2025年高考数学一轮复习教学课件第8章 第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第八章解析几何 第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系对应学生用书第202页 考试要求能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 链接教材　夯基固本第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d__rd__rd__r代数法：由消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ__0Δ__0Δ__0<＝>>＝< 2．圆与圆的位置关系若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：外离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2___________________d＝|r1－r2|_____________|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＜|r1－r2| [常用结论]1．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．()×××√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离B[圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝，而0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．]2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系是()A．相交B．内切C．外切D．内含B[两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4．两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2．因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．]√√ 3．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为2，则a＝________．±[圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程：2ax＋4ay－5＝0，圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到公共弦距离d＝，则公共弦长度为2解得a＝±.]± 4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为____________________________．5x－12y＋45＝0或x－3＝0[化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心O为(1，2)，半径为2，因为|OA|＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3－2k|＝2，所以k＝，此时直线方程为5x－12y＋45＝0.故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]5x－12y＋45＝0或x－3＝0 典例精研　核心考点第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系考点一　直线与圆的位置关系[典例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4√√ (1)A(2)C[(1)法一(代数法)：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，所以直线l与圆相交．法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．(2)如图所示，因为圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．] 名师点评1．判断直线与圆的位置关系的常用方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t.由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t. [跟进训练]1．(1)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是__________．√√√ (1)ABD(2)[(1)∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确；∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确；∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，∴直线l与圆C相交，C错误；∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD.(2)因为kAB＝，所以直线AB关于y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以≤1，整理可得6a2－11a＋3≤0，解得.] 【教师备选资源】1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定√B[因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1，所以直线与圆相交．] 2．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．B．C．D．√A[计算得圆心到直线l的距离为＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1．] 考点二　圆与圆的位置关系[典例2](1)(2024·山东淄博模拟)“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√ (2)(多选)(2023·辽宁抚顺二模)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是()A．C1与C2的公切线恰有4条B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0C．C1与C2相交弦的弦长为D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12(3)(2024·福建宁德模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为________．√√[4，6] (1)A(2)BD(3)[4，6][(1)圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥≥1，解得a≤－或a≥，所以“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．故选A.(2)由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1＜d＜r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2.若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12.故选BD. (3)∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3，4)，半径r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6．]名师点评1．判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2. [跟进训练]2．(1)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是()A．B．C．D．∪(2)已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_______________________________________________________________．√[0，3]y＝－或y＝或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) (1)D(2)[0，3](3)y＝－或y＝或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可)[(1)由圆x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为(0，2)，半径为2.由圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0得(x＋m)2＋y2＝1，则圆心坐标为(－m，0)，半径为1.因为两圆至少有三条公切线，所以两圆外切或相离，所以≥3，解得m≤－或m≥.故选D. (2)设M(x，y)，因为A(0，2)，O(0，0)，所以＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)．因为＝3，所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，化简得x2＋(y－1)2＝4，所以点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆．因为M在C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆必须相交或相切．所以1≤≤3，解得0≤a≤3.所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，3]. (3)圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．如图，当切线为l时，因为，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－.当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，由题意解得所以m的方程为y＝.当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．] 考点三　圆的切线、弦长问题考向1切线问题[典例3]已知点P，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．求：(1)过点P的圆C的切线方程；(2)过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解]由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.(1)∵2＋2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－＝x－，即x－y＋1－2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆C的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝，∴过点M的圆C的切线长为＝1. 考向2弦长问题[典例4](1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2＝________．√4 (1)B(2)4[(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝，∵d2＋＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B. (2)由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点，圆心O到直线l的距离为d＝.由|AB|＝2，得＋2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝4．]名师点评求圆的切线、弦长时需注意的问题(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况．(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误． [跟进训练]3．(1)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．2C．D．3(2)(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为()A．±2B．±C．±D．±3√√ (1)C(2)C[(1)如图，切线长|PM|＝为C到直线y＝x＋1的距离即时，，故选C.(2)因为直线l截得圆C弦长的最小值为2，所以圆心C(0，0)到直线l的最大距离dmax＝，由题意知直线l的方程为kx－y＋m＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，当k＝0时，d取得最大值，为|m|＝，解得m＝±.故选C.] 考点四　与圆有关的综合问题[典例5]已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；(2)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点． [解](1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，∴x1＋x2＝，Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，当∠AOB为锐角时，＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－＜k＜－1或1＜k＜.故k的取值范围为∪. (2)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，∴x2－tx＋y2－y＝0.又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆作差得lCD：tx＋y－2＝0，即t－2y－2＝0，由得∴直线CD过定点.名师点评立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度． [跟进训练]4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． [解](1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＝0⇒＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒＋2t＝0⇒t＝4．所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．综上，存在定点N(4，0)满足题意． 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十三)直线与圆、圆与圆的位置关系 THANKS