2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题

§8.11圆锥曲线中范围与最值问题第八章直线和圆、圆锥曲线 题型一范围问题(1)求椭圆C的方程； 即2a＝4，所以a＝2， (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围. 当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意.故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1， 思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. 思维升华(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 跟踪训练1(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，解得p＝2. (2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围. 由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞). 题型二最值问题(1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值. 设点M的横坐标为xM>0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2；当直线l的斜率存在时，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1，即xM>2，此时点M到y轴的距离大于2.综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. (1)求C的方程； ∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2， 得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半.由题知，BF1的斜率不为零， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵Δ>0， 即m＝±1时取等号， 课时精练 基础保分练1.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，(1)求双曲线C的标准方程；∴c＝2，b2＝3，1234 1234(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，①1234 ∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，1234 ②③1234 1234(1)求椭圆C的方程； 1234 1234 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，1234 即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，1234 当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，1234 综合提升练3.(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点).(1)求抛物线E的方程；解得p＝2.故抛物线E的方程为y2＝4x.1234 1234(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值. 由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0，消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.1234 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，1234 1234 所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以当x＝2时，f(x)取得最小值，1234 1234拓展冲刺练4.已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上.(1)求此椭圆的方程； 由题意知，c＝2，因为焦点在y轴，1234 1234(2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的取值范围. 如图，当过F2的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为y＝＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，1234 1234因为AB⊥CD， 所以四边形ACBD的面积1234 当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，则直线AB的方程为y＝2，将y＝2代入椭圆方程，1234