2025年高考数学一轮复习教学课件第8章 第1课时　直线的方程

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第八章解析几何 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：直线方程、圆、圆锥曲线的概念和性质．一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．2．轮考点：定点问题、最值问题、计算证明问题及探索性问题．常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力． 第1课时　直线的方程对应学生用书第191页 考试要求理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)． 链接教材　夯基固本第1课时　直线的方程1．直线的方向向量(1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，_______与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____________．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_____(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．x轴正向向上0°≤α<180°正切值tanα 4．直线方程的五种形式提醒：①“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．②研究直线，首先要考虑直线斜率是否存在．名称方程适用范围点斜式___________________不含直线x＝x0斜截式___________不含垂直于x轴的直线两点式(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式______________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_________________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b＝＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) [常用结论]1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系2．特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0；(2)y轴：x＝0；(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx.3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量n＝(－B，A)．4．直线的方向向量n＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝.α0≤α<＜α＜πkk≥0不存在k<0 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α．()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．()(4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0)．()×××√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是()A．1B．－1C．2D．－2D[由已知得k＝＝－2.故选D.]2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为()A．y＝－x－1B．y＝－x＋1C．y＝x－1D．y＝x＋1C[因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan60°＝，又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝x－1.故选C.]√√ 3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.－3[因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3．]4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为___________________________.9x－y＝0或x＋y－10＝0[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0．]－39x－y＝0或x＋y－10＝0 典例精研　核心考点第1课时　直线的方程考点一　直线的倾斜角与斜率[典例1](1)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－，1]B．(－∞，－]∪[1，＋∞)C．D．∪[1，＋∞)(2)(2024·河南郑州模拟)已知直线l的方程为xsinα＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．B．C．D．√√ (1)B(2)B[(1)如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．故选B.(2)直线l的方程为xsinα＋y－1＝0，则直线l的斜率k＝－sinα∈.设直线l的倾斜角为θ，则有tanθ∈，又θ∈[0，π)，所以当k∈时，直线l的倾斜角θ∈；当k∈时，直线l的倾斜角θ∈.综上所述，直线l的倾斜角θ∈.故选B.] 名师点评斜率取值范围的两种求法提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分与两种情况讨论．一般要用到y＝tanx的单调性，y＝tanx在上都是单调递增的．数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 [跟进训练]1．(1)(2024·安徽江淮十校模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为()A．B．C．D．(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．(1)A(2)－3[(1)由题意得，直线l的斜率k＝＝＝tan，即直线l的倾斜角为.故选A.(2)如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3．]√－3 【教师备选资源】(多选)(2023·广东省二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A．2B．C．D．ABD[因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点(0，0)，设直线AB的倾斜角为α∈，斜率为k.①若CD所在的直线过点(1，0)，如图，可得|BC|＝sinα，|CD|＝2cosα，因为|BC|＝|CD|，即sinα＝2cosα，则k＝tanα＝2.√√√ ②若CD所在的直线过点(2，0)，如图，可得|BC|＝2sinα，|CD|＝3cosα，因为|BC|＝|CD|，即2sinα＝3cosα，则k＝tanα＝.③若CD所在的直线过点(4，0)，如图，可得|BC|＝4sinα，|CD|＝cosα，因为|BC|＝|CD|，即4sinα＝cosα，则k＝tanα＝.综上所述，k的可能值为2，.故选ABD.] 考点二　直线方程的求法[典例2]已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．[解](1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2.BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 名师点评求直线方程的两种方法 [跟进训练]2．(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________________．(2)过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为_________________________．(1)2x＋3y－5＝0(2)2x＋3y＝0和x＋y－1＝0[(1)联立解得x＝1，y＝1，∴直线过点(1，1)．∵直线的方向向量v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－.则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.(2)当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴的距离均为0，符合题意．当直线在x轴、y轴均不为0时，设直线方程为＝1(a≠0)，将(3，－2)代入得＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0.所以所求直线方程为2x＋3y＝0和x＋y－1＝0．]2x＋3y－5＝02x＋3y＝0和x＋y－1＝0 考点三　直线方程的综合应用[典例3]已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．[解]法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)＝×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，则1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0. [拓展变式]1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]由本例法二知，＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋≥3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．[解]法一：由本例法一知A，B(0，1－2k)(k＜0)．所以|MA|·|MB|＝＝2×＝2≥4.当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1．所以|MA|·|MB|＝||·||＝－＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 名师点评处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式． [跟进训练]3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．[解](1)证明：法一：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)． (2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．法二：直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k，∴或∴k∈[0，＋∞)． (3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．依题意得解得k＞0.∵S＝·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝＝≥×(2×2＋4)＝4，当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时“＝”成立，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十)直线的方程 THANKS