11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件

11.1.2三角形的高、中线与角平分线第十一章三角形11.1与三角形有关的线段 复习回顾定义图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 画一画如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.P●AB 问题1什么是三角形的高？怎样画三角形的高？定义如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意：标明垂直的记号和垂足的字母.三角形的高 ②AD⊥BC，垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD高的叙述方法（如图）：有三种 (1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系?(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示.探究交流OABCDEF 直角边BC上的高是；直角边AB上的高是.(2)斜边AC上的高是；直角三角形的三条高ABC(1)画出直角三角形的三条高；ABBC它们有怎样的位置关系?D直角三角形的三条高交于直角顶点.BD 钝角三角形的三条高(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)AC边上的高是哪条线段？AB边上的高是哪条线段？BC边上的高是哪条线段？BFCEAD ABCDF(3)钝角三角形的三条高相交吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？OE钝角三角形的三条高不相交.钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 点击视频开始播放→视频：画钝角三角形的高 三角形的三条高的特性高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部 典例精析例1如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．此时由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC.代入数值，可解得BP＝.P 方法总结：面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 问题1如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB三角形的中线 定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.问题2如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线.ABC想一想：由三角形的中线能得到什么结论？BD=CD=BCD 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO 问题3如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系，为什么？BCDEA答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4通过问题3你能发现什么规律？答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 归纳总结：1.三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 典例精析例2如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4. 方法总结三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 问题1如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO∠AOC=∠BOC问题2你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?ABCD想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗?相同点是：∠ABD=∠CBD；不同点是：前者是线段，后者是射线.三角形的角平分线 问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？三角形的三条角平分线交于一点，ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3条角平分线称之为三角形的内心． 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 例3如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB，又DE∥BC，典例精析∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=∠ACB.ABCED 三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段∵AD是△ABC的边BC上的中线.∴BD=CD=BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段∵AD是△ABC的角平分线∴∠1=∠2=∠BAC知识归纳ABCDABCDABCD 1．下列说法正确的是（　　）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（　　）A．①②B．③④C．①④D．②③DABCDE 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（　　）A．2条B．3条C．4条D．5条4.下列各组图形，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD 5.填空：(1)如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿＿，BD=＿＿，AE=＿＿.(2)如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=_______，∠3=_______，∠ABC=2_____.图①图②AFDC∠CAD∠2∠BCFABCDEFAC 6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=_____cm2.12 解：∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD.∵BC-AC=5cm，∴△DBC与△ADC的周长差是5cm.又∵△DBC的周长为25cm，∴△ADC的周长为25-5=20(cm).7.如图，在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.ADBC 能力提升：王大爷有一块三角形的菜地，现在要将它们平均分给四个儿子，在菜地的一角A处有一口池塘，为了使分开后的四块菜地都能就近取水，王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源，你认为还可以怎样分?A（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.） 三角形的重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形的面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线是线段，不是射线