2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第10章　§10.3　二项式定理

§10.3　二项式定理考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝，它表示展开式的第项二项式系数(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝.常用结论1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．C＝C＋C.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　　)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　　)教材改编题1.10的展开式中x2的系数等于(　　)A．45B．20C．－30D．－902．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)A．31B．32C．15D．163．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．4 题型一　通项公式的应用命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1　(1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)A．－45B．－10C．45D．65(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)A．56B．84C．112D．168(2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为(　　)A．3204B．－160C．160D．－320听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．题型二　二项式系数与项的系数问题命题点1　二项式系数和与系数和例3　(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)A．二项式系数和为32B．各项系数和为128C．常数项为－1354 D．常数项为135(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　系数与二项式系数的最值问题例4　(多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是(　　)A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2　(1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是(　　)A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项(2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．题型三　二项式定理的综合应用例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于(　　)A．0B．1C．11D．12(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34听课记录：______________________________________________________________4 ________________________________________________________________________思维升华　二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)A．－3B．2C．10D．11(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)A．0.940B．0.941C．0.942D．0.9434