2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第8课时　对数与对数函数

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 第8课时　对数与对数函数对应学生用书第38页 考试要求理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 链接教材　夯基固本第8课时　对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中__叫做对数的底数，__叫做真数．以__为底的对数叫做常用对数，log10N记为____．以_为底的对数叫做自然对数，logeN记为____．x＝logaNaN10lgNelnN 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝_，logaa＝_(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝____________；②loga＝____________；③logaMn＝_______(n∈R)．(3)对数恒等式：alogaN＝__(a>0，且a≠1，N>0)．(4)换底公式：logab＝.01logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMN 3．对数函数(1)一般地，函数________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域___________值域R性质过定点________，即x＝1时，y＝0当x>1时，____；当0<x<1时，____当x>1时，____；当0<x<1时，____在(0，＋∞)上是__函数在(0，＋∞)上是__函数4．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线____对称．y＝logax(0，＋∞)(0，＋∞)(1，0)y>0y<0y<0y>0增减y＝x [常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad．(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x．()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．()××√√ 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________．[由(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1.所以函数y＝的定义域是.]2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小：(1)log0.56________log0.54；(2)log2________3.<＝ 3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝______．[(log43＋log83)×log32＝＝.]4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga＜1，则实数a的取值范围是__________________．∪(1，＋∞)[当a>1时，满足条件；当0<a<1时，由得0<a<.综上，a∈∪(1，＋∞)．]∪(1，＋∞) 典例精研　核心考点第8课时　对数与对数函数考点一　对数的运算[典例1](1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m＝3n＝k且＝2，则k＝()A．B．C．5D．6(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________．(1)B(2)－log62[(1)因为2m＝3n＝k且＝2，所以m≠0且n≠0，所以k＞0且k≠1，且有m＝log2k，n＝log3k，所以＝logk2，＝logk3，所以＝logk2＋logk3＝logk6＝2，则k2＝6.又因为k＞0且k≠1，解得k＝.故选B.(2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62．]√－log62 名师点评解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． [跟进训练]1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b，则＝()A．B．2C．6D．9(2)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2＝________．√(1)C(2)4[(1)因为2a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，又b＝log83＝＝log23，所以＝＝6.故选C.(2)原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2×lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2×(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2×lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4．]4 考点二　对数函数的图象及应用[典例2](1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是()A．B．C．(1，)D．(，2)√√ (1)A(2)B[(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上，0<a-1<b<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.] [拓展变式]将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是__________．[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤.] 名师点评对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [跟进训练]2．(1)(多选)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()ABCD(2)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是__________．√√(3，＋∞) (1)AD(2)(3，＋∞)[(1)易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax-2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax-2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.(2)f(x)＝|lnx|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|，因为0<a<b，所以lna<0，lnb>0，所以0<a<1，b>1，所以－lna＝lnb，所以lna＋lnb＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．] 考点三　对数函数的性质及应用考向1比较大小[典例3](1)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b(2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a<c<b√√ (1)D(2)C[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，如图，由图可知c＞a＞b.(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.] 考向2解与对数有关的不等式[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B．C．D．(0，2](2)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)√√ (1)C(2)C[(1)因为a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C.(2)由题意可得或解得a>1或－1<a<0.故选C.] 考向3对数函数性质的综合应用[典例5](1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1，2)B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln，下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)已知函数f(x)＝ln－x是偶函数，则实数a的值为________．√√√√2 (1)A(2)ACD(3)2[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．(2)令>0，解得x>或x<－，∴f(x)的定义域为，又f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln＝ln，令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝lnt，又t＝1＋在上单调递减，且y＝lnt为增函数，∴f(x)在上单调递减，故C正确；由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．(3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln－x是偶函数，则f(－x)＝ln＋x＝f(x)＝ln－x，即ln＝2x，化简得lneax＝2x，解得a＝2．] 【教师备选资源】(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在上单调递增B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增D．是奇函数，且在上单调递减√ D[由得函数f(x)的定义域为，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C.当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B.当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D.]名师点评求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． [跟进训练]3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则()A．x＞yB．x＋＞y＋C．ln(x－y)＜0D．＜2－y(2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则()A．当m>时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x＝－对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R(3)已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg3)＋f＝_____．(4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝________．√√√√√45 (1)ABD(2)AC(3)4(4)5[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞lny－lnx，所以lnx＋x＞lny＋y.对于A，设f(x)＝lnx＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为lnx＋x＞lny＋y，所以f(x)＞f(y)，所以x＞y，故A正确；对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y，所以＜，所以x＋＞y＋，故B正确；对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误；对于D，因为x＞y，所以－x＜－y，所以2－x＜2－y，即＜2－y，故D正确．故选ABD. (2)对于A，若m>，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)＝ln＝ln(x2＋x＋m)的图象，此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝＋m－，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC. (3)设g(x)＝ln(－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg3)＋f＝f(lg3)＋f(－lg3)＝g(lg3)＋2＋g(－lg3)＋2＝4.(4)由题意得∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5．]点拨：易忽视g(x)的定义域． 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十三)对数与对数函数 THANKS