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2023版新高考数学一轮总复习第7章第4讲空间直线平面的垂直课件
2023版新高考数学一轮总复习第7章第4讲空间直线平面的垂直课件
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第七章立体几何\n第四讲 空间直线、平面的垂直\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 直线与平面垂直(1)直线与平面垂直①定义:若直线l与平面α内的______一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直.②判定定理:一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直,则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直).即:a⊂α,______,l⊥a,l⊥b,a∩b=P⇒l⊥α.③性质定理:垂直于同一个平面的两条直线______.即:a⊥α,b⊥α⇒______.任意相交b⊂α平行a∥b\n锐角0\n知识点二 平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角:从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作与棱______的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.③二面角θ的范围:θ∈[0,π].两个半平面垂直\n(2)平面与平面垂直①定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直.②判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.即:a⊂α,a⊥β⇒______.③性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直.即:α⊥β,a⊂α,α∩β=b,a⊥b⇒______.直二面角α⊥β交线a⊥β\n1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.2.若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).3.垂直于同一条直线的两个平面平行.4.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.\n题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.()(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.()(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()××√×√×\n题组二 走进教材2.(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1,正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,D是EF的中点,如图2,沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EGF中()A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEFA\n[解析]由题意知SG⊥GF,SG⊥GE,GF∩GE=G.∴SG⊥平面GEF,故选A.\nA\n\n题组三 走向高考4.(2019·北京)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________________________________________________.若l⊥α,l⊥m,则m∥α.(或若l⊥α,m∥α,则l⊥m)[解析]由l,m是平面α外的两条不同直线,及线面平行的判定定理得:若l⊥α,l⊥m,则m∥α,若l⊥α,m∥α,则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m,∴若l⊥α,m∥α,则l⊥m,故答案为:若l⊥α,l⊥m,则m∥α.(或若l⊥α,m∥α,则l⊥m).\n5.(2021·全国高考节选)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1,D为棱A1B1上的点,\n[证明]证法一:取BC的中点H,连EH、B1H,∵E为AC的中点,∴EH∥AB,又AB∥A1B1,∴EH∥A1B1,即E、H、B1、D共面,又A1B1⊥BF,∴EH⊥BF.又AB=BC,由题意易知四边形BCC1B1为正方形,又F为CC1的中点,∴BF⊥HB1,又HB1∩EH=H,∴BF⊥平面EHB1D,又ED⊂平面EHB1D,∴BF⊥ED.\n\n∴A1E⊥EF,A1E⊥EB,∴A1E⊥平面BEF,从而A1E⊥BF.又A1E∩A1B1=A1,∴BF⊥平面A1EB1,又ED⊂平面A1EB1,∴BF⊥DE.\n证法三:同证法二可知AB、BC、BB1两两垂直,如图建立空间直角坐标系,∵AB=BC=2,∴E(1,1,0),B(0,0,0),F(0,2,1),D(a,0,2)(0≤a≤2),\n考点突破·互动探究\n(1)(2022·河北保定七校联考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,p:m⊥n,若p是q的必要条件,则q可能是()A.q:m⊥α,n∥β,α⊥βB.q:m⊂α,n⊥β,α∥βC.q:m⊥α,n⊥β,α∥βD.q:m⊂α,n∥β,α⊥β例1B考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透\n(2)(2022·广东珠海模拟)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥αD\n(3)(多选题)(2022·广东惠州调研)在空间中,α、β是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列说法正确的有()A.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥βB.若α∥β,m⊥α,n⊥β,则m∥nC.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nD.若α⊥β,m⊂α,α∩β=n,m⊥n,则m⊥βABD\n[解析](1)由题知q能推出p:m⊥n.对A,当m∥n时仍然可以有m⊥α,n∥β,α⊥β.故A错误.对B,n⊥β,α∥β,则n⊥α,又m⊂α,则m⊥n.故B正确.对C,m⊥α,α∥β则m⊥β,又n⊥β,故m∥n.故C错误.对D,当α⊥β且相交于m时,若n∥m,也满足m⊂α,n∥β.故D错误.(2)由α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A错误;\n对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C错误;对于D,l∥m,m⊥α,则由线面垂直的判定定理得l⊥α,故D正确.故选D.(3)由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又由n⊂β,得α⊥β,A正确;由α∥β,m⊥α,得m⊥β,又由n⊥β,得m∥n,B正确;若α∥β,m⊂α,n⊂β,m,n可能平行也可能是异面直线,C错误;由面面垂直的性质定理知D正确.\n解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决,其实最好的办法是笔当线,纸、手掌当面动态演示.如知a∥α,可将笔看成a,桌面看成α,让笔平移、旋转,如知a⊥α,将笔看成a,让笔平移,很容易做出正确判定,事半功倍.MINGSHIDIANBO\n〔变式训练1〕(1)(2022·四川广元模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nB\n(2)(2022·福建福州调研)已知两条直线m,n和两个平面α,β,下列命题正确的是()A.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥βC.若m⊥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥βD.若m⊥α,n∥β,且m∥n,则α∥βA\n[解析](1)若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n∥β,∴α⊥β,故B正确;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β或α与β相交,故C错误;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,故D错误.故选B.\n\n例2考点二直线与平面垂直的判定与性质——多维探究\n\n又PC=4,∵CM2+PM2=PC2,∴CM⊥PM,又PM⊂平面PAB,AB⊂平面APB,AB∩PM=M,∴CM⊥平面PAB.\n例3\n\n证法2:∵AB为⊙O的直径,∴PA⊥PB,如图建立空间直角坐标系,\n1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.(5)向量法:a⊥b⇔a·b=0.MINGSHIDIANBO\n2.证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理,它是最常用的思路.(2)利用线面垂直的性质:若两平行线之一垂直于平面,则另一条线必垂直于该平面.(3)利用面面垂直的性质:①两平面互相垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面.②若两相交平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.(4)向量法:证明直线的方向向量与平面的法向量平行.\n〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中,ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD.∠ADC=60°,若AA1=AC,求证:AC1⊥平面A1B1CD.\n(2)(角度2)(2021·河北“五个一联盟”联考,节选)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1⊥平面AA1C1C,D是AA1的中点,△ACD是边长为1的等边三角形.证明:CD⊥B1D.\n[证明](1)证法1:∵AD=2CD,∠ADC=60°,∴DC⊥AC,又AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥DC.∴DC⊥平面AA1C1C,又AC1⊂平面AA1C1C,∴DC⊥AC1,∵AA1=AC,∴四边形AA1C1C为正方形,连接A1C,∴AC1⊥A1C,而DC∩A1C=C,∴AC1⊥平面A1B1CD.\n证法2:∵AD=2CD,∠ADC=60°,∴∠ACD=90°,则CD,CA,CC1两两垂直.如图,建立空间直角坐标系C-xyz.\n\n(2)∵△ACD是边长为1的等边三角形,∴∠CAD=60°,∠DA1C1=120°.∵D是AA1的中点,△ACD的边长为1,∴AD=A1D=A1C1=1,即△A1C1D是等腰三角形,∴∠A1DC1=30°,从而∠CDC1=90°,即CD⊥C1D.∵B1C1⊥平面AA1C1C,且CD⊂平面AA1C1C,∴B1C1⊥CD.∵B1C1∩C1D=C1,B1C1⊂平面B1C1D,C1D⊂平面B1C1D,∴CD⊥平面B1C1D.∵B1D⊂平面B1C1D,∴CD⊥B1D.\n例4考点三两个平面垂直的判定与性质——师生共研\n\n\n\n(2022·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=2,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,E是AD的中点.(1)求证:BE⊥平面PAD;(2)求点E到平面PAB的距离.例5\n[解析](1)连接BD,在△PAD中,PA=PD=2,E是AD的中点,∴PE⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PE⊥平面ABCD,∴PE⊥BE,又∵四边形ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BE⊥AD,又∵PE∩AD=E,PE⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BE⊥平面PAD.\n\n\n(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).一般在一个平面内找交线的垂直,证此线与另一面垂直.(2)在已知面面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.MINGSHIDIANBO\n\n\n(2)(2022·山东济宁模拟节选)如图,四边形ABEF是矩形,平面ABC⊥平面ABEF,D为BC中点,AB=AC.\n[解析](1)取AD的中点O,连接OC交BD于F点,连接EF,∵△PAD是等边三角形,∴PO⊥AD,∵OD∥BC,BC=2OD,∴FC=2OF.又∵平面PAD⊥平面ABCD,PO⊥AD,∴PO⊥平面ABCD,又∵平面BDE⊥平面ABCD,∴PO∥平面BDE.\n(2)因为AB=AC,D为BC中点,所以AD⊥BC,因为四边形ABEF是矩形,所以FA⊥AB,因为平面ABC⊥平面ABEF,平面ABC∩平面ABEF=AB,AF⊂平面ABEF,所以AF⊥平面ABC,因为BD⊂平面ABC,所以AF⊥BC,又AF,AD⊂平面ADF,AF∩AD=A,所以BC⊥平面ADF,又BC⊂平面BCF,所以平面ADF⊥平面BCF.\n名师讲坛·素养提升\n例6B\n(2)(多选题)(2021·山东日照模拟)已知正方体ABC-A1B1C1D1的棱长为4,M为DD1的中点,N为ABCD所在平面上一动点,则下列命题正确的是()ACD\n[解析](1)用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.\n\n\n\n\n立体几何中的轨迹问题是常转化为两面的交线,或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解.MINGSHIDIANBO\n〔变式训练4〕(1)(2022·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点,过定点A的直线l与AP垂直,且交平面α于M点,则M点的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.两条平行直线D.两个同心圆A\nB\n
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-06-24 16:00:05
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文章作者:随遇而安
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