2025年高考数学一轮复习教学课件第8章 第6课时　直线与椭圆

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第八章解析几何 第6课时　直线与椭圆对应学生用书第211页 考试要求理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法.会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题． 链接教材　夯基固本第6课时　直线与椭圆1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ__0；直线与椭圆相切⇔Δ__0；直线与椭圆相离⇔Δ__0.2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.>＝< [常用结论]1．点P(x0，y0)和椭圆＝1(a＞b＞0)的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＜1．(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＝1．(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＞1．2．椭圆上一点处的切线方程点P(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)上，过点P的切线方程为＝1． 3．关于－的重要结论(1)过原点的直线交椭圆＝1(a＞b＞0)于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．(2)若M(x0，y0)是椭圆＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．()(2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．()(3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断．()(4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切．()√√×√ √243题号1二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断A[法一(通解)：联立直线与椭圆的方程消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．法二(优解)：直线过点(0，1)，而0＋＜1，即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．] √2．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为()A．B．C．D．243题号1C[由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得5x2－8x＋8＝0，Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝.即弦AB的长为.] √3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是()A．B．－C．－D．243题号1AB[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.]√ 4．(人教A版选择性必修第一册P116T13改编)若点P是椭圆E：＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x－y－3＝0的距离的最小值是__________，此时，点P的坐标为____________．243题号1[设直线l1：x－y＋m＝0，联立整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.则Δ＝64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝±.当m＝－时，直线l与直线l1之间的距离d＝＝；当m＝时，直线l到直线l1之间的距离d＝＝2.所以点P到直线l的最小距离是.此时5x2－8x＋16＝0，解得x＝，将x＝代入x－y－＝0，得y＝－，则点P的坐标为.] 典例精研　核心考点第6课时　直线与椭圆考点一　直线与椭圆的位置关系[典例1]已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点． [解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 名师点评(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． [跟进训练]1．(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是()A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2B．若C与l有且仅有两个公共点，则<2C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个√√√ BCD[联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2)．令Δ＝12(8－m2)≥0，则有≤2，－2≤m≤2，A错误；令Δ＝12(8－m2)>0，则有<2，B正确；令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，C正确；如图，直线y＝x－与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD.] 2．已知椭圆＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，则椭圆上的点到直线l的距离的最小值是________．[如图，设直线m平行于直线l且与椭圆相切，则m的方程为4x－5y＋k＝0.由方程组消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0，由Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0，解得k1＝25，k2＝－25．由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，所以dmin＝＝.] 【教师备选资源】(2022·天津高考)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足＝.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N(N异于M)．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．[解](1)＝＝＝⇒4a2＝3(b2＋a2)⇒a2＝3b2，所以椭圆的离心率e＝＝＝. (2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，由题易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋(3m2－a2)＝0，由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0⇒3m2＝a2(1＋3k2)，①xM＝－，yM＝kxM＋m＝，由|OM|＝|ON|，可得m2＝，②由S△OMN＝可得|m|·＝，③联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6，故椭圆的标准方程为＝1. 考点二　弦长及中点弦问题考向1弦长问题[典例2]已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，且＝，求出直线l的方程．[解]设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝＜1，得|m|＜.|AB|＝2＝2＝. 联立消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，所以m2＜2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，|CD|＝|x1－x2|＝＝＝＝|AB|＝，解得m2＝＜2，得m＝±.即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±. 考向2中点弦问题[典例3](1)已知直线x－y＋1＝0与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为()A．B．C．D．(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为____________．√＝1 (1)D(2)＝1[(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)．＝＝1，两式相减可得＝0，把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝k＝＝tan150°＝－，代入可得＝.∴e＝＝.故选D. (2)法一(直接法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为＝1(b>0)，由消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为，y1)，B(x2，y2)，由题意知＝1，∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意．∴所求椭圆方程为＝1. 法二(点差法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为＝1(b>0)．设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②得＝0，即＝－，又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意．故所求的椭圆方程为＝1．] 名师点评解答弦长问题及中点弦问题的注意点(1)求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长；对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交．(2)点差法适用范围：涉及弦中点轨迹问题或弦所在直线斜率问题时，可考虑点差法． [跟进训练]3．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)求过点P且被P点平分的弦的直线方程；(2)若过F2作直线与椭圆C相交于A，B两点，且＝2，求|AB|.[解](1)设过P的直线与椭圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则两式相减得＝－，由中点P的坐标为可知x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝2×＝1，所以＝－，即直线斜率k＝－，所以直线方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0. (2)由题意知，过F2的直线斜率存在且不为0.设过F2的直线为x＝my＋1(m≠0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，联立方程⇒(m2＋2)y2＋2my－1＝0，所以又＝2，则y4＝－2y3，代入方程解得m2＝，所以|AB|＝＝. 【教师备选资源】已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为4，短轴长为2，直线l过点P(－2，1)且与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1，求弦AB的长；(3)若过点Q的直线l1与椭圆C交于E，G两点，且Q是弦EG的中点，求直线l1的方程． [解](1)依题意，椭圆C的半焦距c＝2，而b＝1，则a2＝b2＋c2＝9，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，直线l的方程为y＝x＋3，由消去y并整理，得5x2＋27x＋36＝0，解得x1＝－，x2＝－3，因此，|AB|＝·|x1－x2|＝，所以弦AB的长是. (3)显然，点Q在椭圆C内，设E(x3，y3)，G(x4，y4)，因为E，G在椭圆C上，则两式相减得(x3－x4)(x3＋x4)＋9(y3－y4)(y3＋y4)＝0，而Q是弦EG的中点，即x3＋x4＝2且y3＋y4＝1，则有2(x3－x4)＋9(y3－y4)＝0，于是得直线l1的斜率为＝－，直线l1的方程为y－＝－(x－1)，即4x＋18y－13＝0. 考点三　直线与椭圆的综合问题[典例4]已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．[解](1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0)．设Q(x0，y0)，则由＝，得代入椭圆方程得b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.联立消去y并整理，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．(*)因为直线l与E有两个交点，即方程(*)有不相等的两实根，故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得因为坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以>0，即x1x2＋y1y2>0， 又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，解得k2<4，综上可得<k2<4，则<k<2或－2<k<－.则满足条件的斜率k的取值范围为. 名师点评1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|x1－x2|＝＝，其中x1，x2是ax2＋bx＋c＝0两根．2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． [跟进训练]4．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．[解](1)根据题意知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，由解得所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立整理得y2－y－9＝0，则Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，所以y1＝－2y2，又y1＋y2＝，所以y1＝，y2＝，代入y1y2＝，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝. 【教师备选资源】已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足||＝4，||||－2＝0．(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点(2，0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO.若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．[解](1)由cos∠F1PF2＝＝知∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，|PF2|＝2a－4，＝，由余弦定理得4c2＝16＋(2a－4)2－4(2a－4)，解得a＝4，c＝2，b2＝12，所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)假设存在点Q(m，0)满足条件，设直线l方程为x＝ty＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去x有(3t2＋4)y2＋12ty－36＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，kMQ＋kNQ＝＝＝，因为∠MQO＝∠NQO，所以kMQ＋kNQ＝0，即－72t－12(2－m)t＝0，解得m＝8，所以存在Q(8，0)，使得∠MQO＝∠NQO. 微点突破6圆锥曲线“非对称”根与系数的关系问题的多角度思考对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题．下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法． [典例]已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上一点，且PF1与x轴垂直．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F2的直线l与E交于A，B两点，已知点M(0，1)，且△MAF2的面积为△MBF2面积的2倍，求直线l的方程．[赏析](1)因为P为E上一点，且PF1与x轴垂直，所以解得所以椭圆E的方程为＝1. (2)易得直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，故y1＋y2＝－，y1y2＝－.由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，可得＝2，所以y1＝－2y2，即y1＋2y2＝0.名师点评代数式y1＝－2y2为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结构，下面就以此为例，给出此类y1＝λy2(或x1＝λx2)问题的几种处理方法，并对其进行拓展． 拓展1倒数求和法此拓展是对形如y1＝λy2(或x1＝λx2)的关系式，利用＝将问题转化为对称结构．解法1接典例解答，由y1＝－2y2，得＝－2，故＝＝－.结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝.故直线l的方程为y＝±(x－1)． 拓展2配凑法由y1＋λy2＝0配凑，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，两式相乘，可得λ(y1＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，从而将问题转化为对称结构．解法2接典例解答，由y1＝－2y2，得y1＋2y2＝0，于是两式相乘可得2(y1＋y2)2＝－y1y2，结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝.故直线l的方程为y＝±(x－1)． 拓展3方程组法该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答．解法3接典例解答，联立y1＋2y2＝0与y1＋y2＝－，解得y1＝－，y2＝.再结合y1y2＝－，得＝，解得t2＝.故直线l的方程为y＝±(x－1)． [跟进训练]已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为x＝－2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)①求证：线段EN必过定点P，并求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．[解](1)由题意可得所以a＝2，b＝.故椭圆C的标准方程为＝1. (2)①由题意知，F(－1，0)，设直线MN方程：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(－4，y1)，由方程组得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，所以－2my1y2＝3(y1＋y2)．又kEN＝，所以直线EN的方程为y－y1＝(x＋4)，令y＝0，则x＝－4－＝－4－＝－4－＝－4＋＝－.所以直线EN过定点P. ②由①中知Δ＝144(m2＋1)＞0，所以m∈R，又|y1－y2|＝＝，所以S△OEN＝|OP||y1－y2|＝＝＝，令t＝，t≥1，则f(t)＝，令g(t)＝3t＋，g′(t)＝3－＝，当t≥1时，g′(t)≥0，故g(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，则f(t)＝在[1，＋∞)上单调递减，即S△OEN＝＝在[1，＋∞)上单调递减，所以t＝1时，(S△OEN)max＝.点拨：换元功能：降次、去根号，把分子或分母变简单． 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十五)直线与椭圆(一) 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十六)直线与椭圆(二) THANKS