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2024年高考数学一轮复习讲义(学生版)第10章 §10.3 二项式定理
2024年高考数学一轮复习讲义(学生版)第10章 §10.3 二项式定理
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§10.3 二项式定理考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理二项式定理(a+b)n=(n∈N*)二项展开式的通项Tk+1=,它表示展开式的第项二项式系数(k=0,1,…,n)2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数.(2)增减性与最大值:当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和:(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为C+C+C+…+C=.常用结论1.C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.2.C=C+C.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.( )(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a,b无关.( )(3)通项公式Tk+1=Can-kbk中的a和b不能互换.( )(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的.( )教材改编题1.10的展开式中x2的系数等于( )A.45B.20C.-30D.-902.已知C+2C+22C+23C+…+2nC=243,则C+C+C+…+C等于( )A.31B.32C.15D.163.若n的展开式中二项式系数之和为64,则展开式的常数项为________.4 题型一 通项公式的应用命题点1 形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1 (1)二项式10的展开式中的常数项是( )A.-45B.-10C.45D.65(2)已知5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=__________.听课记录:______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题例2 (1)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.56B.84C.112D.168(2)在(2x+a)6的展开式中,x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为( )A.3204B.-160C.160D.-320听课记录:______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).(2)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________;系数为有理数的项的个数是________.题型二 二项式系数与项的系数问题命题点1 二项式系数和与系数和例3 (1)在n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则( )A.二项式系数和为32B.各项系数和为128C.常数项为-1354 D.常数项为135(2)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=________;a1+2a2+3a3+…+10a10=________.听课记录:______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2 系数与二项式系数的最值问题例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是( )A.常数项为-160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为1听课记录:______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 赋值法的应用一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)].跟踪训练2 (1)(多选)对于6的展开式,下列说法正确的是( )A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为64C.常数项为1215D.系数最大的项为第3项(2)设10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2的值为________.题型三 二项式定理的综合应用例5 (1)设a∈Z,且0≤a≤13,若512023+a能被13整除,则a等于( )A.0B.1C.11D.12(2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是( )A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34听课记录:______________________________________________________________4 ________________________________________________________________________思维升华 二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.跟踪训练3 (1)设n为奇数,那么11n+C·11n-1+C·11n-2+…+C·11-1除以13的余数是( )A.-3B.2C.10D.11(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )A.0.940B.0.941C.0.942D.0.9434
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高考 - 一轮复习
发布时间:2024-09-13 11:00:01
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文章作者:180****8757
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