第25讲 平面向量的概念及线性运算（解析版）

第25讲平面向量的概念及线性运算一．向量的基础概念新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞1.向量：既有大小又有方向的量wxckt@126.com向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表新疆新疆王新敞王新敞示，如：AB奎屯向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或|a|奎屯向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆王新敞新疆奎屯源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞2.零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行wxckt@126.com零向量a＝0|a|0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．新疆王新敞3.单位向量：模为1个单位长度的向量．向量a0为单位向量|a0|＝1奎屯新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126.comwxckt@126.com新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量wxckt@126.com任意一组平行向量都可以移到同一直线上wxckt@126.com方向相同新疆王新敞或相反的向量，称为平行向量，记作ab奎屯由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线新疆王新敞上，故平行向量也称为共线向量奎屯数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞两个向量共线的证明方法：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=awxckt@126.com新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126.comwxckt@126.com新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞5.相等向量：长度相等且方向相同的向量wxckt@126.com相等向量经过平移后总可以重合，记为abwxckt@126.com6.向量的加法新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞求两个向量和的运算叫做向量的加法wxckt@126.com向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量wxckt@126.com（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点wxckt@126.com设ABa,BCb，则新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞a+b=ABBC=ACwxckt@126.com当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．7.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：aba(b)wxckt@126.com求两个向量差的运算，新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞叫做向量的减法wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋htp:/w.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）wxckt@126.com8.向量的数乘运算(1)(a)a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.题型一：向量的模1．（全国）如图，在平行六面体ABCDABCD的棱中，与向量AA模相等的向量有（）A．0个B．3个C．7个D．9个【答案】C【详解】由向量模相等，即为长度相等，根据平行六面体的结构特征可知：与向量AA模相等的向量是：AA，BB，BB，CC，CC，DD，DD共7个．故选：C．2．（北京东城·）若a,b都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）rrA．abB．ab1C．a//bD．ab【答案】D【详解】方向相同大小相等的向量是相等向量，但是a,b不一定方向相同，故A错误；ababcos1，为a,b的夹角，因为0,，所以cos1,1，所以ab不一定等于1，故B错误；方向相同或者相反的向量是平行向量，但是a,b不一定方向相同或相反，故C错误；rr因为a,b都是单位向量，所以a1,b1，所以ab，故D正确，故选：D.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 r3．（全国）已知向量a与b的夹角为60，且a3，b3，则ab等于（）A．33B．3C．32D．23【答案】A【详解】222两边平方aba2abb9233cos60927，所以ab33，故选：A.4．（全国）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A,B,C,D,E,F,O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线且模相等的向量共有（）A．2个B．3个C．6个D．7个【答案】D【详解】因为点O是正六边形ABCDEF的中心，所以OAOBOCODOEOF，且OA//EF//BC，O,A,D三点共线；uuur所以除向量OA外，与向量OA共线且模相等的向量有：AO，BC，CB，DO，OD，EF，FE，共7个．故选：D.5．（全国高一课时练习）已知向量a，b满足a1，b3，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则ab等于（）A．10B．5C．4D．5【答案】A【详解】设两个向量的夹角为，则acosbcos，从而cos0，22因为0,，故，所以abab10．2故选：A．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 6．（湖南张家界·高一期末）已知正方形ABCD的边长为1,则ABAD=A．2B．3C．2D．22【答案】C【详解】由题正方形ABCD的边长为1,根据向量加法法则，ABADAC2.故选：C题型二：相等向量1．（全国高一单元测试）设mR，向量a(1,2)，b(m,n1).若ab2a，则m,n的值分别是（）A．1，-1B．1，-3C．1，-2D．1，2【答案】A【详解】因为abm1,n3,2a2,4，所以m12,n34，解得m1,n1．故选：A．2．（全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若ab，则|a||b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】解：零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.所以正确的命题的个数为1，故选：B.3．（全国高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，若ABDC，则图中相等的向量是（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 uuurA．AC与CBB．OB与ODC．AC与BDD．AO与OC【答案】D【详解】因为ABDC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AC，BD互相平分。对于A：AC与CB不平行，不可能相等，故A错误；uuur对于B：OB与OD大小相同，方向相反，故B错误；对于C：AC与BD不平行，不可能相等，故C错误；对于D：AO=OC大小相等，方向相同．即AO与OC是相等的向量．故选：D．题型三：平面向量加减法1．（全国高二专题练习）若a，b，c均为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（）A．(ab)ca(bc)B．(ab)cacbcC．m(ab)mambD．(ab)ca(bc)【答案】D【详解】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．2．（全国高一课时练习）如图，向量ABa，，CDc，则向量可以表示为（）ACbBD微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．abcB．bacC．abcD．bac【答案】D【详解】如图，BDBCCDACABCDbac.故选：D.3．（全国高一课时练习）向量PAMAAOACOM化简后等于（）A．ACB．PAC．PCD．PM【答案】C【详解】PAMAAOACOMPAAOOMMAACPOOAACPC故选：C.4．（全国高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，BACDFB等于（）A．0B．BEC．ADD．CF【答案】A【详解】CDAF，BACDFBBAAFFB0.故选：A.5．（全国高一课时练习）在ABC中，点D是边BC的中点，则AD（）A．ABBDB．ABAC微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ABACABACC．D．22【答案】D【详解】111ADABBDABBCABACABACAB,222故选：D.6．（全国高一课时练习）化简OPQPPSSP的结果等于（）A．QPB．OQC．SPD．SQ【答案】B【详解】OPQPPSSPOQPSPSOQ.故选：B7．（山东高考真题）如下图，M是线段OB的中点，设向量OAa，OBb，那么AM能够表示为（）11A．abB．ab2211C．abD．ab22【答案】B【详解】1由题意，AMOMOAba．2故选：B8．（全国高二课时练习）已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则DACDCB等于（）A．DBB．ACC．ABD．BA【答案】D【详解】由空间向量的基本运算法则知，DACDCBCACBBA故选：D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 9．（福建厦门一中高二开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，ABa，ADb，AN3NC，则BN（）（用a，b表示）1331133r1rA．abB．abC．baD．ba44444444【答案】D【详解】由题意，在平行四边形ABCD中，ABa，ADb，AN3NC，33根据平面向量的线性运算法则，可得BNANABACAB(ABAD)AB441313ABADab.4444故选：D.10．（北京市陈经纶中学）如图，D是ABC的边AB中点，则向量CD=（）111A．BCBAB．CACB222111C．BCBAD．CACB222【答案】D【详解】1CDCBBDCBBA2111CBCACBCACB.222故选：D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 题型四：平面向量共线定理1．（全国高一课时练习）已知向量ABa2b，，CD3ab，则（）BC5a3bA．A,B,D三点共线B．A,B,C三点共线C．A,C,D三点共线D．B,C,D三点共线【答案】A【详解】∵向量BDBCCD2a4b，ABa2b，∴BD=2AB，即点A，B，D三点共线.故选：A.2．（全国高二课时练习）已知向量a,b，且AB=a+2b，BC=5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是（）A．A,B,DB．A,B,CC．B,C,DD．A,C,D【答案】A【详解】因为BC+CD=BD=2a+4b=2(a+2b)=2AB，所以A，B，D三点共线.故选：A3．（浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知向量a(3,2)，b(1,x)，且a与b平行，则x=（）25A．B．0C．1D．32【答案】A【详解】因为向量a(3,2)，b(1,x)，且a与b平行，3所以3x2，解得x，2故选：A.4．（江苏省苏州实验中学高一月考）已知向量a(3,1)，b(2m1,3)，若a与b共线，则实数m=（）137A．B．5C．D．122【答案】B【详解】由题意3312m10，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 解得m5.故选：Brrrr5．（银川三沙源上游学校高一期末（理））已知平面向量am1,2，b3,3，若a//b，则实数m的值为（）A．0B．3C．1D．1【答案】C【详解】rr因为a//b，所以(m1)3(3)(2)，解得m1.故选：C6．（全国高三专题练习（文））已知向量a1,2,b3,x共线，则实数x的值是（）3A．1B．C．6D．62【答案】C【详解】向量a1,2,b3,x共线，x60x6，故选：C.7．（南昌市八一中学（文））已知a，b是两个不共线的非零向量，若(2a3b)(3ab)，则实数（）99A．B．2C．2D．22【答案】A【详解】因为(2a3b)//(3ab)，所以存在tR，使得2a3bt(3ab)，所以(23t)a(t3)b，又因为a,b是两个不共线的非零向量，23t09所以，解得t302故选：Am8．（全国高一课时练习）已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manba2b，则等于（）nA．－2B．211C．－D．22微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】C【详解】因为manbm(2,3)n(1,2)(2mn,3m2n),又a2b(2,3)2(1,2)(4,1)，因为manb//a2b，所以14m7n0，m1整理得：.n2故选：C.9．（山东）已知向量a(3,4),b(1,3)，若3a2b与ma3b共线，则m的值为（）91A．B．2C．D．422【答案】A【详解】32易知a,b不共线，可以作为基底，所以由3a2b与ma3b共线，得，m39解得m.2故选：A．10．（全国高三专题练习）设e，e是两个不共线的向量，若向量meke(k∈R)与向量ne2e共121221线，则（）1A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝2【答案】D【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使mn，即e1ke2e22e1e22e1，又e与e是不共线向量，121k,122∴，解得k1.2故选：D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538