2024年新高考数学一轮复习：第09讲 函数的单调性与最值（解析版）

第09讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值常用结论1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 1、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.3、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.1、下列函数中，定义域是且为增函数的是A．B．C．D．【答案】B【解析】四个函数的图象如下 显然B成立．2、函数，的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，令，由于，故，故，由反比例函数的性质，在单调递增，故当时，；当时，，故函数在的值域为：.故选：A.3、已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，得为奇函数，，所以在R上是增函数．选A．4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数在(0，1)上是减函数，那么A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 【答案】AD【解析】由|x－1|＞0得，函数的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则在(－¥，1)上为减函数，在(1，＋¥)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故选项A正确，选项B错误；又f≠f(x)，所以选项C错误；综上，答案选AD．考向一　函数单调性的证明与判断例1、讨论并用定义证明函数f(x)＝在区间(－1，1)上的单调性．【解析】任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1x2＋1>0，x－1<0，x－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减．变式1、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】　函数f（x）＝在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈[1，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝＝.∵x1、x2∈[1，＋∞），且x1<x2，∴x1－x2<0，1－x1x2<0.又（1＋x）（1＋x）>0，∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.∴f（x）＝在[1，＋∞）上为减函数方法总结：　1.判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2.应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：→→→→其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等． 考向二函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y＝－x2＋2|x|＋1；（2）、函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.【解析】（1）由即画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y＝|x|(1－x)＝＝函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是.变式1、求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝|x2－2x＋2|；(2)f(x)＝log2(x2－2x－3).【解析】(1)因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1).(2)由题意，得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).又g(t)＝log2t为单调增函数，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(3，＋∞).变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数的单调递增区间是______．【答案】(1，＋¥) 【解析】由题意，令x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1，因为t＝x2＋2x－3在(1，＋¥)上单调递增，所以函数的单调递增区间为(1，＋¥)．变式3、.函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)A.B.C.(－2，3)D.【答案】　A【解析】由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为.方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三函数的最值例3、设m∈R，若函数f(x)＝|x3－3x－2m|在区间[0，2]上的最大值为4，求实数m的值．【解析】令g(x)＝x3－3x，0≤x≤2，则g′(x)＝3x2－3.令g′(x)＝0，则x＝1.列表如下：x0(0，1)1(1，2)2g′(x)－0＋g(x)0↘－2↗2故g(x)min＝g(1)＝－2，g(x)max＝g(2)＝2，所以x3－3x－2m∈[－2－2m，2－2m].①当－1≤m≤1时，|－2－2m|＝4或|2－2m|＝4，解得m＝±1；②当m<－1时，f(x)max＝f(2)＝|2－2m|>4；③当m>1时，f(x)max＝f(1)＝|－2－2m|>4.综上，实数m的值为－1或1.变式1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ） A．B．C．D．【答案】A【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解考向四函数单调性中的含参问题例4、　设a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga(ax－1)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．【解析】由题意，得ax－1>0在区间[3，5]上恒成立，即a>在区间[3，5]上恒成立，所以a>.①当a>1时，g(t)＝logat单调递增，且y＝ax－1单调递增，符合题意；②当<a<1时，g(t)＝logat单调递减，y＝ax－1单调递增，不符合题意．综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).变式1、设a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．【解析】由题意，得ax2－x>0在区间[3，5]上恒成立， 即a>在区间[3，5]上恒成立，所以a>.t＝ax2－x图象的对称轴为直线x＝.①当a>1时，φ(t)＝logat单调递增，对称轴为直线x＝<<3，所以t＝ax2－x在区间[3，5]上单调递增，符合题意；②当0<a<1时，φ(t)＝logat单调递减，要使f(x)在区间[3，5]上单调递增，则≥5，解得a≤.又a>，所以不符合题意．综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).变式2、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝的值域为R，∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a＜.1、（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】对于A，，在R上是减函数；对于B，在上是减函数，在上是增函数； 对于C，当时，是增函数，当时，是增函数；对于D，的定义域是.【详解】解：对于A，，在R上是减函数，故A不正确；对于B，在上是减函数，在上是增函数，故B不正确；对于C，当时，是增函数，当时，是增函数，所以函数在R上是增函数，故C正确；对于D，的定义域是，故不满足在R上为增函数，故D不正确，故选：C.2、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.【答案】【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解【详解】函数，定义域为，又，因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，因此，解得.故答案为：3、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】y=sinx（答案不唯一）【解析】【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数. 详解：令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.4、（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.【答案】1【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.【详解】令，则，则令当时，在上单调递增，则，即的最大值为则，解之得.当时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为则，解之得（舍）综上，所求正实数故答案为：1