2025年高考数学一轮讲义第4章 第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线

第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线考点一　三角形的中线问题[典例1]　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解答三角形的中线问题的两种思路(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想．(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AD2＝14(b2＋c2＋2bccosA)．[跟进训练]1．(2023·广东广州一模)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcosB+C2＝asinB.(1)求A；(2)若a＝19，BA·AC＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　三角形的角平分线问题[典例2]　(2024·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，3/3 c，且2cosC·sinB+π6＋cosA＝0.(1)求角C的大小；(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．已知AD是△ABC的角平分线则(1)ABAC＝BDDC；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.[跟进训练]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＝bsinA+π3.(1)求角A的大小；(2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　三角形的高线问题[典例3]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．(2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝1a∶1b∶1c＝1sinA∶1sinB∶1sinC.[跟进训练]3．从①a+bc-b＝sinCsinA-sinB；②cosA＝3sinA－1；③3cosA2＝sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b－c＝4，△ABC的外接圆半径为23，且________，求角A及△ABC的边BC上的高h.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3