2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.4函数中的构造问题课件

第三章　一元函数的导数及其应用§3.4函数中的构造问题[培优课] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造A.(－2,0)∪(0,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0,2)√ ∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且为奇函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增，∵f(－2)＝f(2)＝0，当x>0时，F(2)＝0，若使不等式F(x)>0成立，则x>2；当x<0时，F(－2)＝0，若使不等式F(x)>0成立，则－2<x<0， (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.思维升华 跟踪训练1(2023·苏州模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b√ 因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减， 命题点2利用f(x)与ex构造例2(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则A.f(2022)<ef(2023)B.ef(2022)<f(2023)C.ef(2022)＝f(2023)D.ef(2022)>f(2023)√ 因为f(x)<f′(x)，即f′(x)－f(x)>0，所以g′(x)>0，g(x)在R上单调递增， (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.思维升华 跟踪训练2(2023·苏州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为___________.(3，＋∞) 设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). 命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造√ 函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；思维升华F(x)＝f(x)cosx， F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；思维升华 a<b 设φ(x)＝f(x)sinx，则φ′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx，∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数， 例4(1)设m>0，n>0，若lnm－en－1＝lnn－em，其中e是自然对数的底数，则A.m>nB.m<nC.m≤nD.m≥n题型二同构法构造函数√ 因为lnm－en－1＝lnn－em，所以lnm＋em－1＝lnn＋en，令f(x)＝lnx＋ex，因为y＝lnx，y＝ex均为(0，＋∞)上的增函数，故f(x)＝lnx＋ex为(0，＋∞)上的增函数，由lnm＋em－1＝lnn＋en可得lnm＋em>lnn＋en，故m>n. (2)(2022·南京检测)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则A.ab>eB.b>eaC.ab<eD.b<ea√由已知aea<blnb，则ealnea<blnb.设f(x)＝xlnx，则f(ea)<f(b).因为a>0，则blnb>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝lnx＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b. 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数. 跟踪训练4(1)(2023·连云港模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sinβ－cosα，则A.sinα>sinβB.cosα>cosβC.cosα>sinβD.sinα>cosβ√ 则f′(x)＝1－cosx>0，∵α，β均为锐角， ∴cosβ<sinα，sinβ>cosα. (2)(多选)(2023·福州模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥lnx恒成立，则λ的取值可能是√√√ 由题意得，eλx·λx≥xlnx＝elnx·lnx，令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f(λx)≥f(lnx)，即当x∈(1，＋∞)时，λx≥lnx， 所以在(1，e)上g′(x)>0，则g(x)单调递增；在(e，＋∞)上g′(x)<0，则g(x)单调递减， 课时精练 12345678910A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a√ 12345678910则有f(3)<f(e)<f(2)，即c<a<b. 2.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)>1，f(1)＝0，则A.f(e)>e－1B.f(0)>－1C.f(0)<－1D.f(e)<f(0)＋e12345678910√√ 12345678910因为f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)>1，故令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)在R上单调递增，由g(e)>g(1)得f(e)－e>f(1)－1＝－1，所以f(e)>e－1，故A正确；由g(0)<g(1)得f(0)<f(1)－1＝－1，故B不正确，C正确；由g(e)>g(0)得f(e)－e>f(0)，所以f(e)>f(0)＋e，故D不正确. 123456789103.若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0D.ln|x－y|<0√ 12345678910由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定. 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x).若x1<x2，则A.f(x2)>f(x1)B.f(x2)<f(x1)C.f(x2)＝f(x1)D.f(x2)与f(x1)的大小关系不确定12345678910√ 因为f′(x)>f(x)，所以f′(x)－f(x)>0，所以函数F(x)在R上单调递增，又x1<x2，所以F(x1)<F(x2)，即<，所以f(x2)>f(x1).12345678910 12345678910√ 由题意可知，a－1＝lna－ln1，b－e＝lnb－lne，c－π＝lnc－lnπ，所以a－lna＝1－ln1，b－lnb＝e－lne，c－lnc＝π－lnπ.令f(x)＝x－lnx，则f(a)＝f(1)，f(b)＝f(e)，f(c)＝f(π).12345678910 12345678910因为1<e<π，所以f(1)<f(e)<f(π)，所以f(a)<f(b)<f(c)，又b≠e，c≠π，且f(x)在(0,1)上单调递减，所以c<b<a. 6.(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，则下列说法正确的是√12345678910 令g(x)＝f(x)sinx，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，g′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx，又x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，12345678910 7.(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2022，则不等式f(x)＋1>2023ex的解集为√12345678910 12345678910因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，所以F(x)>F(0)，解得x<0. 12345678910√ 由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n＝log22n＋2×2n，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，12345678910 9.(2023·深圳质检)已知定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)为f(x)的导函数，且f(2)＝2，则f(ex)－ex≥0的解集是_____________.(－∞，ln2]12345678910 因为定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，故ex≤2，则x≤ln2，所以f(ex)－ex≥0的解集是(－∞，ln2].12345678910 10.已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为______.12345678910e ∵xa＝＝ealnx，∴不等式即为ex－x≤ealnx－alnx，∵a>0且x>1，∴alnx>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，12345678910 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0；∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，12345678910 12345678910∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.