2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题

§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题题型一　范围问题例1　(2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，即2a＝4，所以a＝2，又因为c＝，可得b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，所以k≥－，又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．思维升华　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法10 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1　(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．解　(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，由抛物线的定义知1＋＝2，解得p＝2.(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，设A，B(y1≠0，y2≠0)，设l：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，设l1：y－y1＝k，联立方程组消去x，整理得ky2－4y＋4y1－ky＝0，所以Δ＝16－4k(4y1－ky)＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，所以k＝，则l1：y－y1＝，即y＝x＋，令x＝0，得M，10 同理l2：y＝x＋，N，联立得交点Q的横坐标为xQ＝＝－1，∴S△QMN＝|MN|·|xQ|＝×1＝＝≥1，∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．题型二　最值问题例2　(2022·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．解　(1)由题设可知解得则C：－y2＝1.(2)设点M的横坐标为xM>0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，整理得4k2＝m2＋1，联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，则x1＋x2＝－＝－＝－，则xM＝＝－>0，即km<0，则x＝＝4＋>4，即xM>2，此时点M到y轴的距离大于2.10 综上所述，点M到y轴的最小距离为2.思维升华　圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练2　(2023·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为.(1)求C的方程；(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值．解　(1)∵e＝＝，∴＝，∴c2＝a2，∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，由⇒y＝±，由题可知2＝，解得a2＝3，∴C：＋y2＝1.(2)由＝λ，得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD10 为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半．由题知，BF1的斜率不为零，故设BF1的方程为x＝my－，联立得(m2＋3)y2－2my－1＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵Δ>0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，故|BC|＝·|y1－y2|＝，O到BF1的距离d＝，＝S四边形ABCD＝×4S△OBC＝2××|BC|·d＝|BC|·d＝·＝2·＝2·＝2·≤2×＝，当且仅当＝，即m＝±1时取等号，∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为.课时精练1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．10 解　(1)∵a＝1，＝2，∴c＝2，b2＝3，∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，联立得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，依题意即①由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1·x2＝－，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，∴kBQ＝＝＝－，∴3－k2＝m，②又k2＝3－m>0，③由①②③得m<－或0<m<.2．(2023·吕梁模拟)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－，求·的取值范围．解　(1)由题意可得又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.10 所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，联立消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，则又k1k2＝＝－，故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0，即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，所以＝＝k2＋＝k2＋＝＝－，整理得2t2＝9k2＋3≥3，则t2≥且Δ>0恒成立．·＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝·＝3·＝3，又t2≥，且t2≠3，故3∈[－3,0)∪(0,3)．当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，则k1k2＝－＝－，又＋＝1，解得x＝，则·＝x－y＝x＝3.综上，·的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．解　(1)由题意可得解得p＝2.10 故抛物线E的方程为y2＝4x.(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0，联立消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，联立消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.所以y1＋y3＝－，y1y3＝.所以|AC|＝＝＝＝＝·|ty1＋2|＝·(ty1＋2)．同理可得|BD|＝·(ty2＋2)，所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.4．已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上．(1)求此椭圆的方程；(2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD10 面积的取值范围．解　(1)由题意知，c＝2，因为焦点在y轴，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将点P的坐标代入上式得＋＝1，联立方程解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.(2)如图，当过F2的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为y＝－x＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立直线AB与椭圆方程得x2＋kx－＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝－，线段AB的长为|AB|＝|x1－x2|＝×＝4×，同理联立直线CD与椭圆方程得到|CD|＝×|x3－x4|＝4×，因为AB⊥CD，所以四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝16×＝8×，10 令f(k)＝·，t＝，则有0<t<1，g(t)＝(1＋t)是关于t的二次函数，当0<t<1时，1<g(t)≤，所以≤S<8；当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，则直线AB的方程为y＝2，将y＝2代入椭圆方程，得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝8；所以四边形ACBD面积的取值范围是.10