2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线对应学生用书第106页 典例精研　核心考点第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线考点一　三角形的中线问题[典例1](2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.[解](1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，所以sinB＝＝，所以tanB＝＝. (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc＝bc＝＝，解得bc＝4.则由解得b＝c＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC中点，则＝)，所以＝(c2＋b2＋2bccosA)，又AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝(8＋2bccosA)，∴bccosA＝－2①，S△ABC＝bcsinA＝，即bcsinA＝2②，由①②解得tanA＝－，∴A＝，∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2. 法三：在△ABC中，由中线长公式可得2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)，即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，所以a2＝12.又S△ABC＝bcsinA＝，因而bcsinA＝2，又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得12＝8－2bc·cosA，所以bccosA＝－2，故tanA＝－⇒cosA＝－，所以bc＝4，又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2，b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故可得b＝c＝2. 名师点评解答三角形的中线问题的两种思路(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想．(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccosA)． [跟进训练]1．(2023·广东广州一模)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos＝asinB.(1)求A；(2)若a＝·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．[解](1)cos＝cos＝sin，所以bsin＝asinB，由正弦定理得sinBsin＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴sin＝sinA，∴sin＝2sincos，∵A∈(0，π)，∈，∴sin≠0，得cos＝，即＝，∴A＝.(2)∵·＝3，∴bccos(π－A)＝3，得bc＝6，由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bccosA＝13，＝)，∴||2＝)2＝(c2＋b2＋2bccosA)＝，所以||＝，即AD的长为. 考点二　三角形的角平分线问题[典例2](2024·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cosC·sin＋cosA＝0.(1)求角C的大小；(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积．[解](1)由已知可得2cosC·－cos(B＋C)＝0，sinBcosC＋cosBcosC－(cosBcosC－sinBsinC)＝0，整理得sinB(cosC＋sinC)＝0.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosC＋sinC＝0，即tanC＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由题意得，＝＝，即＝，所以a＝2b.法一：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，所以c＝b.在△ACD中，AD＝，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，即＝b2＋22－2b×2×，将c＝b代入整理得b2－9b＋18＝0，解得b＝3或b＝6.若b＝6，则a＝12，c＝6，BD＝4，AD＝2，所以在△BCD中，得cos∠CDB＝＝＜0，同理可得cos∠ADC＜0，即∠BDC和∠ADC都为钝角，不符合题意，排除．所以b＝3，a＝6，S△ABC＝absin120°＝. 法二：因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，所以×2bsin60°＋×2asin60°＝absin120°，所以b＋a＝ab.因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，所以S△ABC＝absin120°＝.名师点评解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．已知AD是△ABC的角平分线则(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. [跟进训练]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＝bsin.(1)求角A的大小；(2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．[解](1)因为asinB＝bsin，由正弦定理得sinAsinB＝sinBsin.因为sinB≠0，所以sinA＝sin，所以sinA＝sinA＋cosA，即sinA＝cosA，所以tanA＝.因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)法一：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以AB·AC·sin∠BAC＝AB·AD·sin∠BAD＋AD·AC·sin∠DAC，所以×3×1×sin＝×3×AD×sin×AD×1×sin，所以AD＝.法二：在△ABD中，由正弦定理得＝，在△ADC中，由正弦定理得＝.因为sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，所以＝＝3，所以＝＝＝)＝，所以||2＝＝||2＋||2＋·＝×9＋×1＋×3×1×＝，所以AD＝. 考点三　三角形的高线问题[典例3](2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．[解]法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin＝sin，展开并整理得(sinA－cosA)＝(cosA＋sinA)，得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sinA＝. (2)由正弦定理＝，得BC＝·sinA＝＝3，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，整理得AC2－3AC＋20＝0，解得AC＝或AC＝2.由(1)得，tanA＝3＞，所以＜A＜，又A＋B＝，所以B＞，即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2.设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BCsinC，即5h＝2×3，解得h＝6，所以AB边上的高为6. 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tan＝3，又sinA＞0，所以sinA＝. (2)由(1)知sinA＝，tanA＝3＞0，所以A为锐角，所以cosA＝，所以sinB＝sin＝(cosA＋sinA)＝＝，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为AC·sinA＝2＝6. 名师点评(1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．(2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. [跟进训练]3．从①＝；②cosA＝sinA－1；③cos＝sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b－c＝4，△ABC的外接圆半径为2，且________，求角A及△ABC的边BC上的高h.[解]选择①：由＝，得(a＋b)(sinA－sinB)＝sinC(c－b)，由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，整理得a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝＝，又0<A<π，所以A＝.由正弦定理得a＝4sin＝6,a2＝b2＋c2－bc＝(b－c)2＋bc＝16＋bc＝36，所以bc＝20,所以S△ABC＝bcsinA＝ah，所以h＝＝＝. 选择②：由cosA＝sinA－1，得sinA－cosA＝1，即sin＝.因为A∈(0，π)，所以A－＝，所以A＝.由正弦定理得a＝4sin＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b－c)2＋bc＝16＋bc＝36，所以bc＝20，所以S△ABC＝bcsinA＝ah，所以h＝＝＝. 选择③：因为cos＝sinA＝2sincos，又cos≠0，所以sin＝，因此A＝.由正弦定理得a＝4sin＝6,由余弦定理得a2＝b2＋c2＋bc＝(b－c)2＋3bc＝16＋3bc＝36，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsinA＝ah，所以h＝＝＝. 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十)三角形中的中线、高线、角平分线 THANKS