2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]

§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练题型一　离心率范围问题例1　(1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.B.C．[－1,1]D.答案　D解析　由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，∴∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴∴又∵e∈(0,1)，∴e∈.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A.B．[＋1，＋∞)C.D．(1，＋1]答案　D解析　由题意＝sin∠PF1F2≤sin ＝，所以0<|PF2|≤c，17 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1<e≤＋1.思维升华　求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练1　(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得得设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，整理得a＋3a＝4c2，故＋＝4.又4＝＋≥2＝，即2≥，所以e1e2≥，即e1e2的最小值为，17 当且仅当＝，即e1＝，e2＝时，等号成立．(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°，连接OA，则sinα＝＝≥，∴|OP|≤.又P是C上任意一点，则|OP|max≤，又|OP|max＝a，∴a≤，则由a2＝b2＋c2，得e2≤，又0<e<1，∴e∈.题型二　圆锥曲线中二级结论的应用命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用17 例2　(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)A．2B．4C．6D．12答案　D解析　由e＝，得＝，即a＝2c.①在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，得＝b2tan ＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)，②由a2＝b2＋c2，③联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)A.B．2C.D．3答案　A解析　如图，·＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－，17 依题意，kPB·kPA＝，∴－·(－k)＝，∴＝1，即e＝.思维升华　焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.跟踪训练2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan45°＝，即b＝b＝1.17 所以a＝c－b＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝.(2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)A.B.C．－1D．－答案　B解析　∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴＝，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝.命题点2　抛物线中二级结论的应用例3　(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　　)A．2B．2＋3C．4D．3＋2答案　D解析　因为p＝2，所以＋＝＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)＝3＋＋≥3＋217 ＝3＋2，当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，因此2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．答案　64解析　方法一　(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，直线l的方程为x＝y＋4.由消去x，整理得y2－16y－64＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝16，y1y2＝－64.S△OAB＝|y1－y2|·|OF|＝2＝2＝64.方法二　(活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝.所以S△OAB＝＝＝64.思维升华　与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则①焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝，②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，③S△OAB＝(O为坐标原点)，17 ④x1x2＝，y1y2＝－p2，⑤＋＝，⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．跟踪训练3　已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　)A.B.C．4D．2答案　A解析　如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，∵＝3，∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由＋＝，得＋＝⇒t＝p，∴|AB|＝3t＝p，又|AB|＝，∴＝p⇒sinα＝，又S△OAB＝|AB|，∴＝|AB|，即＝·p⇒p＝2，17 ∴|AB|＝.题型三　圆锥曲线与其他知识的综合例4　(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(　　)A．该椭圆的离心率为B．该椭圆的离心率为2－C．该椭圆的焦距为D．该椭圆的焦距为2－1答案　BC解析　sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心．因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝，设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝.因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，由正弦定理得＝，解得a＝，所以c＝－a＝，17 所以＝＝2－，2c＝.思维升华　高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．跟踪训练4　(多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则(　　)A．双曲线C的方程为－＝1B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3答案　ABD解析　依题意可知M，N，对于A，将M，N的坐标分别代入－＝1，得解得a2＝3，b2＝9，所以双曲线C的方程为－＝1，其渐近线为y＝±x，故A正确；对于B，由－x2＝1，可知其渐近线为y＝±x，故B正确；对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；17 对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，则－＝1，即y＝3x－9，由题可知D(－，0)，E(，0)，则kPD＝，kPE＝，kPD·kPE＝·＝＝3，即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．课时精练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)A．(0,1)B.C.D.答案　C解析　∵·＝0，∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其半径r＝c，依题意，该圆总在椭圆内部，∴c<b，即c2<b2＝a2－c2，即<，即e∈.2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)17 A.B.C．3D．5答案　B解析　如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴MF2NF1为矩形，∴＝4a2，又＝＝4a2，即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，∴e＝＝.3．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝4.∵kAB＝kNF＝1，且kON＝，∴kAB·kON＝＝，即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，∴双曲线C的离心率e＝＝.4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C17 相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10答案　A解析　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝＝，|DE|＝＝，∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.5．(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是(　　)A．若θ＝60°，则S＝4B．若S＝4，则|PF2|＝2C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4)D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－＝1答案　ACD解析　由x2－＝1，得a2＝1，b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝，焦点△PF1F2的面积公式S＝＝，将θ＝60°代入可知S＝4，故A正确；当S＝4时，θ＝90°，由可得|PF2|＝2，故B错误；当∠F1PF2＝90°时，S＝4，当∠PF2F1＝90°时，S＝4，因为△PF1F2为锐角三角形，所以17 S∈(4,4)，故C正确；设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，则x－＝1(x0>1)，由题设知F1(－，0)，F2(，0)，则所以点G的轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．6．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是答案　BD解析　设P(x0，y0)，所以＋＝1，因为e＝＝，所以a＝2c，所以a2＝b2，所以＝－＝－，所以A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan ＝b2，所以B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，所以·2c·b>b2，所以c>b，所以c2>a2－c2，故e∈，17 所以C错误；若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，故0<e≤，所以D正确．7．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值为________．答案　2－2解析　方法一　已知＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立可得y2－4my－4＝0，则所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝1.所以＝1－，则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当|AF|＝时，等号成立，故|AF|－的最小值为2－2.方法二　因为＝1，所以p＝2，又＋＝，所以＋＝1，17 所以＝1－，因为|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2，当且仅当|AF|＝时，等号成立，所以|AF|－的最小值为2－2.8．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．(1)在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____cm；(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为____________(单位：cm)．答案　(1)6　(2)解析　因为杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，所以球的半径为3cm，又因为杯口宽4cm，所以|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，所以|AD|＝|BD|＝2，所以|C1D|＝＝＝1，所以|DE|＝2，又因为杯深8cm，即|OD|＝8，故最小距离为|OD|－|DE|＝6，如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，所以将B(2，8)代入，得m＝1，故抛物线方程为y＝x2，17 　　　图1　　　　　　　　　　图2当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，解得1－2r≥0，可得0<r≤.所以玻璃球的半径的取值范围为.17