2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]

§6.4　数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1　(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于(　　)A．22023－1B．42023－1C．22023＋1D．42023＋1答案　B解析　∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且＝＋2，则数列{an}的通项公式为__________．答案　an＝解析　∵＝＋2，等式两边同时加1整理得＋1＝3，又∵a1＝1，∴＋1＝2，∴是首项为2，公比为3的等比数列．∴＋1＝2·3n－1，∴an＝.命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解　∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，11 ∴＝2，∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3　(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝(2n＋1)·3nB．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3nD．an＝(n＋1)·2n答案　C解析　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋，∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.答案　－3n－1解析　将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘，得＝2·＋，令bn＝，则bn＋1＝2bn＋，利用命题点1的方法知bn＝－，则an＝－3n－1.思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于(　　)A．n·2n－1B．n·2nC．(n－1)·2nD．(n＋1)·2n答案　A解析　由an＋1＝2an＋2n得＝＋1，设bn＝，则bn＋1＝bn＋1，11 又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为(　　)A．22023－2B．22023－1C．2D．1答案　C解析　(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝，即＝＋1，得＋1＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，＝2n－1，an＝，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.答案　2n＋1－n－1解析　令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以＝2，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4　(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于(　　)A．47B．48C．49D．410答案　C解析　由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即＝4(n≥3)，所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49.11 (2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.答案　解析　方法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以＝＝＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列．所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，从而＋·＝，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1－＝－，即＝－，又因为c1－＝－＝，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，故cn－＝×n－1＝－，从而an＝.方法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝，c2＝，所以an＝.思维升华　可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．11 跟踪训练2　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.答案　3n－1解析　f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1.题型三　倒数为特殊数列例5　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an>的n的最大取值为(　　)A．7B．8C．9D．10答案　C解析　因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝，由an>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.(2)(多选)数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是(　　)A.＝＋B.是等比数列C．(2n－1)an＝1D．3a5a17＝a49答案　ABC解析　由an＋1＝，可得＝＝＋2，所以－＝2，且＝1，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对；11 ＝22＝4，所以数列是等比数列，故B对；由等差中项的性质可得＝＋，故A对；由上可知an＝，则3a5a17＝3××＝，a49＝＝，所以3a5a17≠a49，故D错．思维升华　两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.跟踪训练3　已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．答案　an＝(n∈N*)解析　由已知得，an＋1＝，∴＝＋3，即－＝3，∴数列是首项为＝1，公差为d＝3的等差数列，∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.故an＝(n∈N*)．课时精练1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)A．15B．23C．32D．42答案　B解析　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.2．在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为(　　)11 A．2n－3B．2n－7C．(2n－3)(2n－7)D．2n－5答案　C解析　因为－2＝，所以－＝2，又＝－1，所以数列是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以an＝(2n－3)(2n－7)．3．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－nB．an＝2n＋nC．an＝3n－1D．an＝3n＋1答案　A解析　由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)，而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n.4．已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　)A.B.C．3n－2D．3n＋2答案　A解析　∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－＝a1，解得a1＝1.由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得－＝3，又＝1，11 ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝.5．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　)A．2n－1B.3n－1C．D．答案　D解析　由a1＝3，an＋1＝a知an>0，对an＋1＝a两边取以3为底的对数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝.6．设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于(　　)A.·2n＋B.·2n＋·(－1)nC.＋D.＋·(－1)n答案　D解析　∵an－1＋an＝2n，两边同时除以2n得，＋·＝1.令cn＝，则cn＝－cn－1＋1.两边同时加上－得cn－＝－·.∴数列是以c1－为首项，－为公比的等比数列，∴cn－＝·n－1＝·n，∴cn＝＋·n，∴an＝2n·cn＝＋·(－1)n.11 7．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)A.为等差数列B．{an}的通项公式为an＝C．{an}为递减数列D.的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4答案　CD解析　因为an＋1＝，所以＝＝＋3，所以＋3＝2，且＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1，所以＝2n＋1－3，可得an＝，故选项A，B错误；因为＝2n＋1－3单调递增，所以an＝单调递减，即{an}为递减数列，故选项C正确；的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n＝22×－3n＝2n＋2－3n－4，故选项D正确．8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)11 A．2023×22020B．2024×22021C．2023×22021D．2024×22022答案　B解析　记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列．∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝(n＋1)×2n－2.又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2023行，∴M＝a2023＝2024×22021.9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若cn＝，则cn＝____________.答案　(n＋1)3n－1解析　因为a1＝，an＋1＝，所以＝＝＋，即－＝，所以数列是首项为＝，公差为的等差数列，所以＝＋(n－1)＝，则cn＝＝(n＋1)3n－1.10．已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝________.答案　4解析　由an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)可得an＋1－an＝2(an－an－1)，若an－an－1＝0，则a6＝a5＝…＝a1，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0，11 所以＝2，即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝a2·2n－1，所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝124，所以a2＝4.11．在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n，则an＝________.答案　·3n－1－n－解析　∵an＋1＝3an＋2n①，∴an＝3an－1＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝3(an－an－1)＋2，令bn＝an＋1－an，则bn＝3bn－1＋2(n≥2)，利用求an＋1＝pan＋q的方法知，bn＝5·3n－1－1，即an＋1－an＝5·3n－1－1②，再利用累加法知，an＝·3n－1－n－.12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f(x)＝2x2－8，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln ，且a1＝1，xn>2.数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.答案　2n－1解析　∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，又∵xn＋1＝xn－＝xn－＝，∴xn＋1＋2＝，xn＋1－2＝，∴＝2，又xn>2，∴ln ＝ln2＝2ln ，又an＝ln，且a1＝1，∴an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴{an}的前n项和Sn＝＝2n－1.11