2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念及其意义、导数的运算课件

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算第三章　一元函数的导数及其应用 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或.f′(x0)y′|(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) 2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的，相应的切线方程为.斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___0αxα－1cosx－sinxaxlnaex f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnxf′(x)＝___ 4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝；[f(x)g(x)]′＝；[cf(x)]′＝.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x) 5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.yu′·ux′ 1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(4)(cos2x)′＝－2sin2x.()×××√ 1.若函数f(x)＝3x＋sin2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin2x，所以f′(x)＝3xln3＋2cos2x. y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2. 3.已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.由题意得f′(x)＝1＋lnx＋2ax， 探究核心题型第二部分 题型一导数的运算√√√ 对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cosx)′＝(2x)′＋(cosx)′＝2xln2－sinx，故D正确. (2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于A.1B.－9C.－6D.4√因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6. (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.思维升华 √√√ f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝xlnx，f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，故D正确. 命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为A.4ex－y＋e2＝0B.4ex－y－e2＝0C.4ex＋y＋e2＝0D.4ex＋y－e2＝0题型二导数的几何意义√ 所以f(e)＝2e2lne＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0. (2)过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为√ 设切点为P(x0，lnx0)(x0>0)，切线为l，所以切点为P(e,1)，纵坐标为1. 命题点2求参数的值(范围)例3(1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝lnx＋2相切，则a等于A.4B.3C.2D.1√ (2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.(－∞，－4)∪(0，＋∞) 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”. 跟踪训练2(1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝－2x＋lnx，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.2x－y－1＝0C.2x＋y－1＝0D.2x－y＋1＝0√所以f′(1)＝－2，又f(1)＝－1，故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0. √ 例4(1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是.题型三两曲线的公切线2 设切线为l，l与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a的切点分别为P(m，m3)，Q(n，n2－n＋a)，令f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，f′(m)＝3m2，则切线l的方程为y－m3＝3m2(x－m)，又点(0，－2)在切线l上，则－2－m3＝3m2(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝3x－2. 令h(x)＝x2－x＋a，则h′(x)＝2x－1，h′(n)＝2n－1，则有2n－1＝3，即n＝2，则切点Q(2，2＋a)，令H(0，－2)， (2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝alnx与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为.－3 令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2，∴切点为(2，－2－b).代入切线方程y－alna＝x－a，可得－2－b－alna＝2－a，则b＝a－alna－4，令h(x)＝x－xlnx－4，x>0，则h′(x)＝1－lnx－1＝－lnx，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3. 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解. 跟踪训练3(1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为A.2B.5C.1D.0√ 设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同， 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. (2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于A.－2B.－1C.1D.2√ 由f(x)＝ex，g(x)＝lnx，曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y＝x＋(1－x1)，所以(1－x1)＝－1＋lnx2， 课时精练第三部分 基础保分练12345678910111213141.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3√因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3. 2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝exsin2x，则f′(0)等于A.2B.1C.0D.－11234567891011121314√因为f(x)＝exsin2x，则f′(x)＝ex(sin2x＋2cos2x)，所以f′(0)＝e0(sin0＋2cos0)＝2. 3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于A.1B.2C.3D.4√1234567891011121314 4.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为A.－2B.2C.－eD.e√设切点坐标为(t，tlnt)，∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，直线l的斜率为f′(t)＝lnt＋1，∴直线l的方程为y－tlnt＝(lnt＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tlnt＝－t(lnt＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.1234567891011121314 1234567891011121314√ 1234567891011121314因为直线y＝2x－1的斜率等于2， 1234567891011121314 12345678910111213146.(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是A.g(x)＝x·2xB.g(x)＝－ex－2xC.g(x)＝lnxD.g(x)＝sinx＋2cosx√√√ 1234567891011121314对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln2，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确； ∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cosx－2sinx，由sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，得3sinx＝－cosx，1234567891011121314 1234567891011121314∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误. 12345678910111213147.写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝.lnx(答案不唯一)若函数f(x)＝lnx，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝lnx1＋lnx2＝f(x1)＋f(x2)，满足①； 12345678910111213148.(2023·龙岩质检)函数f(x)＝x3＋lnx在点(1，f(1))处的切线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 1234567891011121314所以f(1)＝1，f′(1)＝3＋1＝4，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线l：y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 12345678910111213149.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx， 1234567891011121314(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.即(2e－1)x＋e2y－e2＝0. 10.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线.(1)若x1＝－1，求a；1234567891011121314 1234567891011121314当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0).由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0. 1234567891011121314由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3. 1234567891011121314(2)求a的取值范围. 令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.1234567891011121314 则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1).当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，1234567891011121314 当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞).1234567891011121314 11.若过点P(a,0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A.a≥0B.a<－2C.a>2或a<－2D.a>0或a<－4综合提升练√设切点为(x0，x0)，则y′|＝(x0＋1)，所以切线方程为y－x0＝(x0＋1)(x－x0)，切线过点P(a,0)，代入得－x0＝(x0＋1)(a－x0)，即方程－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4.1234567891011121314 1234567891011121314 拓展冲刺练1234567891011121314√ 因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，1234567891011121314 1234567891011121314则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)， 14.(2023·重庆模拟)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝.1234567891011121314－32 由题意知，f(0)＝0，∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝f′(0)x，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，∴g(x)在(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋2，又∵两条切线重合，1234567891011121314 ∴f′(0)＝g′(1)＝2，又∵g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，∴f′(1)＝0，∴f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，f′(x)＝－6x2＋4x＋2，∴g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32.1234567891011121314