2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例对应学生用书第111页 考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 链接教材　夯基固本第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做____，目标视线在水平视线下方的叫做____方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做______，方位角θ的范围是________方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：仰角俯角方位角[0，2π) 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°．()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是．()√×√√ 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18nmile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10nmile处有一灯塔，继续行驶20min后，轮船与灯塔的距离为()A．17nmileB．16nmileC．15nmileD．14nmileD[记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示．则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×＝196，所以BC＝14.故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14nmile.故选D.]√√ √3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)mD[法一：设AB＝x，则BC＝x.∴BD＝10＋x.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1)．∴A点离地面的高AB等于5(＋1)m.法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin30°＝.∴AB＝ACsin45°＝5(＋1)m.] 4．(人教A版必修第二册P53T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m.200[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.设AB＝h，则BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即40000＝h2＋3h2－2h·h·，所以h＝200，所以塔高AB＝200m．]200 典例精研　核心考点第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例考点一　测量距离问题[典例1]如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，在四边形ABCD中，测得AB＝50m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°.(1)试求B，D之间的距离及B，C之间的距离；(2)求应开凿的隧道CD的长． [解](1)在△ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD为等腰三角形，∴AB＝AD＝50m.由余弦定理可得BD2＝502＋502－2×50×50cos120°＝502×3，∴BD＝50m.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得＝，∴BC＝50m.(2)在△BCD中，∠DBC＝75°，BC＝50m，BD＝50m，根据余弦定理可得CD＝＝25()m． 名师点评距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． [跟进训练]1．(2024·河南郑州模拟)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.7[∵A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，∴B＋D＝π，∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝52＋32－2×5×3cosD＝34－30cosD，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝52＋82－2×5×8cosB＝89－80cosB，∵B＋D＝π，即cosB＝－cosD，∴＝－，解得AC＝7．]7 考点二　测量高度问题[典例2](2024·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60m，则CD的高h约为()(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)A．11mB．20.8mC．25.4mD．31.8m√ C[由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°.在Rt△ABE中，AE＝＝，在△ACE中，由正弦定理得＝，所以CE＝，所以CD＝CE＝，又sin75°＝sin(45°＋30°)＝，所以CD＝＝60－20≈60－20×1.73＝25.4(m)．] 名师点评解决高度问题的三个注意事项(1)要理解仰角、俯角的定义．(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [跟进训练]2．(2024·湖南长郡中学模拟)如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，则此山的高度为()A．B．C．D．√ D[如图，设点P在地面上的正投影为点O，则∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，设山高PO＝h，则AO＝h，BO＝h，CO＝，在△AOC中，cos∠ABO＝－cos∠CBO，由余弦定理的推论，得＝－，整理得h2＝，所以h＝.故选D.] 考点三　测量角度问题[典例3]一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12nmile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为12nmile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的()A．正西方向B．南偏西75°方向C．南偏西60°方向D．南偏西45°方向C[如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，则AD＝＝24．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，则sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°.因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．]√ 名师点评解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键． [跟进训练]3．(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝120m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝150m，则cos∠DEF＝________．(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．－ (1)－(2)[(1)如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝＝＝，DE＝＝＝100，EF＝＝＝130，在△DEF中，由余弦定理的推论得cos∠DEF＝＝＝－.(2)由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20，由正弦定理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十一)正弦定理、余弦定理的应用举例 THANKS