2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.4　空间直线、平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行第七章立体几何与空间向量 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与___________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与交线平行⇒a∥b_______________1.线面平行的判定定理和性质定理a⊄αb⊂αa∥b__________________a∥αa⊂βα∩β＝b此平面内相交 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条_________与另一个平面平行，那么这两个平面平行⇒β∥α____________________________2.面面平行的判定定理和性质定理a⊂βb⊂βa∩b＝P相交直线a∥αb∥α 性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_____，那么两条_____平行⇒a∥b______________________α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b相交交线 1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.4.若α∥β，a⊂α，则a∥β. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面.()(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.()×××× 1.平面α∥平面β的一个充分条件是A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α√ 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C. 2.(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是A.若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂βB.若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥lC.若m⊥α，l⊥m，则l∥αD.若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l√√ 对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确. 3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________.平行四边形∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形. 探究核心题型第二部分 命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD.题型一直线与平面平行的判定与性质 方法一如图，取PD的中点F，连接EF，FA.由题意知EF为△PDC的中位线，又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD. 方法二如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD. 方法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH. 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH. (1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.思维升华 跟踪训练1如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：(1)DF∥平面PBE； 取PB中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点，因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE； (2)DF∥l.由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l. 例3如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.题型二平面与平面平行的判定与性质 由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l. (1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线. 跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证：BC∥GH；∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. ∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG. 例4如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.题型三平行关系的综合应用 如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以点F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC， 又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点. 解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法. 跟踪训练3如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点. 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点.在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1. 由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1. 课时精练第三部分 1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能12345678910111213141516√基础保分练由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 2.已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为A.3B.2C.1D.0√12345678910111213141516 12345678910111213141516对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，因此真命题的个数为1. 3.在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能√12345678910111213141516 12345678910111213141516在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 123456789101112131415164.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有A.①②B.②③C.①③D.①②③√ 12345678910111213141516由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确. 123456789101112131415165.(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是√√ 12345678910111213141516对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确； 12345678910111213141516对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误. 123456789101112131415166.(2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则A.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四边形MNEF为平行四边形D.四边形MNEF为梯形√ 12345678910111213141516由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形， 12345678910111213141516∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确. 123456789101112131415167.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，则AC的长为____cm. 过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF，如图所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，因为AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，12345678910111213141516 8.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为_______.12345678910111213141516矩形 因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形.12345678910111213141516 9.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.12345678910111213141516 (2)平面BDE∥平面MNG.12345678910111213141516 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.12345678910111213141516 10.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.12345678910111213141516试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC. 12345678910111213141516E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：如图，取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF.∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC.∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴EF∥BC. 12345678910111213141516∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，∵MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF，∴平面MEF∥平面ABC. 11.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.棱A1D1始终与水面所在的平面平行D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值12345678910111213141516综合提升练√√√ 12345678910111213141516由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的； 12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为12345678910111213141516√ 12345678910111213141516∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示.∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM. 13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是______，A1B与平面DD1C1C的位置关系是______.12345678910111213141516相交平行A1B1与截面AD1C相交，由题意得A1B∥D1C，而A1B⊄平面DD1C1C，D1C⊂平面DD1C1C，所以A1B∥平面DD1C1C. 14.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是平面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是___________________.12345678910111213141516平面ABC，平面ABD 12345678910111213141516如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，又AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD. √12345678910111213141516拓展冲刺练15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 12345678910111213141516如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN， 16.如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2.12345678910111213141516(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值； 12345678910111213141516取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图，因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，所以AO∥CN，所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角，因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC，在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，所以NO⊥平面BCM，又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM， 12345678910111213141516在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，所以CM＝1， (2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值.12345678910111213141516 12345678910111213141516如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ，因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，所以CM∥PQ，因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM中点，AP＝PM，又AP＝λPM，所以λ的值为1.