第三章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§3.4　函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．题型一　导数型构造函数命题点1　利用f(x)与x构造例1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log2·f ，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．c>a>b答案　B解析　因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，因为20.6>1,0<ln2<1，log2＝－3<0，所以log2<0<ln2<1<20.6，又a＝g(20.6)，b＝g(ln2)，c＝g，所以c>b>a.思维升华　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.跟踪训练1　(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　)A．(－∞，1)B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)答案　D成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　令g(x)＝且x≠0，则g′(x)＝，又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，即当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)<0等价于g(x)＝<＝g(1)，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．命题点2　利用f(x)与ex构造例2　(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2022，则不等式f(x)＋1>2023ex的解集为(　　)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C.D．(－∞，1)答案　A解析　构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＝，因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，故F(x)＝在R上单调递减，f(x)＋1>2023ex可变形为>2023，又f(0)＝2022，所以F(0)＝＝2023，所以F(x)>F(0)，解得x<0.思维升华　(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．答案　(3，＋∞)解析　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴F(x)在R上单调递增．又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．命题点3　利用f(x)与sinx，cosx构造例3　已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0<x<时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx<0成立，则关于x的不等式f(x)<2f cosx的解集为(　　)A.∪B.C.D.答案　A解析　因为偶函数f(x)的定义域为，所以设g(x)＝，则g(－x)＝＝，即g(x)也是偶函数．当0<x<时，根据题意g′(x)＝<0，则g(x)在上单调递减，且为偶函数，则g(x)在上单调递增．所以f(x)<2f cosx⇔<⇔g(x)<g，所以解得x∈∪.思维升华　函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝，F′(x)＝；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝，F′(x)＝.跟踪训练3　已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sinx＋f(x)cosx<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为_____．(用“<”连接)答案　a<b解析　设φ(x)＝f(x)·sinx，则φ′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx，∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，∴φ＝φ>φ，即f ·sin>f ·sin ，即－f >f ，即f <－f ，∴a<b.题型二　同构法构造函数例4　(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a<b2答案　B解析　由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a<22b＋log22b，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.(2)(2023·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为________．答案　e解析　∵xa＝＝ealnx，∴不等式即为ex－x≤ealnx－alnx，∵a>0且x>1，∴alnx>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，∴x≤alnx，即a≥，即存在x∈(1，＋∞)，使a≥，∴a≥min，设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x∈(1，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.思维升华　指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数．跟踪训练4　(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sinβ－cosα，则(　　)A．sinα>sinβB．cosα>cosβC．cosα<sinβD．sinα>cosβ答案　CD解析　∵α＋β－>sinβ－cosα，∴β－sinβ>－α－sin，令f(x)＝x－sinx，x∈，f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在上单调递增，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴β>－α，∵α，β均为锐角，∴cosβ<cos，sinβ>sin，∴cosβ<sinα，sinβ>cosα.(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则(　　)A．ab>eB．b>eaC．ab<eD．b<ea答案　B解析　由已知aea<blnb，则ealnea<blnb.设f(x)＝xlnx，则f(ea)<f(b)．因为a>0，则blnb>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝lnx＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b.课时精练1．(2023·株洲模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．c<b<a答案　B解析　设f(x)＝，则a＝f(e)，b＝f(2)，c＝f(3)，又f′(x)＝，于是当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)＝在(，＋∞)上单调递减，注意到<＝2<e<3，则有f(3)<f(e)<f(2)，即c<a<b.2．若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)A．ln(y－x＋1)>0B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0D．ln|x－y|<0答案　A成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定．3．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　)A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案　B解析　令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．4．(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，则下列说法正确的是(　　)A．f <－f <－f B．－f <f <－f C．－f <－f <f 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期D．－f <f <－f 答案　D解析　由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sinx，则g(x)为偶函数，又x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，即[f(x)sinx]′>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则有g＝g<g<g，即－f <f <－f ，即－f <f <－f .5．(多选)(2023·开封模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且＋lnx·f′(x)>0，则(　　)A．f ＋f(e)>0B．f <0C．f(e)>0D．f(1)＝0答案　AC解析　令函数g(x)＝lnx·f(x)，则g′(x)＝＋lnx·f′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以g(e)＝f(e)>0，g＝－f <0，所以f ＋f(e)>0，f >0，f(1)的大小不确定．6．若lnm－m＋2m2＝lnn－n＋2e2n2＋1，则(　　)A.>eB.<eC．m－n>eD．m－n<e答案　A解析　由题意可知，m>0，n>0，则lnm－m＋2m2＝lnn－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期构造函数f(x)＝2x2－x＋lnx，其中x>0，则f′(x)＝4x＋－1≥2－1＝3>0，当且仅当x＝时，等号成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由lnm－m＋2m2>ln(en)－en＋2e2n2可得f(m)>f(en)，所以m>en>0，则>e，故A对，B错，无法判断C，D选项的正误．7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　)A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)答案　C解析　由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，所以e2f(2)<ef(1)，即ef(2)<f(1)，故A，B错误；构造函数g(x)＝，定义域为R，则g′(x)＝＝>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(1)，所以>，即f(2)>ef(1)，故D错误．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则等于(　　)A.B．1C.D．2答案　B解析　由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n＝log22n＋2×2n，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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