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是【答案】/【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键．【解析】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，∴，解得：．故答案为：．题型四正比例函数的图像与性质57 16．已知正比例函数，下列结论正确的是（　　）A．图象是一条射线B．图象必经过点C．y随x的增大而减小D．图象经过第一、三象限【答案】D【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．【解析】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误；B、把代入，得，B选项错误；C、因为，所以y随x的增大而增大，C选项错误；D、因为，所以图象经过第一、三象限，D选项正确．故选D．巩固训练17．点、都在直线上，则与的关系是（    ）A．B．C．D．与值有关【答案】C【分析】直接根据正比例函数的性质即可得．【解析】解：直线中的，随的增大而减小，又点、都在直线上，且，，故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．18．已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据可得，随的增大而减小，即可求解．57 【解析】解：∵点，，都在正比例函数的图象上，，∴可得，随的增大而减小，∴.故选：B．题型五一次函数的概念及应用（求参、一次函数的值等）19．下列函数中，是一次函数的是（    ）A．B．C．（、是常数）D．【答案】B【分析】根据形如的函数为一次函数判断即可．【解析】A、不是一次函数，不符合题意；B、是一次函数，符合题意；C、（、是常数），当时，不是一次函数，不符合题意；    D、不是一次函数，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．巩固训练20．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据形如，、是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．【解析】解：①；③是一次函数，共2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．21．若点在直线上，则代数式的值为（    ）A．3B．C．2D．057 【答案】A【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可．【解析】解：把点代入得，整理得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．22．若为一次函数，则．【答案】0【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可．【解析】解：由题意得：，解得：或（舍去），，故答案为：0．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．23．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（    ）    A．4B．10C．19D．21【答案】A【分析】根据程序框图，将代入求出的值，将代入即可求出的值．【解析】当时，，解得：，57 当时，．故选：A．【点睛】本题考查了函数解析式的函数值求法，熟练掌握函数解析式的代入求值是解题的关键．题型六根据一次函数的图像求参数24．一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是．【答案】【分析】依题意，根据一次函数的性质得出，解不等式组即可求解．【解析】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，∴解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．巩固训练25．已知直线图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限，据此求解即可．【解析】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，，解得：，故答案为：．26．若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系，先判断出一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，即可确定的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质．57 【解析】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，∴一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，∴，故答案为：．题型七一次函数的平移27．把函数向上平移5个单位，下列在该平移后的直线上的点是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，熟知一次函数图像平移的法则是解题的关键．根据平移的性质得出平移后新的函数解析式为，进而解答即可．【解析】解：把函数向上平移5个单位，则新的函数解析式为，当时，可有，当时，可有，当时，可有，所以，点，，不在平移后的直线上，故选项A、C、D不符合题意；点在平移后的直线上，故选项B符合题意．故答案为：B．巩固训练28．函数先向下平移一个单位，再向右平移两个单位，平移后的解析式为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．【解析】解：函数先向下平移一个单位，再向右平移两个单位，平移后的解析式为，故选：B．29．将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ）A．B．57 C．D．【答案】C【分析】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，掌握在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．根据平移规律“上加下减，左加右减”求解即可．【解析】解：将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为，即．故选：C．30．将直线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线解析式为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解析】解：将直线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得：，即．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．31．将直线向右平移个单位后经过原点，则的值为（    ）A．3B．C．6D．【答案】A【分析】主要考查的是一次函数图象平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．【解析】解：将直线向右平移个单位后，得到，把代入，得到：，解得．故选：A．32．将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ）A．B．C．1D．57 【答案】A【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案．【解析】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线，直线的解析式为，将直线向左平移个单位长度后得到直线，直线的解析式为，直线和直线恰好重合，，解得：，故选：A．题型八一次函数的图像与性质33．若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是．【答案】/【分析】设一次函数的解析式是，根据两直线平行求出，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．【解析】解：设一次函数的解析式是，∵一次函数图象与直线平行，∴，即，∵一次函数的图象过点，∴代入得：，解得：，即，故答案为：．57 【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．巩固训练34．对于函数，下列结论不正确的是（    ）A．它的图象必经过点B．它的图象经过第一、二、四象限C．当时，D．的值随值的增大而减小【答案】C【分析】根据一次函数的性质，进行判断即可．【解析】解：∵，当时，，当时，，∴图象过点，；∵，∴直线经过第一、二、四象限，的值随值的增大而减小，∴当时，；故结论不正确的是C；故选C．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键．35．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据一次函数的性质进行判断即可．【解析】解：∵，，∴随的增大而减小，∵点，，都在直线上，且，∴；故选A．57 【点睛】本题考查比较一次函数的函数值大小．解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．36．若一次函数（为常数），当自变量满足时，对应的函数值满足，则的值是（    ）A．B．2C．或2D．3或【答案】C【分析】分两种情况考虑：①当时，y随x的增大而增大，当时，时列方程组求解②当时，y随x的增大而减小，当时，时列方程组求解．【解析】解：当时，则有，解得,当时，则有，解得综上可知或o故选：C.【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．题型九一次函数的图像与参数符号的相互判断37．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，57 的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置．【解析】解：函数的图象经过第一、三、四象限，，，函数的图象经过第一、二、三象限．故选：A巩固训练38．下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意．【解析】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A可能，符合题意；B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B不可能，不符合题意；C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C不可能，不符合题意；D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知57 ，故选项D不可能，不符合题意；故选：A．39．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查一次函数图象和性质，采用数形结合的思想是解决本题的关键．首先根据每个函数图象所在的象限，分别确定出各自a、b的符号，再根据各自a、b的符号是否相同逐项判定即可．【解析】解：A、由图知中a>0，，中，a>0，的同时，不可能，图象错误，不符合题意；B、由图知中a>0，，中，a>0，图象正确，符合题意；C、由图知中，，中，a>0，的同时，不可能a>0，图象错误，不符合题意；D、由图知中，，中，，的同时，不可能，图象错误，不符合题意；故选：B．57 40．如图所示，两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（    ）A．  B．  C．  D．  【答案】A【分析】根据选项，结合一次函数图像与表达式系数的关系逐项判断即可得到答案．【解析】解：A、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像正确，该选项符合题意；B、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意；C、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意；D、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查一次函数图像与表达式系数的关系，掌握此类题型的解题方法是解决问题的关键．题型十一次函数的几何应用（坐标轴交点、面积问题）41．一次函数的图象与x轴的交点坐标是．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上两个特殊点（与坐标轴的交点）的求法的解题的关键．根据x轴上点的坐标特点是纵坐标为0，据此进行求解即可．【解析】解：令，则，解得x=−1；故图象与x轴交点坐标是，故答案为：．巩固训练42．已知一次函数与x轴的交点是，与y轴的交点是．【答案】2,0【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，分别令，进行计算即可得出答案．57 【解析】解：在中，当时，，即与y轴的交点是，当时，，解得，即与x轴的交点是，故答案为：，．43．一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是．【答案】6【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，先求出一次函数与x轴，y轴分别交于，再根据三角形面积计算公式求解即可．【解析】解：在中，当时，，当时，，∴一次函数与x轴，y轴分别交于，∴一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是，故答案为：．44．若直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有且仅有6个整点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，根据表达式判断出图象，通过图象找出临界点，再进行计算即可，画出图象，找出临界点是解题的关键．【解析】解：如图，直线一定过点0,4，把代入得，，此时直线与坐标轴围成的三角形内有3个顶点，把，代入得，，此时直线与坐标轴围成的三角形内有6个顶点，直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有且仅有6个整点，的取值范围是．57 45．如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ）A．x=-3B．x=4C．x=D．x=【答案】A【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．【解析】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=ax+b过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．题型十一一次函数与方程、不等式，实际应用46．若函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ）  57 A．B．C．D．【答案】A【分析】利用函数图象的交点坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：观察函数图象得直线与直线的交点坐标为，∴时，，所以关于x的不等式的解集为．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．巩固训练47．一次函数和与的部分对应值如表1，与的部分对应值如表2：0101350-1则当时，的取值范围是（　　）.A．B．C．D．【答案】C【分析】先求得两函数解析式，再根据一次函数的性质求解不等式即可解答.【解析】解：将代入可得：，解得：，∴；同理可得：联立和，解得：∴的解集为；∵，∴，57 ∴的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题、一次函数的解析式、解不等式等知识点，正确求得两函数解析式是解答本题的关键.48．某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差（    ）  A．5元B．10元C．15元D．20元【答案】B【分析】根据图象先求出两条直线的解析式，然后时代入各自的解析式就可以求出各自的付费情况从而求出结论．【解析】解：设种方式直线的解析式为：，种方式直线的解析式为：，由图象可得：，，解得，，这两个函数的解析式分别为：，，当时，，，两种方式的电话费相差：，故选B．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式．49．清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x57 （分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　）  A．乙提速后每分钟攀登30米B．乙攀登到300米时共用时11分钟C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．【答案】D【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．【解析】解：甲的速度为：（米/分），（米/分），即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项B不符合题意；设，，由函数图象得：，解得，∴，∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，∴乙提速后的速度为：30米/分，∴，57 ∴，∴，∴，解得，∴，当时，则，解得，即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意；从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：（米），故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解点的横纵坐标是含义，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键．50．小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城．整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①、两城相距千米；②小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；③小路的车出发后小时追上小带的车；④当时，小带和小路的车相距千米．其中正确的结论有（   ）57 A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②【答案】B【分析】观察图象可判断，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为千米，小带行驶的时间为小时，而小路是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即早到小时，都正确；设小带车离开城的距离与的关系式为，把代入可求得，，设小路车离开城的距离与的关系式为，把1,0和代入可得，解得：，，57 令，可得：，解得：，即小带、小路两直线的交点横坐标为，此时小路出发时间为小时，即小路车出发小时后追上小带车，不正确；令，可得，即，当时，可解得，当时，可解得，又当时，，此时小路还没出发，当时，小路到达城，；综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，正确；故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意是甲车所用的时间．题型十二一次函数的代数应用51．如果Ax1,y1、Bx2,y2是一次函数图象上不同的两点，那么0（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．【解析】，∴一次函数中y随x的增大而减小，∴若，则，若，则，故与始终异号，故．故答案为：<巩固训练52．在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式57 的解集为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据题意可得直线与直线的交点坐标为，再根据一次函数的增减性即可得到答案．【解析】解：直线与直线分别可以看作由直线与直线向左平移2个单位长度得到．∵直线与直线相交于点，直线与直线的交点坐标为，∵在中，在中，∴在中，y随x增大而减小，在中y随x增大而增大，∴不等式的解集为．故选C．53．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则．③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（    ）  A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据一次函数过一，二，四象限，可得，，则，故①符合题意；由57 ，可得随增大而减小，故②不符合题意；当，，，结合函数图象可得：，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意．【解析】解：∵一次函数过一，二，四象限，∴，，∴，故①符合题意；∵，∴随增大而减小，而，是直线上不重合的两点．当，则，则，当，则，则，故②不符合题意；当，，，结合函数图象可得：，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，∴当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，利用两直线的交点坐标确定不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．54．一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是．【答案】【分析】根据函数解析式画出大致的函数图象，找到两次只有一个公共交点的情况，中间即是有两个交点的情况，得出结论．【解析】解：必过，57     ①当，，与有一个公共交点；②当，与的一个分支有一个公共交点；故若一次函数与函数的图象恰好有两个交点是当时．故答案为．【点睛】本题考查了一次函数和的图象，确认两个函数交点情况是解题关键．55．一次函数，当时，函数值y的范围是，那么代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了代数式求值，一次函数的图象与性质，当时，，当时，，可得即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键．【解析】解：由题意可知，当时，，当时，，得：，∴，∴，故答案为：．56．有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（    ）A．21个B．22个C．23个D．24个【答案】C57 【分析】通过一次项系数相等的一次函数图像直线直线平行，得到．一次函数与轴交点为，且，得到这三条直线交于一点．想要直线之间交点尽可能多，则后出现的直线与前面所有直线都有不同交点，画图可得到最多的交点情况，得出最多交点个数．【解析】先画出交于1点，后画分别与前3条直线各有1个交点，与前面6条直线各有1个交点，与前面7条直线各有1个交点．所以最多共有23个交点．故选C．【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键．题型十三一次函数综合解答题57．已知一次函数图象经过点和．求：(1)这个一次函数的解析式．(2)当时，y的值．【答案】(1)(2)-5【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）将代入一次函数的解析式，即可求出y的值．【解析】（1）解：设一次函数的解析式为，57 将点和代入，可得，解得，故这个一次函数的解析式为．（2）解：由（1）知这个一次函数的解析式为，当时，，即y的值是-5．【点睛】本题考查求一次函数解析式和函数值，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式．巩固训练58．已知是的一次函数，且当时，；当时，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，直接写出函数的取值范围，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出和时的函数值，再根据一次函数的性质求解即可．【解析】（1）解：设这个一次函数的表达式为，根据题意得，解得k=−2b=2，∴这个一次函数的表达式为；（2）解：当时，；当时，，∴当时，对应的函数的取值范围为．【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解方程等知识，解题关键是掌握一次函数性质．59．已知直线经过点，，，第一象限内的一点在直线上，点的横坐标为．(1)求直线的解析式；57 (2)点绕着点顺时针旋转得到点，点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点P作轴交于E，过点作轴交于F，可证明，再由边的关系可求点坐标．【解析】（1）解：设直线l的解析式为，将点，，代入，∴，解得，∴；（2）过点P作轴交于E，过点作轴交于F，∵，，∴，∵，∴，∴，当时，，57 ∴，当时，，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定及性质是解题的关键．60．如图，函数与的图象交于点．(1)求出，的值．(2)直接写出的解集．(3)求出的面积．【答案】(1)，；(2)；(3)的面积为．【分析】（1）将代入，求解n的值，再代入，求解m的值即可；（2）根据图象求解即可；（3）求得A、B的坐标，根据三角形的面积公式即可求解．【解析】（1）解：将代入得，，解得，57 将代入得，，解得，∴m，n的值分别为，；（2）解：∵，∴由图象知，不等式的解集为；（3）解：令，则，，∴，，∴，∴的面积为．【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．体会数形结合的思想．61．小明从A地出发向B地行走，同时晓阳从B地出发向A地行走，小明、晓阳离A地的距离y（千米）与已用时间x（分钟）之间的函数关系分别如图中、所示．(1)小明与晓阳出发几分钟时相遇？(2)求晓阳到达A地的时间．【答案】(1)12分钟(2)20分钟【分析】（1）由图可知当二人离A地的距离时，两人相遇，根据图像求出57 的解析式，再代入即可得出答案；（2）根据图象求出晓阳的速度，再根据路程公式即可得出晓阳到达A地的时间．【解析】（1）解：设的解析式为：．∵函数的图象过，，即，，当时，，∴小明与晓阳出发12分钟时相遇．（2）解：∵晓阳的速度为（千米/分钟），∴晓阳到达A地的时间为分钟．【点睛】本题考查利用一次函数图象解决路程问题，分析图象中点的坐标的实际意义是本题解题关键．62．如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．  (1)求AB的长(2)求点C和点D的坐标(3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)5(2)C(8，0)；D(0，-6)57 (3)P点的坐标为(0，12)或(0，-4)【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出OA和OB的长，再根据勾股定理即可求出AB的长；（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，即得出OC=8，即C(8，0)．设OD=x，则DB=x+4．再在Rt△OCD中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；（3）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出BP的值，从而即得出P点坐标；【解析】（1）令x=0得：y=4，∴B(0，4)．∴OB=4令y=0得：，解得：x=3，∴A(3，0)．∴OA=3．在Rt△OAB中，；（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0)．设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．在Rt△OCD中，，即，解得：x=6，∴D(0，-6)；（3）∵，，∴．∵点P在y轴上，，∴，即，解得：BP=8，57 ∴P点的坐标为(0，12)或(0，-4)．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．63．点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点．(1)已知点的坐标为①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______；②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标；(2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．【答案】(1)①或；②或(2)有最小值，最小值为，理由见解析【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可；（2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则，进而得到当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为，进行求解即可．【解析】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图，57 则，点的坐标为，若点为原点，∴轴，关于的等垂点的坐标为或．故答案为：或②Ⅰ．当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图，∵恰好在一次函数的图象上，设∴点的坐标为．，，，．57 在△和中，，，∴，，∴Ⅱ．当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图，恰好在一次函数的图象上，设，同Ⅰ可得：，，综上，点的坐标为或；（2）有最小值，最小值为，理由：过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图，57 则，，，，．，，．在和中，，，，，点的横坐标为5，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则，当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为．过点作于点，则，，，．有最小值，最小值为．【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．57