第五章　§5.1　平面向量的概念及线性运算

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§5.1　平面向量的概念及线性运算考试要求　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与aλ(μa)＝(λμ)a；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　√　)(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　×　)(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　√　)教材改编题1．(多选)下列命题正确的是(　　)A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c答案　BCD解析　A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．2．下列各式化简结果正确的是(　　)A.＋＝B.＋＋＋＝C.＋－＝0D.－－＝答案　B3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案　－解析　由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得题型一　平面向量的基本概念例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|答案　CD解析　对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A.B.C.D.答案　D解析　∵，，与方向不同，∴，，与均不相等；∵与方向相同，长度相等，∴＝.思维升华　平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)是与a同方向的单位向量．跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　)A．向量的长度与向量的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D．两个终点相同的向量，一定是共线向量答案　AC解析　对于A，向量与向量的长度相等，方向相反，故A正确；对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误．(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　)A.B.C.D.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　D解析　A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同，长度相等．题型二　平面向量的线性运算命题点1　向量加、减法的几何意义例2　(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．答案　2023　0解析　当单位向量e1，e2，…，e2023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；当单位向量e1，e2，…，e2023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值为0.命题点2　向量的线性运算例3　(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　)A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n答案　B解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.命题点3　根据向量线性运算求参数例4　(2023·大连模拟)在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)A．1B.C.D．2答案　B解析　如图所示，由题意知，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝，＝，设＝x，所以＝＋＝＋x＝＋x(－)＝x＋(1－x)＝x＋(1－x)，所以μ＝x，λ＝(1－x)，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.思维升华　平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2　(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是(　　)A.＋＝0B.∥C.＋＝2D.＝＋答案　D解析　A项，由图可知CH与ID相交，所以与不是相反向量，故A错误；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期B项，与共线，与不共线，所以与不共线，故B错误；C项，＋＝≠2，故C错误；D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，根据平行四边形法则可得＝＋，故D正确．(2)P是△ABC所在平面上一点，满足＋＋＝2，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则(　　)A．S1＝4S2B．S1＝3S2C．S1＝2S2D．S1＝S2答案　B解析　∵＋＋＝2＝2(＋)，∴3＝，∴∥并且方向一样，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝||·h，S△ABC＝||·h，又∵||＝3||，∴S△PAB＝S△ABC，S1＝3S2.(3)在△ABC中，P是BC上一点，若＝2，＝λ＋μ，则2λ＋μ＝________.答案　解析　在△ABC中，＝2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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