2025年高考数学一轮复习教学课件第7章 第4课时　空间直线、平面的平行

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第七章立体几何与空间向量 第4课时　空间直线、平面的平行对应学生用书第164页 考试要求从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． 链接教材　夯基固本第4课时　空间直线、平面的平行1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与____平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⇒l∥b此平面内相交交线 2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⇒α∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行⇒a∥b相交直线相交交线 [常用结论]1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.2．与平行关系有关的性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α．()×√×× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.故选D.]√ 2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______________．平行四边形[∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]√平行四边形 4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件____________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_____________________时，四边形EFGH为正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.]AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD 典例精研　核心考点第4课时　空间直线、平面的平行考点一　直线与平面平行的判定与性质考向1直线与平面平行的判定[典例1]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.[四字解题]读想算思四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点线面平行的证明方法线线平行取PC的中点M，证明AF∥EM转化、化归面面平行取CD的中点G，证明平面AFG∥平面PCE [证明]法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF.∵E是AB的中点，∴AE∥CD，且AE＝CD，又∵MF∥CD，且MF＝CD，∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM.又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE. 法二(应用面面平行的性质定理)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG.∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC.又E为AB中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE綉GC，∴四边形AECG为平行四边形，AG∥EC，又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE.PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE.又AF⊂平面AFG，∴AF∥平面PCE. 考向2线面平行性质定理的应用[典例2]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B.[证明]在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B. 名师点评判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． [跟进训练]1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． [解](1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE.又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m. 考点二　平面与平面平行的判定与性质[典例3]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. [拓展变式]1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．[解]如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1.又由题设＝，所以＝1，即＝1. 2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D. 名师点评证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． [跟进训练]2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.[证明](1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 【教师备选资源】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．[证明](1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，∴A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点． 考点三　平行关系的综合应用[典例4]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥CD，MQ∥PC.∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD，∴平面MNQ∥平面PCD. (2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下：取PD的中点E，连接NE，CE，AE，∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD，∴NE綉MC，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE.∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且＝.名师点评三种平行关系的转化线线平行线面平行面面平行提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明． [跟进训练]3．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．[解](1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB，又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH为平行四边形，所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD. (2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，则AF＝AB，因为CD＝AB，所以AF＝CD，又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求． 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(四十四)空间直线、平面的平行 THANKS