2025年高考数学一轮讲义第9章 第2课时　二项式定理

第2课时　二项式定理[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝___________________________(n∈N＊)；(2)通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展开式的第______项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，…，Cnn.提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数____．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn＝____．[常用结论]1．Cn0+Cn2+Cn4＋…＝Cn1+Cn3+Cn5＋…＝2n-1.2．Cn+1m＝Cnm-1+Cnm.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1Cnkan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)(4)通项Tk＋1＝Cnkan－kbk中的a和b不能互换．(　　)二、教材经典衍生5/5 1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)A．6　　B．－6　C．24　　D．－242．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)2x-134x6的展开式的中间项为(　　)A．－40　B．－40x2C．40　D．40x23．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　)A．252x3　B．210x4C．252x5　D．210x64．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．考点一　二项展开式的通项公式的应用　形如(a＋b)n的展开式问题[典例1]　(1)(2023·北京高考)2x-1x5的展开式中，x的系数是(　　)A．－40　　B．40　　C．－80　　D．80(2)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题[典例2]　(1)(2024·广东佛山开学考试)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是(　　)A．－23　B．－35/5 C．3　D．15(2)(2022·新高考Ⅰ卷)1-yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　形如(a＋b＋c)n的展开式问题[典例3]　(2024·河北沧州模拟)(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)A．－10　B．10C．－30　D．30[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　几种求展开式特定项的解法(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．[跟进训练]1．(1)(2024·广东揭阳开学考试)已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为(　　)A．2　B．－1C．1　D．－2(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)A．60　B．80C．84　D．1205/5 (3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________．考点二　二项式系数与项的系数问题　二项式系数和与系数和[典例4]　(1)(多选)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，下列命题正确的是(　　)A．展开式中所有项的二项式系数和为22023B．展开式中所有偶数项系数的和为32023+12C．展开式中所有奇数项系数的和为32023-12D．a12+a222+a323＋…＋a202322023＝－1(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二项式系数的性质[典例5]　若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　赋值法的应用(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnkxk＋…＋Cnnxn.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)．②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1+f-12.③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1-f-12.5/5 提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．[跟进训练]2．(1)(多选)在二项式x-12x6的展开式中，下列说法正确的是(　　)A．常数项是154B．各项的系数和是64C．第4项的二项式系数最大D．奇数项的二项式系数和为－32(2)(2024·广东广州模拟)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．考点三　二项式定理的应用[典例6]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于(　　)A．0　B．1C．11　D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)A．1.12　B．1.13C．1.14　D．1.20[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.[跟进训练]3．(2024·华中师大一附中模拟)组合数C340+C342+C344+…+C3434被9除的余数是________．5/5