2025年高考数学一轮复习教学课件第9章 第2课时　二项式定理

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 第2课时　二项式定理对应学生用书第242页 考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 链接教材　夯基固本第2课时　二项式定理1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝_____________________________________(n∈N＊)；(2)通项公式：Tk＋1＝an－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展开式的第____项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为.提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bnk＋1 2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数____．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＝__．[常用结论]．＋…＝＋…＝2n-1.．＝.相等2n 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换．()××√√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()A．6B．－6C．24D．－24A[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为＝6.故选A.]2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为()A．－40B．－40x2C．40D．40x2B[的展开式的中间项为(2x)3·＝－40x2.故选B.]√√ 3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为()A．252x3B．210x4C．252x5D．210x6C[由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝xk，且有＝，因此n＝10.故二项式系数最大的项为x5＝252x5.故选C.]4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．－15[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2.故x2的系数为－15．]√－15 典例精研　核心考点第2课时　二项式定理考点一　二项展开式的通项公式的应用考向1形如(a＋b)n的展开式问题[典例1](1)(2023·北京高考)的展开式中，x的系数是()A．－40B．40C．－80D．80(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．√165 (1)D(2)165[(1)由二项式定理可知展开式的第k＋1项，Tk＋1＝(2x)5-k＝x5-2k(k＝0，1，…，5)，令5－2k＝1，可得k＝2．即含x的项为第3项，所以T3＝80x，故x的系数为80.故选D.(2)由题意，(＋x)9的通项为Tk＋1＝)9-kxk(k＝0，1，2，…，9)，当k＝0时，可得常数项为T1＝)9＝16；若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．] 考向2形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题[典例2](1)(2024·广东佛山开学考试)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是()A．－23B．－3C．3D．15(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答)(1)A(2)－28[(1)由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故选A.(2)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6－x3y5＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．]√－28 考向3形如(a＋b＋c)n的展开式问题[典例3](2024·河北沧州模拟)(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A．－10B．10C．－30D．30C[(x2－x＋y)5表示5个因式x2－x＋y的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－x，即可得到x5y2的系数，所以展开式中含x5y2的项为(x2)2×(－x)＝－30x5y2，故展开式中x5y2的系数为－30.故选C.]√ 名师点评几种求展开式特定项的解法(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项． [跟进训练]1．(1)(2024·广东揭阳开学考试)已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为()A．2B．－1C．1D．－2(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()A．60B．80C．84D．120(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________．√√92 (1)C(2)D(3)92[(1)(x＋1)4的展开式中x2的系数为＝6，x3的系数为＝4，所以(ax－2)·(x＋1)4的展开式中x3的系数为6a－2×4＝6a－8，依题意得6a－8＝－2，得a＝1.故选C.(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝＝，所以x2的系数为＝120.故选D.(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为35＋(－1)34＋(－1)233＋(－1)332＋(－1)431＋(－1)530＝92.法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝(1＋2x)5＋(1＋2x)4(－3x2)＋(1＋2x)3(－3x2)2＋(1＋2x)2(－3x2)3＋(1＋2x)(－3x2)4＋(－3x2)5，所以x5的系数为25＋×23×(－3)＋×2×(－3)2＝92.] 考点二　二项式系数与项的系数问题考向1二项式系数和与系数和[典例4](1)(多选)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，下列命题正确的是()A．展开式中所有项的二项式系数和为22023B．展开式中所有偶数项系数的和为C．展开式中所有奇数项系数的和为D．＋…＋＝－1(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为____________．√√√－3或1 (1)ACD(2)－3或1[(1)由二项式知＝22023，A正确；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝＝－，B错误；由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝，C正确；令x＝可得a0＋＋…＋＝0，又a0＝1，所以＋…＋＝－1，D正确．故选ACD.(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．] 考向2二项式系数的性质[典例5]若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．4[根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9，10，11，令x＝1，有(m－1)n＝2n，当n＝9，11时，m＝3；当n＝10时，m＝3或－1，故有序实数对(m，n)共有4组不同的解，分别为(3，9)，(3，11)，(－1，10)，(3，10)．]4 名师点评赋值法的应用(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)．②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂． [跟进训练]2．(1)(多选)在二项式的展开式中，下列说法正确的是()A．常数项是B．各项的系数和是64C．第4项的二项式系数最大D．奇数项的二项式系数和为－32(2)(2024·广东广州模拟)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．√√364 (1)AC(2)364[(1)二项式的展开式通项为Tk＋1＝＝.令3－k＝0，可得k＝2，故常数项是＝，A正确；各项的系数和是＝，B错误；二项式展开式共7项，故第4项的二项式系数最大，C正确；奇数项的二项式系数和为25＝32，D错误．故选AC.(2)令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－1)6＝1，两式相加，除以2，得：a0＋a2＋a4＋a6＝365，当x＝0时，a0＝1，所以a2＋a4＋a6＝364．] 考点三　二项式定理的应用[典例6](1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为()A．1.12B．1.13C．1.14D．1.20√(1)B(2)B[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝522023－522022＋522021－…＋52－＋a，因为512023＋a能被13整除，结合选项，所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1.(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.]√ 名师点评二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. [跟进训练]3．(2024·华中师大一附中模拟)组合数被9除的余数是________．8＝，＝×234＝233＝811＝(9－1)11＝·91－·90＝9k－1＝9(k－1)＋8，其中k∈N，∴该组合数被9除的余数是8．]8 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(六十四)二项式定理 THANKS