11.1.2三角形的高、中线、角平分线

第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线与角平分线 你还记得“过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗?012345012345678910012345678910012345678910012345012345012345678910012345012345012345678910012345012345知识回顾 ABC过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?D学习探究 （1）如图，画一个锐角△ABC，过A点向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D；所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.ACB●D●（2）你能画出其他两边上的高吗？如图.（3）通过画图你发现了什么？和同学交流.●●●●●HFE三角形的高顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.三角形的三条高线交于一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.新知学习 你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？●●新知挑战 观察直角三角形和钝角三角形的三条高，你又有什么发现？三角形的三条高线交于直角顶点.三角形的三条高线所在的直线交于一点.三角形的三条高线有两条是在三角形外部，一条在三角形内部.直角三角形钝角三角形学习探究 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高.三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交共性：三角形的三条高所在直线交于一点.三角形内部直角顶点三角形外部三条高所在直线的交点的位置归纳小结 三角形的中线ACB●●D连结ΔABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ΔABC的边BC上的中线.（1）画出ΔABC的另外两边上的中线；（3）把刚才的锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，结果又怎么样呢？答：三角形的三条中线在三角形的内部交于一点，这个交点叫做三角形的重心.EF●●●●●答：换成直角三角形或钝角三角形，所得到的结果不变.新知学习（2）观察ΔABC的三条中线，说说你的发现. 三角形的角平分线ACBD●●FE●●●●画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，线段AD叫做△ABC的角平分线.（2）观察三条角平分线，说说你的发现.答：三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，并且三条角平分线都是线段.对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？新知学习（1）画出△ABC的另外两条角平分线； 例1：已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，例题讲析∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF． 例2：如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．解：（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°-40°=10°．例题讲析 1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)D随堂练习2、如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空：（1）BE=（）=()；（2）∠BAD=（）=（）；（3）∠AFB=()=90°.CEBE∠CAD∠BAC∠AFC 随堂练习3、如图，已知在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长．解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE=2，AF=3，∴AB=2AF=2×3=6，AC=2AE=2×2=4，∵△ABC的周长为15，∴BC=15-6-4=5． 归纳总结1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法；2..三角形的高、中线、角平分线的几何表达及简单应用.