2025年高考数学一轮讲义第4章 高考培优5　与三角形有关的范围(最值)问题

　与三角形有关的范围(最值)问题题型一　已知三角形的一角求取值范围[典例1]　(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsinA－3a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题中的三角形形状是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，转化为求三角函数取值范围问题．[跟进训练]1．若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；ca的取值范围是________．题型二　已知三角形的一角及其对边求取值范围[典例2]　(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[四字解题]读想算思BC＝3，求最值的求法基本不等式余弦定理及AC·AB≤AC+AB22求周长的范围转化化归、函数与方程△ABC周长的最大值三角函数利用正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，再求最值4/4 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤AC+AB22求周长的范围；思路二是借助正弦定理把AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值．重视在余弦定理中利用基本不等式，体现a＋b，ab，a2＋b2三者互化，进而求三角形面积的最值或周长的最值．[跟进训练]2．(2023·山东菏泽二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝22，且tanB＋tanC＝2sinAcosC.(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型三　已知三角形的一角及其邻边求取值范围[典例3]　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以将边转化成三角函数后进行求解，求解思路类似于典例2．锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件．[跟进训练]4/4 3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝π3，则a＋b的取值范围是________．题型四　已知三角形中角(或边)的关系求取值范围　[典例4]　(12分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA＝sin2B1+cos2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．[规范解答]　(1)因为cosA1+sinA＝sin2B1+cos2B＝2sincosB2cos2B＝sinBcosB，所以sinB＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC＝12，而0＜B＜π3，所以B＝π6.·······················4分(2)由(1)知，sinB＝－cosC＞0，所以π2＜C＜π，0＜B＜π2，而sinB＝－cosC＝sinC-π2，···················6分　　　　　　↓　　　　关键点：由此发现B，C的关系所以C＝π2＋B，所以A＝π2－2B.···················7分所以a2+b2c2＝sin2A+sin2Bsin2C·······················8分　　　　　　↓　　　切入点：实现边角互化＝cos22B+1-cos2Bcos2B＝2cos2B-12+1-cos2Bcos2B＝4cos2B＋2cos2B－5························10分≥28－5＝42－5，·······················11分当且仅当cos2B＝22时取等号，所以a2+b2c2的最小值为42－5.······124/4 分　本题第(1)问难度较小，可以从中体会由角B，C的关系求B，进而发现求解第(2)问需要的角A，B，C的关系，再采用消元思想求解，解题的关键点是“sinB＝－cosC＝sinC-π2”．[跟进训练]4．(1)(2024·河南安阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则3a-cb的取值范围为(　　)A．(3，4]　　　　　B．73，125C．3，134　D．(2，5](2)(2024·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为________．4/4