2025年高考数学一轮复习教学课件第5章 第2课时　平面向量基本定理及坐标表示

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第五章平面向量、复数 第2课时　平面向量基本定理及坐标表示对应学生用书第119页 1234考试要求了解平面向量基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示平面向量共线的条件． 链接教材　夯基固本第2课时　平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．不共线有且只有不共线 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_________________，a－b＝_________________，λa＝____________，|a|＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________，||＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔_____________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0 [常用结论]1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝．()(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2．()×××√ √二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)243题号1D[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a＝b＝，∴a－b＝＝(－1，2)，故选D.] √2．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知▱ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为()A．(1，4)B．(1，5)C．(2，4)D．(2，5)243题号1B[设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得即D(1，5)．] √3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)B．e1＝(0，0)，e2＝(2，3)C．e1＝(－3，4)，e2＝(6，－8)D．e1＝(2，－3)，e2＝243题号1AD[对于A，∵e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)，∴1×1－2×(－2)≠0，∴两向量不共线，∴两向量可作为基底，∴A正确；对于B，∵e1＝(0，0)，e2＝(2，3)，∴易知两向量共线，∴两向量不能作为基底，∴B错误；对于C，∵e1＝(－3，4)，e2＝(6，－8)，∴－3×(－8)－4×6＝0，∴两向量共线，∴两向量不能作为基底，∴C错误；对于D，∵e1＝(2，－3)，e2＝，∴2×－(－3)×≠0，∴两向量不共线，∴两向量可作为基底，∴D正确.故选AD．]√ 4．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________________．243题号1(3，1)或(1，－1)[∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3，1)或(1，－1)．](3，1)或(1，－1) 典例精研　核心考点第2课时　平面向量基本定理及坐标表示考点一　平面向量基本定理的应用[典例1](1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n(2)如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，则＝________(用向量a，b表示)．√a＋b (1)B(2)a＋b[(1)因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.(2)设＝ma＋nb，又＝a，＝b，所以＝3m＋n＝m＋2n.又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以解得所以＝a＋b.]名师点评平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． [跟进训练]1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．[由题图可设＝x(x＞0)，则＝x()＝x＝＋x.因为＝λ＋μ与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.] 【教师备选资源】如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②；③；④，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是()A．①②B．①③C．②③D．②④B[由向量共线的充要条件可得：当点P在线段AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]√ 考点二　平面向量的坐标运算[典例2](1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A．B．C．D．(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．√4 (1)C(2)4[(1)因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－)＝.(2)如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴解得λ＝－2，μ＝－.∴＝4．] 名师点评平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．(3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单． [跟进训练]2．(1)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．(2)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．6 (1)(2)6[(1)以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝＝＝(1，1)，∵＝λ＋μ＝，∴解得∴λ＋μ＝.(2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6．] 考点三　向量共线的坐标表示考向1利用向量共线求参数[典例3](2023·西安二模)已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋3b)∥(a－b)，则实数λ的值为()A．B．C．D．C[因为向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，所以a＋3b＝(9，2－6λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)，因为(a＋3b)∥(a－b)，所以9(2＋2λ)－(－7)(2－6λ)＝0，解得λ＝.故选C.]√ 考向2利用向量共线求坐标[典例4]已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．(3，3)[法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝＝(4λ－4，4λ)．又＝＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．]名师点评平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．(3，3) [跟进训练]3．(1)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，向量＝(1，4)，＝(2，3)，＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为()A．2B．3C．4D．5(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．(1)C(2)[(1)因为A，B，C三点共线，则＝λ＋μ(λ＋μ＝1)，即(x，1)＝λ(1，4)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，则解得故选C.(2)因为a＝(2，5)，b＝(λ，4)，a∥b，所以8－5λ＝0，解得λ＝.]√ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十三)平面向量基本定理及坐标表示 THANKS