2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第6课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)对应学生用书第97页 考试要求结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 链接教材　夯基固本第6课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝___________ωx＋φφ 2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2πx－y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0 3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径提醒：两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．AA [常用结论]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．()(2)y＝sinx的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin．()(3)将y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式是y＝3sin．()(4)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．()×××√ 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为()A．2，4π，B．2，C．2，，－D．2，4π，－C[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]2．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度A[y＝2sin＝2sin.]√√ √3．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的()A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．故选D.] 4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为_______________________________．y＝5sin＋10，x∈[6，14][从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的半个周期，则所以A＝×(15－5)＝5，B＝×(15＋5)＝10.又＝14－6，所以ω＝.又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，所以y＝5sin＋10，x∈[6，14].]点拨：A＝，B＝.y＝5sin＋10，x∈[6，14] 典例精研　核心考点第6课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例1](1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝()A．sinB．sinC．sinD．sin(2)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度√√ (1)B(2)A[(1)依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．故选B.(2)y＝cos＝sin＝sin，将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得到y＝sin(2x＋2φ)，故2φ＝，解得φ＝，即向左平移个单位长度．故选A.] 名师点评(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值． [跟进训练]1．(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A．B．C．D．(2)将函数y＝tan(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为()A．B．2C．3D．6√√ (1)C(2)A[(1)由题意知：曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z.又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C.(2)将函数y＝tan(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后，可得f(x)＝tan＝tan，将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，可得g(x)＝tan＝tan，因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以＝，k∈Z，即ω＝，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为.] 【教师备选资源】(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为()A．1B．2C．3D．4C[把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝f(x)＝cos＝cos＝－sin2x的图象．作出函数f(x)＝－sin2x和直线y＝x－的部分图象如图所示，所以由图可知，y＝f(x)＝－sin2x的图象与直线y＝x－的交点个数为3.故选C.]√ 考点二　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式[典例2](1)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝()A．sinB．sinC．cosD．cos(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．√√－ (1)BC(2)－[(1)由题图知＝＝，得T＝π，即＝π，所以ω＝±2，不妨取ω＝2．又图象过点，由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，所以sin(ωx＋φ)＝sin，故A错误；由sin＝sin＝sin知B正确；由sin＝sin＝cos知C正确；由sin＝cos＝cos＝－cos知D错误．综上可知，选BC. (2)设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sinx＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝2kπ，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.由题图可知－1＜f(0)<0，即－1＜sinφ＜0，所以k＝1，则φ＝－，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－.]名师点评y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． [跟进训练]2．(1)(2024·天门模拟)函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝()A．－B．－C．D．－(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．√－ (1)B(2)－[(1)如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3.设函数f(x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，即f(x)＝tan，f(x)的图象过点，即tan＝tan＝－1，∵φ∈，则＋φ∈，∴＋φ＝－，解得φ＝－.故选B.(2)由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.] 考点三　三角函数图象与性质的综合应用[典例3](1)(多选)设函数f(x)＝cos(ω>0)，已知f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则()A．f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点B．f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C．f(x)在上单调递减D．ω的取值范围是(2)(多选)若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的值可能为()A．－2B．－1C．0D．1√√√√ (1)CD(2)AC[(1)因为x∈(0，2π)，所以ωx＋∈.设t＝ωx＋∈，画出y＝cost的图象如图所示．由图象可知，若f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则5π＜2πω＋≤7π，故f(x)在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A错误；f(x)在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B错误；由5π<2πω＋≤7π，可得<ω≤，故D正确；当x∈时，ωx＋∈.因为<ω≤，所以<ω＋，故f(x)在上单调递减，故C正确．故选CD. (2)由2cos2x－sin2x＝－m，整理可得cos＝－，令t＝2x＋，因为x∈，则t∈.所以cost＝－在区间上有且只有一个解，即y＝cost的图象和直线y＝－只有1个交点．由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－1<m≤0.故选AC.]名师点评与三角函数性质有关的综合题的求解策略(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． [跟进训练]3．(1)(多选)(2024·广东汕头金山中学模拟)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0，x∈R)，且f(x)所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是()A．函数g(x)是偶函数B．g(x)的图象关于点对称C．g(x)在上是增函数D．当x∈时，函数g(x)的值域是[1，2](2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．√√[2，3) (1)BD(2)[2，3)[(1)因为f(x)＝sinωx－cosωx＝2sin.由ωx－＝kπ，k∈Z可得，x＝π，k∈Z.由已知可得，π＝，所以ω＝2，f(x)＝2sin.将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin的图象，横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝2sin的图象，所以g(x)＝2sin. 对于A，因为g(－x)＝2sin≠g(x)，所以函数g(x)不是偶函数，故A错误；对于B，因为－＝0，所以g(x)的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为－≤x≤，所以0≤x＋.因为函数y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，因为－≤x≤，所以≤x＋.因为函数y＝sinx在上单调递增，所以＝sin≤sin≤sin＝1，所以1≤g(x)＝2sin≤2，故D项正确．故选BD. (2)法一：函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象(图略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．法二：函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cosx在[0，2π]上的图象(图略)可知，cosx＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cosωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．] 【教师备选资源】(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2sinφ(ω＞0，|φ|＜π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f(0)＜0；②函数f(x)的图象的一个对称中心为且f＞0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(t＞0)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间上恰有3个零点，求t的取值范围． [解](1)由题意可得f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2sinφ＝2sinωxcosφ＋2sinφ－sinφ(2－2cosωx)＝2sinωxcosφ＋2cosωxsinφ＝2sin(ωx＋φ)，由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故T＝4×＝，∴ω＝2，故f(x)＝2sin(2x＋φ)．若选①，函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y＝2sin，由题意知该函数为偶函数，故＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z，由于|φ|＜π且f(0)＜0，即sinφ＜0，故φ＝－，故f(x)＝2sin. 若选②，函数f(x)的图象的一个对称中心为且f＞0，则＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－，k∈Z，由于|φ|＜π且f＞0，即sin＞0，故φ＝－，故f(x)＝2sin.(2)由题意可得g(x)＝2sin，x∈，∴2tx－∈，由于y＝g(x)在区间上恰有3个零点，故2π≤＜3π，即t∈. 考点四　三角函数模型的应用[典例4](多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是()A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒√√√ BCD[由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误；当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而＝，点P正好处于最低点，故B正确；建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由所以 又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝，所以ω＝，φ＝－，所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确；将H＝1＋代入H＝2sin＋1中，得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)．所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确．]名师点评三角函数模型的应用体现在两方面一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． [跟进训练]4．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米．60sinα225[在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60(米)，∴PQ＝APsinα＝60sinα(米)．在Rt△PAR中，可得PR＝60sin，由题可知∠QPR＝，∴S△PQR＝·PQ·PR·sin∠QPR＝×60sinα×60sin×sin＝900sinαsin＝450＝450，又α∈，∴2α＋∈，∴当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积取最大值225平方米，即三角形绿地的最大面积是225平方米．]60sinα225 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十八)函数y＝Asin(ωx＋φ) THANKS