2025数学一轮总复习：课时分层作业31　正弦定理、余弦定理的应用举例

课时分层作业(三十一)　正弦定理、余弦定理的应用举例一、单项选择题1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)A．502m　　　B．503mC．252m　D．2522m2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)(　　)A．7350m　B．2650mC．3650m　D．4650m3．(2023·黑龙江哈尔滨二模)火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法．由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键．位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥．工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，过长会影响火箭发射)，如图，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一高为h的标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B的俯角分别为α，β.则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为(　　)5/5 A．hsinαcosβsinα-β　B．hcosαcosβsinβC．hcosαcosβsinα-β　D．hcosαsinβcosβ4．(2024·江苏南通八市模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985)(　　)A．49.25m　B．50.76mC．56.74m　D．58.60m二、多项选择题5．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的点C与点D(点B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　)A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC5/5 6．如图，甲船从A1出发以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距52nmile.当甲船航行12min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5nmile，下面说法正确的是(　　)A．乙船的行驶速度与甲船相同B．乙船的行驶速度是152nmile/hC．甲、乙两船相遇时，甲行驶了1+23hD．甲、乙两船不可能相遇三、填空题7．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝________．8．(2023·山东济南三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600m到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________m.5/5 9．(2023·河南名校联考)中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题(如图1)：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD＝800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH＝________步．(古制单位：180丈＝300步)10．如图，某湖有一半径为1km的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距2km的点A处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且∠BAC＝90°，AB＝AC.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________km2.四、解答题11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．5/5 (1)求此山的高度；(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tanθ.12．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝2π3，∠CBD＝π4，CD＝26km，DE＝8km.(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①∠CDE＝7π12；②cos∠DBE＝35.(2)在(1)条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)，最长为多少？5/5