2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.3　二项式定理

§10.3　二项式定理考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数C(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.常用结论1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．C＝C＋C.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　×　)(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　×　)教材改编题1.10的展开式中x2的系数等于(　　)A．45B．20C．－30D．－90答案　A11 解析　因为展开式的通项为Tk＋1＝，令－10＋k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)A．31B．32C．15D．16答案　A解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案　20解析　因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝C＝20.题型一　通项公式的应用命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1　(1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)A．－45B．－10C．45D．65答案　C解析　由二项式定理得Tk＋1＝C10－k(－x2)k＝，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45.(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.答案　±1解析　5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝(－a)kC.由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，得k＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题11 例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)A．56B．84C．112D．168答案　D解析　在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.(2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为(　　)A．3204B．－160C．160D．－320答案　D解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C·x6－k·k＝C·2k·x6－2k，2xTk＋1＝C·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，aTk＋1＝aC·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，则aC·22＝60a＝－120，解得a＝－2，∵7－2k≠0，在－2Tk＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，∴展开式中的常数项为－2C·23＝－320.思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．答案　－28解析　(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令k＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案　16　5解析　由题意得，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个．题型二　二项式系数与项的系数问题命题点1　二项式系数和与系数和11 例3　(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)A．二项式系数和为32B．各项系数和为128C．常数项为－135D．常数项为135答案　D解析　令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；6的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)6－k·k＝C·(－1)k36－k·，令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确．(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.答案　300　5120解析　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5120.命题点2　系数与二项式系数的最值问题例4　(多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是(　　)A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1答案　ACD解析　6展开式的通项为Tk＋1＝C·6－k·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；11 对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．思维升华　赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2　(1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是(　　)A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项答案　ABC解析　6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确；在6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确；展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝(－3)kCx12－3k(0≤k≤6，k∈N)，令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C＝1215，故C正确；由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C＝135，第5项系数为(－3)4C＝1215，第7项系数为(－3)6C＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确．(2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．答案　1解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10，故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1.题型三　二项式定理的综合应用例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于(　　)A．0B．1C．11D．12答案　B解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，11 所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝C522023－C522022＋C522021－…＋C52－C＋a，因为512023＋a能被13整除，所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案　D解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华　二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)A．－3B．2C．10D．11答案　C解析　11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，因为n为奇数，则上式＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案　B解析　0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.11 课时精练1.5的展开式中x4的系数为(　　)A．10B．20C．40D．80答案　C解析　由题意可得Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝(－1)kC·2k·x10－3k，令10－3k＝4，则k＝2，所以所求系数为(－1)2C·22＝40.2．(多选)若6的展开式中的常数项为，则实数a的值可能为(　　)A．2B.C．－2D．－答案　AC解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝Ckx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C·4＝，即4＝，解得a＝±2.3．在6(x＋3)的展开式中，常数项为(　　)A．－B.C．－D.答案　A解析　原式＝x6＋36，①而6的通项公式为Tk＋1＝kCx6－2k.当6－2k＝－1时，k＝∉Z，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×3×C＝－.4．在24的展开式中，x的指数是整数的项数是(　　)11 A．2B．3C．4D．5答案　D解析　因为24的展开式的通项公式为Tk＋1＝C()24－kk＝，所以当k＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)A．－960B．960C．1120D．1680答案　C解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2023时，a除以15所得余数为(　　)A．3B．4C．7D．8答案　A解析　∵C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C30＝(3＋1)n＝4n，∴a＝4n－1，当n＝2023时，a＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C151011＋C151010＋…＋C15，故此时a除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式6的展开式中，正确的说法是(　　)A．常数项是第3项B．各项的系数和是C．第4项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为32答案　BCD解析　二项式6的展开式通项为Tk＋1＝C·()6－k·k＝.对于A选项，令＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；对于B选项，各项的系数和是6＝，B正确；对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则(　　)11 A．展开式中所有项的二项式系数和为22023B．展开式中系数最大项为第1350项C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝D.＋＋＋…＋＝－1答案　AD解析　易知(1－2x)2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A正确；由二项式通项，知Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，所以第1350项的系数为(－2)1349C<0，所以第1350项不是系数最大项，故B错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，①当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，②①－②，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－，故C错误；当x＝0时，a0＝1，当x＝时，a0＋＋＋＋…＋＝0，所以＋＋＋…＋＝－a0＝－1，故D正确．9．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________.答案　80　211解析　因为x5＝[2＋(x－2)]5，则a1＝C·24＝80.令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；令x＝2，得a0＝25＝32，故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.10．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案　1120x4　1792x5和1792x6解析　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C·25＝C·26，得n＝8.∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1120x4，设第k＋1项系数最大，则有解得5≤k≤6.又k∈N，∴k＝5或k＝6，∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.11 11．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　)A．120B．－120C．60D．30答案　A解析　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k，令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，令m＝2，可得第3项为Cxy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.答案　－4　31解析　因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，所以a1＝－4，对所给等式，两边对x求导，可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.13．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于(　　)A．405B．810C．243D．64答案　B解析　(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1.令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan.又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.14．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2023x2023，数列{an}11 的首项a1＝＋＋…＋，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2023等于(　　)A．－B.C．2023D．－2023答案　A解析　令x＝，得2023＝b0＋＋＋…＋＝0.令x＝0，得b0＝1，所以a1＝＋＋…＋＝－1.由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，得＝－＝1，所以－＝－1，所以数列是首项为＝－1，公差为－1的等差数列，所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－，所以S2023＝－.11