北师版八年级数学上册 第二章 实数 知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）

第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数59 符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…　（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.　　法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；　法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，59 才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，无理数的个数（    ）59 A．2B．3C．4D．5巩固训练2．在实数，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个3．下列说法正确的是（    ）A．两个无理数的和一定是无理数B．无限小数都是无理数C．实数可以用数轴上的点来表示D．分数可能是无理数4．把下列各数填人相应的集合内：（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），整数集合｛                                …  ｝负分数集合｛                                …｝有理数集合｛                                …｝无理数集合｛                                …｝题型二平方根与算术平方根例题5．下列说法正确的是（    ）A．的立方根是B．的算术平方根是C．的平方根是D．0的平方根与算术平方根都是0巩固训练6．下列计算正确的是（    ）A．B．C．D．7．一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ）A．1B．2C．D．48．下列说法中错误的是（　　）A．是0.25的一个平方根B．正数的两个平方根的和为0C．的平方根是D．当时，有平方根9．的算术平方根等于（    ）59 A．4B．C．2D．题型三平方根、立方根的解方程问题例题10．解方程：(1)(2)7巩固训练11．求出下列的值．(1)；(2)．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a、b为实数，且，则的值为（    ）A．B．C．D．13巩固训练13．已知为实数，且，则的值为（    ）A．B．C．D．14．已知与互为相反数．(1)求、的值．(2)求的平方根．15．已知一个正方形的边长为，面积为，则（    ）A．B．的平方根是C．是的算术平方根D．题型五立方根例题16．对于说法错误的是（  　）A．表示的立方根B．结果等于C．与的结果相等D．没有意义巩固训练17．下列说法正确的是（    ）59 A．任意实数都有平方根B．任意实数都有立方根C．任意实数都有平方根和立方根D．正数的平方根和立方根都只有一个18．．19．，．20．已知，则的值是（　　）A．B．2C．D．3题型六立方根的性质及应用例题21．若，则x和y的关系是（　　）A．x=y=0B．x和y互为相反数C．不能确定D．x和y相等巩固训练22．已知与互为相反数，则．23．的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ）A．B．3C．D．不确定题型七平方根与立方根综合问题例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（　　）A．1B．0或1C．0D．非负数巩固训练25．已知的平方根是，的立方根是2，则，，的算术平方根是．26．如果为的算术平方根，为的立方根，则的平方根为．题型八算术平方根、立方根的实际应用例题27．依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）59   A．2B．C．D．2.5巩固训练28．如图在长方形内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．B．1C．D．29．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题30.如果，，那么．巩固训练31．已知，则的值是（    ）A．B．C．D．32．已知聪明的同学你能不用计算器得出（1）．（2）．题型十用计算器开方例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（    ）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.9巩固训练34．在使用DY-59 570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（    ）A．5B．C．D．2535．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：    则输出结果为（   ）A．8B．4C．D．题型十一整数部分、小数部分问题例题36．若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（    ）A．2B．3C．4D．5巩固训练37．已知的小数部分是，的小数部分是，则．38．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题：(1)介于连续的两个整数和，且，那么，；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；(3)已知：，其中是整数，且，求的值．题型十二实数的大小比较例题40．在实数1，0，，中，最小的是．巩固训练41．比较大小：（填写“＞”或“＜”或“＝”）．59 42．比较大小：（选填“”，“”或“”）题型十三实数与数轴例题43．如图，实数在数轴上的对应点可能是（        ）  A．A点B．B点C．C点D．D点巩固训练44．下列说法正确的是（    ）A．有理数与数轴上的点一一对应B．是一个近似值，不是准确值C．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．  (1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；  (3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数．题型十四无理数的估算例题46．估计的值应在（    ）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间巩固训练47．已知，，是连续的正整数，则的值为（    ）A．4B．5C．6D．748．是连续的两个整数，若，则的值为．59 49．下面是小李同学探索的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是，且，∴设，其中，画出如图示意图，∵图中，．∴，当较小时，省略，得，得到，即．  (1)的整数部分是______；(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算______．（用a、b的代数式表示）题型十五程序框图例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是．巩固训练51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是．59 52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.题型十六材料信息题例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是．（填写序号）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…巩固训练54．对于任何实数a，我们规定：用符号表示不超过a的最大整数，例如：，，．现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（　　）59 A．B．C．D．巩固训练56．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是．57．已知，则的取值范围是.58．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为．59．已知x、y为实数，且，则x、y的值分别为（　　）A．9、4B．2、3C．4、9D．3、4题型十八二次根式的化简例题60．化简：巩固训练61．若，则化简后的结果是（    ）A．B．C．D．62．实数对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）A．B．C．5D．63．如果，那么的取值范围是（    ）A．B．C．D．题型十九最简二次根式等有关概念例题64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）A．B．C．D．巩固训练65．下列根式中，是最简二次根式的是（  ）A．B．C．D．66．下列各组二次根式中，能合并的是(   )A．和B．和C．和D．和59 67．若最简二次根式与是同类二次根式，则．68．如果最简二次根式和能合并，则x的值为（    ）A．B．C．2D．5题型二十二次根式的运算例题69．下列运算正确的是（    ）A．B．C．D．巩固训练70．下列运算正确的是（    ）A．B．C．D．71．计算：(1)；(2)；(3)．72．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．73．计算：．题型二十一二次根式的应用例题74．李老师家装修，长方形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为59 的长方形大理石图案（图中阴影部分）．  (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）巩固训练75．快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：型号长宽小号中号大号已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为，，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱?76．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．(1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；(2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长．59 59 第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数59 符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…　（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.　　法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；　法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，59 才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，无理数的个数（    ）59 A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解析】解：3.1415926、0.2都是有限小数，是有理数，、都是分数，是有理数，是整数，是有理数，、是无理数，共2个，故选：A．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有∶π、2π等；开方开不尽的数；以及像0．01010010001⋯，等有这样规律的数．巩固训练2．在实数，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】根据无理数的三种形式求解即可．【解析】解：在这8个数中，无理数有、、、（每各一个1增加一个这4个，故选：C．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．3．下列说法正确的是（    ）A．两个无理数的和一定是无理数B．无限小数都是无理数C．实数可以用数轴上的点来表示D．分数可能是无理数【答案】C【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．59 【解析】A.两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．4．把下列各数填人相应的集合内：（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），整数集合｛                                …  ｝负分数集合｛                                …｝有理数集合｛                                …｝无理数集合｛                                …｝【答案】见解析【分析】根据有理数、无理数、整数、负分数的定义分别判断即可得出答案．【解析】解：整数集合｛；…  ｝负分数集合｛；…｝有理数集合｛；…｝无理数集合｛（相邻两个8之间依次多1个0），  …｝【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、整数、负分数的定义注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，1.18080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．题型二平方根与算术平方根例题5．下列说法正确的是（    ）A．的立方根是B．的算术平方根是C．的平方根是D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．59 【解析】解：A．的立方根是，故此选项不符合题意；B．的算术平方根是4，故此选项不符合题意；C．的平方根是，故此选项不符合题意；D．0的平方根与算术平方根都是0，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．巩固训练6．下列计算正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平方根和算术平方根的法则分别计算，进而判断得出答案．【解析】解：A．，故此选项正确，符合题意；B．，故此选项错误，不合题意；C．，故此选项错误，不合题意；D．，故此选项错误，不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根，正确化简各数是解题关键．7．一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ）A．1B．2C．D．4【答案】D【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据平方根的定义可知，解方程即可．【解析】解：由题意得：，解得：，∴这个正数为，故选：D．59 8．下列说法中错误的是（　　）A．是0.25的一个平方根B．正数的两个平方根的和为0C．的平方根是D．当时，有平方根【答案】D【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解析】解：是的一个平方根，故选项A正确，不符合题意；因为正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，故选项B正确，不符合题意；的平方根是，故选项C正确，不符合题意；因为负数没有平方根，故当时，没有平方根，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查平方根，解答本题的关键是明确什么是平方根，可以判断各个选项是否正确．9．的算术平方根等于（    ）A．4B．C．2D．【答案】C【分析】计算，由此解答即可．【解析】解：∵，∴的算术平方根是2，故选：C．【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．题型三平方根、立方根的解方程问题例题10．解方程：(1)(2)7【答案】(1)或(2)59 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求立方根的方法解方程即可．【解析】（1）解：∵，∴或，∴或；（2）解：∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法是解题的关键．巩固训练11．求出下列的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先移项，再根据平方根的定义解答；（2）两边同时除以后开立方即可求得的值．【解析】（1）解：，∴，解得：；（2），∴，∴，59 解得：．【点睛】本题考查了根据平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a、b为实数，且，则的值为（    ）A．B．C．D．13【答案】A【分析】应用算术平方根及绝对值的非负性，非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题，进行计算即可得出答案．【解析】解：，，故选A．【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根及绝对值的非负性进行求解是解题的关键．巩固训练13．已知为实数，且，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性即可解答．【解析】解：∵，∴，，∴，，∴，故选．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，平方的非负性，一元一次方程的实际应用，掌握二次根式的非负性及平方的非负性是解题的关键．59 14．已知与互为相反数．(1)求、的值．(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由相反数的性质可得，再根据非负数的性质建立方程求解即可.（2）根据（1）的结论求得代数式的值，进而求平方根即可求解．【解析】（1）解：由题意得：，∴，，解得：，，（2）解：∵，，∵，∴的平方根为.【点睛】本题考查的是相反数的含义，非负数的性质，平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键.15．已知一个正方形的边长为，面积为，则（    ）A．B．的平方根是C．是的算术平方根D．【答案】C【分析】根据算术平方根和平方根的定义，即可解答．【解析】解：根据题意得：，是的算术平方根，的平方根是，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，解决本题的关键是对算术平方根和平方根的定义的理解．题型五立方根例题59 16．对于说法错误的是（  　）A．表示的立方根B．结果等于C．与的结果相等D．没有意义【答案】D【分析】根据立方根的定义，对各选项分析判断后进行求解.【解析】解：A、表示的立方根，说法正确，不符合题意；B、，说法正确，不符合题意；C、与的结果相等，说法正确，不符合题意；D、有意义，说法错误，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了立方根的定义，是基础题，比较简单.巩固训练17．下列说法正确的是（    ）A．任意实数都有平方根B．任意实数都有立方根C．任意实数都有平方根和立方根D．正数的平方根和立方根都只有一个【答案】B【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．【解析】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．18．．【答案】【分析】根据立方与开立方为互逆运算即可解答．【解析】，故答案为：．59 【点睛】本题考查了立方与立方根，解题的关键是熟知立方与开立方为互逆运算．19．，．【答案】3；．【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义解答即可．【解析】解：，，故答案为：3；．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根；正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．20．已知，则的值是（　　）A．B．2C．D．3【答案】D【分析】先根据立方根的定义求出的值，再根据算术平方根的定义计算求解即可．【解析】解：，，解得，∴，故选：D．【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题的关键．题型六立方根的性质及应用例题21．若，则x和y的关系是（　　）A．x=y=0B．x和y互为相反数C．不能确定D．x和y相等【答案】D【分析】先移项，再两边立方，即可得出，得出选项即可．59 【解析】∵,∴,∴，即x和y相等，故选D．【点睛】考查了立方根的应用，解此题的关键是能得出．巩固训练22．已知与互为相反数，则．【答案】6【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而代入计算得出答案．【解析】解：由题意可知：，解得：．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确得出x的值是解题关键．23．的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ）A．B．3C．D．不确定【答案】B【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案；【解析】解：∵的平方根为，的立方根为2，∴，，解得：，，∴，故选B；【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解．题型七平方根与立方根综合问题例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（　　）A．1B．0或1C．0D．非负数【答案】B59 【分析】根据算术平方根及立方根定义，结合四个选项中的数逐项验证即可得到答案．【解析】解：0的算术平方根为0；0的立方根为0；1的算术平方根为1；1的立方根为1；若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是0或1，故选：B．【点睛】本题考查算术平方根及立方根定义，理解题意，弄清楚一个数的算术平方根与它的立方根相同的含义是解决问题的关键．巩固训练25．已知的平方根是，的立方根是2，则，，的算术平方根是．【答案】592【分析】根据平方根的定义和立方根的定义列方程，求解即可得到、的值，再代入，即可求出其算术平方根．【解析】解：的平方根是，，；的立方根是2，，；，的算术平方根为，故答案为：5；9；2．【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值，掌握相关定义正确计算是解题关键．26．如果为的算术平方根，为的立方根，则的平方根为．【答案】【分析】先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出、，再代入、求出结果，进而得到的平方根．【解析】解：∵为的算术平方根，为的立方根，∴，59 解得：，∴，，∴，∴的平方根为．故答案为：．【点睛】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．题型八算术平方根、立方根的实际应用例题27．依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）  A．2B．C．D．2.5【答案】B【分析】首先求出阴影正方形的面积，即可得出边长．【解析】解：阴影正方形的面积为，∴阴影正方形的边长是，故选B．【点睛】本题考查了算术平方根的应用，关键是明确算术平方根的意义．巩固训练28．如图在长方形内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．B．1C．D．59 【答案】D【分析】由两个小正方形的面积分别为1、2，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于，宽等于的长方形，从而可得答案．【解析】解：面积为2的正方形的边长为：，面积为1的正方形的边长为：，则阴影部分面积为：，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．29．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是．【答案】2【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案．【解析】解：设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得：，整理得：，解得：，截去的每个小正方体的棱长是，故答案为：．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题30．如果，，那么．【答案】【分析】根据立方根的性质，即可解答．【解析】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了立方根；解决本题的关键是熟记立方根的性质．巩固训练31．已知，则的值是（    ）59 A．B．C．D．【答案】D【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案．【解析】∵，∴故选：D．【点睛】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位．32．已知聪明的同学你能不用计算器得出（1）．（2）．【答案】【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可．【解析】解：（1）∵，∴．（2）∵，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键．题型十用计算器开方例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（    ）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.9【答案】B【分析】由按键顺序可知算式为，然后估算出的取值范围即可．【解析】解：由按键顺序可知算式为：，59 ∵，∴，∴，∴计算器显示的结果与各数中最接近的一个是0.6，故选：B．【点睛】本题考查了科学计算器的使用，无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．巩固训练34．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（    ）A．5B．C．D．25【答案】A【分析】根据题目中的按键顺序逐步计算，找到显示的数的周期规律，即可得到答案．【解析】解：根据题意，第一步结果：52=25第二步结果：第三步结果：第四步结果：第五步结果：25第六步结果：…得数规律为：25、、、、25、5、…2022÷6=337∴第2022步之后，显示的结果是：5故选A．59 【点睛】本题考查了计算器的使用方法，实数的平方与开方运算，弄清按键顺序并找到得数周期规律是解题关键．35．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：    则输出结果为（   ）A．8B．4C．D．【答案】D【分析】根据算术平方根的第二功能是立方根，列式计算即可．【解析】解：由题意可得：，故选D．【点睛】本题考查了计算器，掌握算术平方根的第二功能是立方根是解题的关键．题型十一整数部分、小数部分问题例题36．若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】先估算出的值的范围，从而求出，然后再估算出的值的范围，即可解答．【解析】∵，∴，∴的整数部分为7，∴，∴m的算术平方根为，∵，∴，∴的值最接近整数3，故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．59 巩固训练37．已知的小数部分是，的小数部分是，则．【答案】1【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出的值，代入进行计算即可得到答案．【解析】解：，，，，，的小数部分是，的小数部分是，，，，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确得出的值是解题的关键．38．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则．【答案】【分析】根据平方根的定义，求出a的值，再根据无理数的估算，求出c的值，进而得出的整数部分和小数部分，即可得出m和n的值，带入求解即可．【解析】解：∵正数x的两个不等的平方根分别是和，∴，解得：，∵，∴的整数部分为2，即，∴，∵，∴，59 ∴，∴整数部分为7，小数部分为，∵，m为整数，，∴，∴【点睛】本题主要考查了平方根的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；以及掌握估算无理数的方法．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题：(1)介于连续的两个整数和，且，那么，；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；(3)已知：，其中是整数，且，求的值．【答案】(1)3，4(2)1(3)【分析】（1）根据算术平方根的定义，由，，而可得答案；（2）估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可；（3）估算的大小，进而得出的大小，确定、的值，再代入计算即可．【解析】（1），，而，，介于连续的两个整数和，且，，，故答案为：3，4；（2），，59 的小数部分，的整数部分，，答：的值为1；（3），，又，其中是整数，且，，，．【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是正确解答的关键．题型十二实数的大小比较例题40．在实数1，0，，中，最小的是．【答案】【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．【解析】解：根据正数负数，∴最小的数在负数中，∵，∴，∴最小的数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．巩固训练41．比较大小：（填写“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】根据，，根据不等式性质判断即可．59 【解析】∵，，∴，∴，故答案为：＞．【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握二次根式的化简，无理数的估算，不等式的性质是解题的关键．42．比较大小：（选填“”，“”或“”）【答案】＞【分析】可以根据不等式的性质进行判断即可.【解析】故答案为＞【点睛】考查有理数的大小比较，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.题型十三实数与数轴例题43．如图，实数在数轴上的对应点可能是（        ）  A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【分析】根据无理数估算方法估算的大小，即可判断．【解析】解：∵，∴∴，∴，59 ∴实数在数轴上的对应点可能是B点故选B．【点睛】此题考查了无理数的估算，无理数与数轴的对应关系，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．巩固训练44．下列说法正确的是（    ）A．有理数与数轴上的点一一对应B．是一个近似值，不是准确值C．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D．任意一个无理数的绝对值都是正数【答案】D【分析】根据实数与数轴、无理数、绝对值的意义逐项判断即可解答．【解析】解：A、实数与数轴上的点一一对应，故A说法错误，不符合题意；B、是一个无理数，是无限不循环小数，不是一个近似值，故B说法错误，不符合题意；C、两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果是一个分数，一定是一个有理数，故C说法错误，不符合题意；D、任意一个无理数的绝对值都是正数，故D说法正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查无理数与有理数、实数与数轴、绝对值的意义，理解无理数的概念是解答的关键．45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．  (1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；  (3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数．【答案】(1)17，59 (2)见解析(3)【分析】（1）图中阴影部分（正方形）的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；利用勾股定理即可求出边长；（2）先过数轴上表示4的点作垂线，再以数轴上表示4的点为圆心、1半径画弧，在数轴上方交垂线于点，然后设数轴上表示0的点为点，以点为圆心、长为半径画弧，交数轴于点，由此即可得；（3）设点表示的数为，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得．【解析】（1）解：图中阴影部分（正方形）的面积是，边长是，故答案为：17，．（2）解：如图，点即为所求．  ．（3）解：如图，设点表示的数为，由题意得：，解得，所以点表示的数为．  ．【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十四无理数的估算例题59 46．估计的值应在（    ）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】B【分析】根据利用夹逼法得到取值范围，即可得到答案；【解析】解：由题意可得，，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形．巩固训练47．已知，，是连续的正整数，则的值为（    ）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．【解析】解：∵，∴．∵，为两个连续整数，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出，的值是解答此题的关键．48．是连续的两个整数，若，则的值为．【答案】【分析】根据无理数的估算即求出的值，代入计算即可．【解析】解：∵，59 ∴，∵是连续的两个整数，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．49．下面是小李同学探索的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是，且，∴设，其中，画出如图示意图，∵图中，．∴，当较小时，省略，得，得到，即．  (1)的整数部分是______；(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算______．（用a、b的代数式表示）【答案】(1)8(2)画图见解析，(3)【分析】（1）先判断，从而可得的整数部分；59 （2）设，其中，再画图，可得，当较小时，省略，得，再解方程可得答案；（3）如图，设，可得正方形的面积为：，而，当较小时，省略，得，可得，从而可得答案．【解析】（1）解：∵，∴，∴的整数部分是；（2）∵面积为74的正方形边长是，且，∴设，其中，如图所示，  ∵图中，∴，当较小时，省略，得，得到，即．（3）如图，设，  正方形的面积为：，而，59 当较小时，省略，得，∴，∴．【点睛】本题考查了类比推理的运用以及估算能力，分式的加减运算，关键在于理解题意并作出分析．题型十五程序框图例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是．【答案】或【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．【解析】解：若1次运算输出的值是时，，，解得：或；若2次运算输出的值是时，，，解答：或；若3次运算输出的值是时，，，解答：或；，且取负整数，或，故答案为：或．巩固训练59 51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是．【答案】【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据运算程序进行计算即可．【解析】解：根据步骤，输入64，先有，是有理数，是有理数，返回到第一步，取2的立方根是，是无理数，最后输出故答案为：．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.【答案】(1)(2)0和1(3)5【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；59 （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．【解析】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，继续取6算术平方根，是无理数，所以输出的y值为；故答案为：；（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；故答案为：0，1；（3）∵输出的，∴，∴输入的，当时，5的算术平方根是，是无理数，所以输出的y值为，∴x的最小整数值是．题型十六材料信息题例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是．（填写序号）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…【答案】①②③【分析】由表格中的信息：①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；②利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；③先确定的范围，再判断的范围判断；59 ④先估计的值，再判断即可．【解析】解：①∵，∴，故①正确；②∵，，∴，故②正确；③∵，∴，其中整数有：，，共3个，故③正确；④由①知：，∴，故④错误．综上，正确的是：①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查无理数的估计，解答时需要从表格中获取信息，运用到无理数大小比较，有理数的运算，整数的概念等，熟练掌握被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律是解题的关键．巩固训练54．对于任何实数a，我们规定：用符号表示不超过a的最大整数，例如：，，．现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．【答案】255【分析】按照规律，根据算术平方根的意义，进行计算即可解答．【解析】解：，，，，，，，，，，∴对只需进行3次操作后变成1．，，，，59 ∴对只需进行4次操作后变成1．∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是．故答案为：．【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解析】解：A．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．中被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．巩固训练56．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是．【答案】【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．【解析】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴，解得，即的取值范围是，故答案为：【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．57．已知，则的取值范围是.59 【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案．【解析】解：，，且，解得，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式被开方式非负是解决问题的关键．58．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为．【答案】【分析】根据当是最小的完全平方数时，n最小，从而得出答案．【解析】解：∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．59．已知x、y为实数，且，则x、y的值分别为（　　）A．9、4B．2、3C．4、9D．3、4【答案】A【分析】由二次根式的定义，得不等式组，求解得字母值．【解析】解：∵与都有意义，∴，解得：，∴，故选：A．【点睛】本题考查二次根式的定义，解一元一次不等式组；根据二次根式定义构建不等式组是解题的关键．题型十八二次根式的化简例题59 60．化简：【答案】/【分析】利用二次根式的性质：即可求解．【解析】解：，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．巩固训练61．若，则化简后的结果是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据有意义可得，再结合，化简．【解析】解：∵有意义，∴，∵∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键．62．实数对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）A．B．C．5D．【答案】C【分析】根据实数对应的点在数轴上的位置得m的取值范围，即可进行化简求值．【解析】解：根据实数对应的点在数轴上的位置得，∴，59 ∴，故选：C【点睛】此题考查了算术平方根，熟练算术平方根的性质是解题的关键．63．如果，那么的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【解析】解：，得，，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】最简二次根式必须同时满足以下条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；据此进行逐一判断即可．【解析】解：A.，故此项错误；B.，故此项错误；C.符合最简二次根式的定义，故此项正确；D.，故此项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，理解定义是解题的关键．题型十九最简二次根式等有关概念例题65．下列根式中，是最简二次根式的是（  ）A．B．C．D．【答案】C59 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．【解析】A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；B、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；C、是最简二次根式，该选项符合题意；D、，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查最简二次根式的识别，牢记最简二次根式的定义（被开方数中不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式）是解题的关键．巩固训练66．下列各组二次根式中，能合并的是(   )A．和B．和C．和D．和【答案】C【分析】首先把二次根式化简，化简后被开方数相同的能够合并．【解析】、和，不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，排除；、，，不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，排除；、，，是同类二次根式，可以合并，符合题意；、不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，排除；故选：．【点睛】此题考查了最简二次根式的条件及合并同类二次根式，解题的关键是熟记同类二次根式．67．若最简二次根式与是同类二次根式，则．【答案】//【分析】由同类二次根式的定义可知，，从而可求得、的值，最后代入计算即可．【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，，．解得：，．59 ．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义得到关于、的方程组是解题的关键．68．如果最简二次根式和能合并，则x的值为（    ）A．B．C．2D．5【答案】C【分析】根据最简根式能合并，那么被开方数相同，据此求解即可．【解析】解：∵最简二次根式和能合并，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解一元一次方程，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．题型二十二次根式的运算例题69．下列运算正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则即可判断．【解析】解：A.，计算错误，故不符合题意；B.，计算错误，故不符合题意；C.，计算正确，故符合题意；D.，计算错误，故不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．巩固训练59 70．下列运算正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．根据二次根式的加减法则和二次根式的乘除法法则进行计算，再得出选项即可．【解析】解：A．和不能合并，此选项原计算错误，不符合题意；B．，此选项原计算错误，不符合题意；C．，此选项原计算错误，不符合题意；D．，正确，故本选项符合题意；故选：D．71．计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算．（1）先化简二次根式，再计算加减法；（2）先算乘除法，再算加减法；（3）根据二次根式乘法和平方差公式计算即可求解．【解析】（1）解：59 ；（2）解：；（3）．72．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)6(3)(4)【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简等知识．（1）先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的性质合并同类项即可；（2）先利用二次根式的性质化简，再按从左到右计算二次根式的乘除法．（3）先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的乘除法．最后计算二次根式的加减法．（4）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再合并同类项即可．59 【解析】（1）解：（2）（3）（4）73．计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，先逐项化简，再合并同类二次根式即可．【解析】解：．题型二十一二次根式的应用例题59 74．李老师家装修，长方形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的长方形大理石图案（图中阴影部分）．  (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【答案】(1)m(2)元【分析】（1）利用长方形周长公式进行列式计算即可；（2）分别计算长方形的面积、大理石的面积、壁纸的面积，利用对应的单价乘以面积再求和即可得到整个电视背景墙需要花费的钱数．【解析】（1）解：长方形的周长为：m，即矩形的周长为m；（2）长方形的面积：（），大理石的面积：（），壁纸的面积：（），总费用：（元），答：整个电视背景墙需要花费元．【点睛】此考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．巩固训练75．快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：型号长宽小号59 中号大号已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为，，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱?【答案】从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．【分析】本题考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是掌握相关的知识．先根据甲、乙两件礼品的底面积分别求出底面边长，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，即可求解．【解析】解：甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为．，，，小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中，从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．76．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．(1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；(2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长．【答案】(1)；(2)，59 【分析】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键．（1）根据公式先求出，再求出即可；（2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可．【解析】（1）解：，，的面积是；（2）解：，即，，．59