2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第5课时　三角函数的图象与性质

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第5课时　三角函数的图象与性质对应学生用书第93页 考试要求能画出三角函数的图象.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 链接教材　夯基固本第5课时　三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域____________________R周期2π_______奇偶性____________奇函数单调性递增区间_________________________________________________________________________________递减区间____________________________________________________无对称性对称中心____________________________________________________，k∈Z对称轴____________________________________________________无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋，k∈Zkπ，k∈Z[－1，1][－1，1]2ππ奇函数偶函数，k∈Z[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，k∈Z，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z(kπ，0)，k∈Z，k∈Zx＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Z [常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1．()(3)函数y＝tanx图象的对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)．()(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数．()×××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y＝3tan的定义域是()A．B．C．D．C[要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠π＋，k∈Z，所以函数的定义域为.]√ 2．(人教A版必修第一册P213习题5.4T2改编)下列函数中，周期为1的奇函数是()A．y＝sinπxB．y＝sinC．y＝sinπxcosπxD．y＝tanxC[对于A，函数为奇函数，T＝＝2，A错误；对于B，y＝sin＝cos2πx为偶函数，T＝＝1，B错误；对于C，y＝sinπxcosπx＝sin2πx为奇函数，T＝＝1，C正确；对于D，y＝tanx为奇函数，T＝＝2，D错误．故选C.]√ 3．(人教A版必修第一册P207例5改编)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．B．C．D．D[令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.因为x∈[－π，0]，所以所求函数的单调递增区间为.]4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝______________．5＋2kπ(k∈Z)[函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．]√5＋2kπ(k∈Z) 典例精研　核心考点第5课时　三角函数的图象与性质考点一　三角函数的定义域和值域[典例1](1)(易错题)函数y＝的定义域为____________________________．(2)函数y＝sinx－cos的值域为____________．(3)当x∈时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________．(1)(2)[－，](3)[(1)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.[－，] (2)∵y＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，∴函数y＝sinx－cos的值域为[－].(3)因为x∈，所以sinx∈.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝＋，所以当sinx＝时，ymin＝，当sinx＝－或sinx＝1时，ymax＝2．即所求函数的值域为.] 【教师备选资源】1．函数y＝lg(sin2x)＋的定义域为_____________________．[∵函数y＝lg(sin2x)＋，∴应满足解得其中k∈Z，∴－3≤x<－或0<x<，∴函数的定义域为.] 2．已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．－[f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．因为cosx＋1≥0，所以当cosx＜时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；当cosx＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当cosx＝时，f(x)有最小值，又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以当sinx＝－时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×＝－.]－ 名师点评求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数，可先化为y＝Asin(x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围． [跟进训练]1．(1)函数y＝的定义域为__________________________．(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为_______________．(1)(k∈Z)(2)[(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π，所以原函数的定义域为.(k∈Z) (2)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.∴函数的值域为.] 考点二　三角函数的周期性与对称性[典例2](1)(2023·湖南雅礼中学一模)f(x)＝的最小正周期是()A．πB．C．D．2π(2)(2024·河北沧州模拟)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的图象关于直线x＝对称，当f(x)的最小正周期取得最大值时，f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为()A．B．C．D．√√ (1)A(2)D[(1)画出f(x)＝的图象，如图所示，可得f(x)＝的最小正周期，即y＝sin2x的最小正周期，最小正周期为＝π.故选A.(2)由已知得ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k－(k∈Z)，当k＝1时，ω最小，且为，则T最大，此时f(x)＝cos，其对称中心的横坐标为x＝kπ－(k∈Z)，当k＝0时，函数f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为.故选D.] 名师点评(1)求函数周期的两种常见方法：①公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为.y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|的周期T＝，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期T＝.②图象法．(2)对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式．②对称轴是直线，方程最终要写成“x＝…”的形式． [跟进训练]2．(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝cosD．y＝tan(2)(多选)(2023·广东深圳二模)已知f(x)＝cos(sinx)，则下列结论正确的是()A．f(x)＝f(x＋π)B．f(x)的图象关于直线x＝π对称C．f(x)的图象关于点中心对称D．f(x)的值域为[－1，1](3)若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f.则其解析式可以是f(x)＝________________．(写出一个满足条件的解析式即可)√√√√√cos3x(答案不唯一) (1)ABC(2)AB(3)cos3x(答案不唯一)[(1)对于A项，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；对于B项，由图象(图略)知y＝|sinx|的最小正周期为π；对于C项，y＝cos的最小正周期T＝＝π；对于D项，y＝tan的最小正周期T＝.(2)对于A，因为f(x)＝cos(sinx)，所以f(x＋π)＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)＝f(x)，所以A正确；对于B，由A可得f(x＋π)＝f(x)，f(－x＋π)＝cos[sin(－x＋π)]＝cos(sinx)＝f(x)，所以f(x＋π)＝f(－x＋π)，所以可得直线x＝π是函数f(x)图象的对称轴，所以B正确；对于C，因为f＝cos＝cos(cosx)，而f＝cos＝cos(cosx)＝f，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝，所以C错误；对于D，因为sinx∈[－1，1]，所以f(x)∈[cos1，1]，所以D错误．故选AB. (3)因为对于任意的x∈R，都有f＝f，所以函数的图象关于直线x＝对称．又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos3x.以下验证f(x)＝cos3x符合题意．因为f(－x)＝cos(－3x)＝cos3x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．令3x＝kπ，k∈Z，∴x＝，k∈Z，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称．] 【教师备选资源】(1)(2023·扬州三模)以点(k∈Z)为对称中心的函数是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝tanxD．y＝|tanx|(2)当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y＝f是()A．奇函数且图象关于直线x＝对称B．偶函数且图象关于直线x＝对称C．奇函数且图象关于点对称D．偶函数且图象关于点对称√√ (1)C(2)D[(1)y＝sinx的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)，A错误；y＝cosx的对称中心为点(k∈Z)，B错误；y＝tanx的对称中心为点(k∈Z)，C正确；令f(x)＝|tanx|，∵f(x)＋f(π－x)＝2|tanx|，不恒等于0,∴f(x)的图象不关于点成中心对称，D错误．故选C.(2)因为当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－，所以f(x)＝Asin(A>0)，所以y＝f＝Asin＝－Acosx，所以函数y＝f为偶函数且图象关于点对称．故选D.] 考点三　三角函数的单调性考向1求三角函数的单调区间[典例3](1)函数f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________________．(2)函数y＝|tanx|的单调递增区间为__________________，单调递减区间为__________________．(1)和(2)，k∈Z，k∈Z[(1)f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．令A＝，k∈Z,B＝[0，π]，∴A∩B＝，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.(2)作出函数y＝|tanx|的图象，如图．观察图象可知，函数y＝|tanx|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.]和，k∈Z，k∈Z 考向2根据单调性求参数[典例4]已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是()A．(0，2]B．C．D．D[法一(反子集法)：∵x∈，∴ωx＋∈.∵f(x)在上单调递减，∴解得又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时≤ω≤.故选D.√ 法二(子集法)：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，因为f(x)＝sin在上单调递减，所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.] 名师点评三角函数单调性的两类题型及求解策略(1)已知三角函数解析式求单调区间①求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②求形如y＝A|sin(ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． [跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝sin，则()A．f(x)在上单调递增B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增(2)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是()A．B．C．D．π√√ (1)A(2)A[(1)f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2πx－＋2kπ，k∈Z，解得－＋k≤x≤＋k，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，故f(x)在上单调递增．故选A.(2)f(x)＝cosx－sinx＝cos，由题意得a>0，故－a＋<，因为f(x)＝cos在[－a，a]上单调递减，所以解得0<a≤，所以a的最大值是.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十七)三角函数的图象与性质 THANKS