2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]

§6.4数列中的构造问题[培优课]第六章数　列 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式. 例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于A.22023－1B.42023－1C.22023＋1D.42023＋1题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)√ ∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1. 为______________. 例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式.命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) ∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n. 例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为A.an＝(2n＋1)·3nB.an＝(n－1)·2nC.an＝(2n－1)·3nD.an＝(n＋1)·2n命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)√ (2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________. 思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列 跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于A.n·2n－1B.n·2nC.(n－1)·2nD.(n＋1)·2n√ 又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.∴bn＝n，∴an＝n·2n－1. (2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为A.22023－2B.22023－1C.2D.1√ S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2. 令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝____________.2n＋1－n－1所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1. 例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于A.47B.48C.49D.410题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)√ 由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49. (2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*).则数列{an}的通项公式为an＝___________. 方法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n， 方法二因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2， 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}. 跟踪训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝______.3n－1 f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1. 题型三倒数为特殊数列√ 即0<4n－3<37，因为n为正整数，所以n的最大取值为9. (2)(多选)数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是C.(2n－1)an＝1D.3a5a17＝a49√√√ 则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对；＝22＝4，所以数列是等比数列，故B对；所以3a5a17≠a49，故D错. 跟踪训练3已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_________________. 课时精练 1234567891011121.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为A.15B.23C.32D.42因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.√ A.2n－3B.2n－7C.(2n－3)(2n－7)D.2n－5123456789101112√ 123456789101112所以an＝(2n－3)(2n－7). 3.已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为A.an＝2n－nB.an＝2n＋nC.an＝3n－1D.an＝3n＋1123456789101112√由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)，而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n. 123456789101112√ 123456789101112∴a1－a2＝3a1a2，解得a1＝1.由题意知an≠0， 123456789101112 123456789101112A.2n－1B.3n－1C.D.√则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝. 1234567891011126.设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于√ 123456789101112∵an－1＋an＝2n， 123456789101112 123456789101112√√ 123456789101112 123456789101112故选项A，B错误；即{an}为递减数列，故选项C正确； 123456789101112＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n故选项D正确. 8.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于A.2023×22020B.2024×22021C.2023×22021D.2024×22022123456789101112√ 123456789101112记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2， 123456789101112∴an＝(n＋1)×2n－2.又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2023行，∴M＝a2023＝2024×22021. 123456789101112(n＋1)3n－1 123456789101112 10.已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝_____.4123456789101112 123456789101112由an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)可得an＋1－an＝2(an－an－1)，若an－an－1＝0，则a6＝a5＝…＝a1，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0，即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝a2·2n－1，所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝124，所以a2＝4. 11.在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n，则an＝_____________.123456789101112 123456789101112∵an＋1＝3an＋2n①，∴an＝3an－1＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝3(an－an－1)＋2，令bn＝an＋1－an，则bn＝3bn－1＋2(n≥2)，利用求an＋1＝pan＋q的方法知，bn＝5·3n－1－1，即an＋1－an＝5·3n－1－1②， 123456789101112再利用累加法知， 1234567891011122n－1 123456789101112∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，又xn>2， 123456789101112∴an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，