2025年高考数学一轮讲义第5章 第1课时　平面向量的概念及线性运算

第1课时　平面向量的概念及线性运算[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有____的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称__)．(2)零向量：长度为__的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于________长度的向量．(4)平行向量(共线向量)：方向____或____的非零向量．规定：0与任意向量____．(5)相等向量：长度相等且方向____的向量．(6)相反向量：长度相等且方向____的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法几何意义a－b＝a＋(－b)6/6 数乘|λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb提醒：λ，μ为实数．3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．[常用结论]1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔OP＝12(OA+OB)．2．若OP＝vOA＋μOB(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．3．若G为△ABC的重心，则有(1)GA+GB+GC＝0；(2)AG＝13(AB+AC)．4．对于任意两个向量a，b，都有(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　　)(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c．(　　)(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　)A．AB+AC＝BCB．AB-AD＝BDC．AB+BC-AC＝0D．AM+MB+BO+OM＝AM6/6 2．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，AB＝3e，CD＝－3e，|AD|＝3，则四边形ABCD是(　　)A．梯形　B．菱形C．矩形　D．正方形3．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．考点一　平面向量的概念[典例1]　(1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是(　　)A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　)A．EF＝CDB．AB与DE共线C．BD与CD是相反向量D．AE＝12|AC|[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．6/6 (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)aa是与非零向量a同方向的单位向量．[跟进训练]1．(2024·北京大兴模拟)设a，b是非零向量，“aa＝bb”是“a＝b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点二　平面向量的线性运算　向量的线性运算[典例2]　(1)如图，O是▱ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是(　　)A．OA+OB＝AB　　B．OA+OB＝BAC．AO-OB＝AB　D．OA-OB＝CD(2)在△ABC中，BD＝13BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝(　　)A．23a＋13b　B．13a＋23bC．13a－23b　D．23a－13b[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据向量的线性运算求参数[典例3]　(2024·山西大同模拟)在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，BM＝mAB＋nAC，则m＋n＝(　　)A．－12　　B．12　6/6 C．1　　D．－1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面向量线性运算的求解策略(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值．[跟进训练]2．(1)已知单位向量e1，e2，…，e2024，则|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，则x－y＝________．考点三　向量共线定理的应用[典例4]　(1)已知AB＝a＋5b，BC＝－3a＋6b，CD＝4a－b，则(　　)A．A，B，D三点共线　B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线　D．A，C，D三点共线(2)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设AM＝xAB，AN＝yAC，则1x+1y的值为(　　)A．3　B．4C．5　D．6[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用向量共线定理解题的策略6/6 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．[跟进训练]3．(1)(2023·广东广州二模)在△ABC中，M是AC边上一点，且AM＝12MC，N是BM上一点，若AN＝19AC＋mBC，则实数m的值为(　　)A．－13　B．－16C．16　D．13(2)设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积之比是(　　)A．13　B．12C．23　D．346/6