2025年高考数学一轮讲义第5章 第2课时　平面向量基本定理及坐标表示

第2课时　平面向量基本定理及坐标表示[考试要求]　1．了解平面向量基本定理及其意义.2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_________，a－b＝__________，λa＝____________，|a|＝________．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________________，|AB|＝_______.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔______________________．[常用结论]1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1+x22，y1+y22．3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为x1+x2+x33，y1+y2+y33．5/5 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　)(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1x2＝y1y2．(　　)(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝(　　)A．(－2，－1)　　　　B．(－2，1)C．(－1，0)　D．(－1，2)2．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知▱ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为(　　)A．(1，4)　B．(1，5)C．(2，4)　D．(2，5)3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)A．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)B．e1＝(0，0)，e2＝(2，3)C．e1＝(－3，4)，e2＝(6，－8)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，344．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为________．考点一　平面向量基本定理的应用[典例1]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝(　　)A．3m－2n　　　　B．－2m＋3nC．3m＋2n　D．2m＋3n5/5 (2)如图，在△ABO中，已知OA＝a，OB＝b，OM＝13a，ON＝12b，则OP＝________(用向量a，b表示)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[跟进训练]1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则λμ＝________．考点二　平面向量的坐标运算[典例2]　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为(　　)A．-12，5　　　　B．12，5C．-12，-5　D．12，-5(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．5/5 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．(3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单．[跟进训练]2．(1)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝________．(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．考点三　向量共线的坐标表示　利用向量共线求参数[典例3]　(2023·西安二模)已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋3b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　)5/5 A．23　　B．74C．43　　D．75[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用向量共线求坐标[典例4]　已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．[跟进训练]3．(1)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，向量PA＝(1，4)，PB＝(2，3)，PC＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为(　　)A．2　　B．3C．4　　D．5(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．5/5