2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]

第三章一元函数的导数及其应用§3.4函数中的构造问题[培优课] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b√ 因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减， (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.思维升华 跟踪训练1(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是A.(－∞，1)B.(－1,1)C.(－∞，0)∪(0,1)D.(－1,0)∪(0,1)√ 又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，即当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以x∈(－1,0)∪(0,1). 命题点2利用f(x)与ex构造例2(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2022，则不等式f(x)＋1>2023ex的解集为A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.D.(－∞，1)√ 因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，所以F(x)>F(0)，解得x<0. (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.思维升华 跟踪训练2(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为___________.(3，＋∞)设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). 命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造√ 即g(x)也是偶函数. 函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；思维升华F(x)＝f(x)cosx， F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；思维升华 a<b 设φ(x)＝f(x)·sinx，则φ′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx，∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数， 例4(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2题型二同构法构造函数√ 由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a<22b＋log22b，即f(a)<f(2b)，∴a<2b. (2)(2023·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为_____.e ∵xa＝＝ealnx，∴不等式即为ex－x≤ealnx－alnx，∵a>0且x>1，∴alnx>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e. 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数. 跟踪训练4(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sinβ－cosα，则A.sinα>sinβB.cosα>cosβC.cosα<sinβD.sinα>cosβ√√ ∵α，β均为锐角， ∴cosβ<sinα，sinβ>cosα. (2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则A.ab>eB.b>eaC.ab<eD.b<ea√由已知aea<blnb，则ealnea<blnb.设f(x)＝xlnx，则f(ea)<f(b).因为a>0，则blnb>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝lnx＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b. 课时精练 12345678910A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a√ 12345678910则有f(3)<f(e)<f(2)，即c<a<b. 2.若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0D.ln|x－y|<012345678910√ 由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定.12345678910 123456789103.(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－∞，－1)∪(0,1)√ 12345678910令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 12345678910不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 4.(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，则下列说法正确的是√12345678910 由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sinx，则g(x)为偶函数，又x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，即[f(x)sinx]′>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，12345678910 12345678910√√ 令函数g(x)＝lnx·f(x)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，12345678910 23456789101√ 由题意可知，m>0，n>0，则lnm－m＋2m2＝lnn－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2，构造函数f(x)＝2x2－x＋lnx，其中x>0，故A对，B错，无法判断C，D选项的正误.12345678910 7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则A.ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)B.ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)C.ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)D.ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)√12345678910 12345678910由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，所以e2f(2)<ef(1)，即ef(2)<f(1)，故A，B错误； 所以g(x)在R上单调递增，即f(2)>ef(1)，故D错误.12345678910 12345678910√ 由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n＝log22n＋2×2n，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，12345678910 9.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是___________.(2，＋∞)12345678910 12345678910根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2，所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞). 10.(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥lnx恒成立，则λ的取值范围为_______.12345678910 由题意，得eλx·λx≥xlnx＝elnx·lnx，令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f(λx)≥f(lnx)，即当x∈(1，＋∞)时，λx≥lnx，12345678910 所以在(1，e)上，g′(x)>0，则g(x)单调递增；在(e，＋∞)上，g′(x)<0，则g(x)单调递减；12345678910