2025年高考数学一轮讲义第5章　高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题

三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)各自有一些特殊的性质，在高考中常以向量作为载体，对三角形的“四心”进行考查．这就要求我们不仅要熟悉三角形“四心”的概念，还要掌握三角形“四心”的向量形式．1．三角形“四心”的概念：(1)重心－－三角形的三条中线的交点；(2)垂心－－三角形的三条高线的交点；(3)内心－－三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；(4)外心－－三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．2．三角形的“四心”的向量形式：设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2sinA.(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.命题点一　“四心”的判断[典例1]　若三个不共线的向量OA，OB，OC满足OA·ABAB+CACA＝OB·BABA+CBCB＝OC·CACA+BCBC＝0，则点O为△ABC的(　　)A．内心　B．外心C．重心　D．垂心[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4/4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　熟知三角形“四心”各自的特征是求解此类问题的关键．如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边的向量的数量积为0；角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．[跟进训练]1．已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2AB·AO＝|AB|2，2AC·AO＝|AC|2，则点O为△ABC的(　　)A．内心　B．外心C．垂心　D．重心命题点二　与“四心”有关的计算　外心[典例2]　(1)在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，AB＝4，则AO·AG＝(　　)A．4　B．8C．12　D．16(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝10，AC＝3．若O是△ABC的外心，且AO＝pAB＋qAC，则p＝________，q＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重心[典例3]　已知△ABC的重心为O，且AB＝4，BC＝6，AC＝8，则BO·AC＝(　　)A．－203　B．203C．283　D．16[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4/4 　垂心[典例4]　已知H为△ABC的垂心，AB＝4，AC＝6，M为边BC的中点，则HM·BC＝(　　)A．20　B．10C．－20　D．－10[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　内心[典例5]　在△ABC中，若|AB|＝2，|AC|＝3，|BC|＝4，O为△ABC的内心，且AO＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝(　　)A．34　B．59C．79　D．57[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解此类问题的关键是结合三角形的特点，运用“四心”的向量表达式及其相关性质．[跟进训练]2．(1)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)A．1063　B．1463C．43　D．62(2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线．设点O，G，H分别为△ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是(　　)4/4 A．OG＝12OH　B．OH＝23GHC．AG＝AO+2AH3　D．BG＝2BO+BH3(3)已知相异两点O，H分别为△ABC的外心与垂心，且OH＝m·(OA+OB+OC)，则实数m＝________．4/4